專題1：圓磁場(chǎng)問題

1、帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中 的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng) 結(jié)論結(jié)論1：對(duì)準(zhǔn)圓心射入：對(duì)準(zhǔn)圓心射入,必定沿著圓心射出必定沿著圓心射出。 例例題：題：電視機(jī)的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)電視機(jī)的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn) 技術(shù)實(shí)現(xiàn)的。電子束經(jīng)過電壓為技術(shù)實(shí)現(xiàn)的。電子束經(jīng)過電壓為U U的加速電場(chǎng)后，進(jìn)入的加速電場(chǎng)后，進(jìn)入 一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，如圖所示。磁場(chǎng)方向垂直于圓面。一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，如圖所示。磁場(chǎng)方向垂直于圓面。 磁場(chǎng)區(qū)的中心為磁場(chǎng)區(qū)的中心為O O，半徑為，半徑為r r。當(dāng)不加磁場(chǎng)時(shí)，電子束。當(dāng)不加磁場(chǎng)時(shí)，電子束 將通過將通過O O點(diǎn)而打到屏幕的中心點(diǎn)而打到屏幕的中心M M點(diǎn)。為了讓電子

2、束射到點(diǎn)。為了讓電子束射到 屏幕邊緣屏幕邊緣P P，需要加磁場(chǎng)，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度，需要加磁場(chǎng)，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度， 此時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度此時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B B應(yīng)為多少？應(yīng)為多少？ /2 R /2 如圖，虛線所圍圓形區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向里的如圖，虛線所圍圓形區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向里的 勻強(qiáng)磁場(chǎng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)B B。電子束沿圓形區(qū)域的直徑方向以速度。電子束沿圓形區(qū)域的直徑方向以速度v v射入射入 磁場(chǎng)，經(jīng)過磁場(chǎng)區(qū)后，電子束運(yùn)動(dòng)的方向與原入射方向磁場(chǎng)，經(jīng)過磁場(chǎng)區(qū)后，電子束運(yùn)動(dòng)的方向與原入射方向 成成角。設(shè)電子質(zhì)量為角。設(shè)電子質(zhì)量為m m，電荷量為，電荷量為e e，不計(jì)電子之間的，不計(jì)電子之

3、間的 相互作用力及所受的重力。求：相互作用力及所受的重力。求： （1 1）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑R R； （2 2）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t t； （3 3）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑r r。 v B O r v 解：解：（1 1） eB mv R （2 2）由幾何關(guān)系得：圓心角：由幾何關(guān)系得：圓心角： eB m Tt 2 （3 3）由如圖所示幾何關(guān)系可知，由如圖所示幾何關(guān)系可知， R r tan 2 2 tan eB mv r 所以：所以： 例例題題：在圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁：在圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁 場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B

4、 B，一群速，一群速 率不同的質(zhì)子自率不同的質(zhì)子自A A點(diǎn)沿半徑方點(diǎn)沿半徑方 向射入磁場(chǎng)區(qū)域，如圖所示，向射入磁場(chǎng)區(qū)域，如圖所示， 已知該質(zhì)子束中在磁場(chǎng)中發(fā)已知該質(zhì)子束中在磁場(chǎng)中發(fā) 生偏轉(zhuǎn)的最大角度為生偏轉(zhuǎn)的最大角度為1061060 0，圓，圓 形磁場(chǎng)的區(qū)域的半徑為形磁場(chǎng)的區(qū)域的半徑為R R，質(zhì)，質(zhì) 子的質(zhì)量為子的質(zhì)量為m m，電量為，電量為e e，不，不 計(jì)重力，則該質(zhì)子束的速率計(jì)重力，則該質(zhì)子束的速率 范圍是多大？范圍是多大？ 3 4 BeR v m O1 O2 O3 O4 結(jié)論結(jié)論2：對(duì)準(zhǔn)圓心射入，速度越大，偏轉(zhuǎn)角和：對(duì)準(zhǔn)圓心射入，速度越大，偏轉(zhuǎn)角和 圓心角都越小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短。圓心角都

5、越小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短。 v O tR 結(jié)論結(jié)論3 3：運(yùn)動(dòng)速度：運(yùn)動(dòng)速度v v相同相同, ,方向不同，弧長越長對(duì)應(yīng)方向不同，弧長越長對(duì)應(yīng) 時(shí)間越長時(shí)間越長。( (直徑對(duì)應(yīng)的弧最長直徑對(duì)應(yīng)的弧最長) ) 例題：例題：如圖，半徑為如圖，半徑為 r r=3=31010 2 2m m的圓形區(qū)域內(nèi)有一勻強(qiáng)磁 的圓形區(qū)域內(nèi)有一勻強(qiáng)磁 場(chǎng)場(chǎng)B B=0.2T=0.2T，一帶正電粒子以速度，一帶正電粒子以速度v v0 0=10=106 6m/sm/s的從的從a a點(diǎn)處射入點(diǎn)處射入 磁場(chǎng)，該粒子荷質(zhì)比為磁場(chǎng)，該粒子荷質(zhì)比為q q/ /m m=10=108 8C/kgC/kg，不計(jì)重力。若要使，不計(jì)重力。若要使 粒子

6、飛離磁場(chǎng)時(shí)有最大的偏轉(zhuǎn)角，其入射時(shí)粒子的方向應(yīng)粒子飛離磁場(chǎng)時(shí)有最大的偏轉(zhuǎn)角，其入射時(shí)粒子的方向應(yīng) 如何（以如何（以v v0 0與與oaoa的夾角表示）？最大偏轉(zhuǎn)角多大？的夾角表示）？最大偏轉(zhuǎn)角多大？ 半徑確定時(shí)，通過的弧越半徑確定時(shí)，通過的弧越 長，偏轉(zhuǎn)角度越大。而弧小于半長，偏轉(zhuǎn)角度越大。而弧小于半 個(gè)圓周時(shí)，弦越長則弧越長。個(gè)圓周時(shí)，弦越長則弧越長。 R R= =mv/Bq=5mv/Bq=51010- -2 2m mrr Oa B b = 37= 37，sinsin = r/R= r/R 最大偏轉(zhuǎn)角為最大偏轉(zhuǎn)角為 2 2 = 74= 74。 例題：如圖所示，在真空中半徑例題：如圖所示，在真

7、空中半徑r r3.03.01010 2 m2 m的圓 的圓 形區(qū)域內(nèi)，有磁感應(yīng)強(qiáng)度形區(qū)域內(nèi)，有磁感應(yīng)強(qiáng)度B B0.2 T0.2 T，方向如圖的勻強(qiáng)，方向如圖的勻強(qiáng) 磁場(chǎng)，一批帶正電的粒子以初速度磁場(chǎng)，一批帶正電的粒子以初速度v v0 01.01.010106 6 m/s m/s， 從磁場(chǎng)邊界上直徑從磁場(chǎng)邊界上直徑abab的一端的一端a a沿著各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，沿著各個(gè)方向射入磁場(chǎng)， 且初速度方向與磁場(chǎng)方向都垂直，該粒子的比荷為且初速度方向與磁場(chǎng)方向都垂直，該粒子的比荷為 q q/ /m m1.01.010108 8 C/kg C/kg，不計(jì)粒子重力，不計(jì)粒子重力 (1)(1)粒子的軌跡半徑；粒

8、子的軌跡半徑； (2)(2)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間；粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間； (3)(3)若射入磁場(chǎng)的速度改為若射入磁場(chǎng)的速度改為v v0 03.03.010105 5 m/s m/s，其他條，其他條 件不變，試用斜線畫出該批粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的件不變，試用斜線畫出該批粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的 區(qū)域區(qū)域(sin37(sin370.60.6，cos37cos370.8)0.8) V V V 所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過 O點(diǎn)。這些軌跡圓的圓心都在以點(diǎn)。這些軌跡圓的圓心都在以O(shè)為圓為圓 心，半徑為心，半徑為r的且位于第的且位于第象限的四分象限的四分 之一

9、圓周上，如圖所示。之一圓周上，如圖所示。 電子由電子由O點(diǎn)射入第點(diǎn)射入第象限做勻速象限做勻速 圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng) 2 00 0 vmv ev Bm r= reB 222 0 11 2()(1)() 422 mv Srr eB min 即所有出射點(diǎn)均在以坐標(biāo)即所有出射點(diǎn)均在以坐標(biāo)(0，r)為圓心的圓弧為圓心的圓弧abO上，顯然，上，顯然， 磁場(chǎng)分布的最小面積磁場(chǎng)分布的最小面積應(yīng)是實(shí)線應(yīng)是實(shí)線1和圓弧和圓弧abO所圍的面積，由幾何所圍的面積，由幾何 關(guān)系得關(guān)系得 由圖可知，由圖可知，a、b、c、d 等點(diǎn)就是各電等點(diǎn)就是各電 子離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)，均應(yīng)滿足方程子離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)，均應(yīng)滿足方程 x2 +

10、(ry)2=r2。 222 2 0 22 1 2()(1) 422 m vr Sr e B 設(shè)設(shè)P(x，y)為磁場(chǎng)下邊界上的為磁場(chǎng)下邊界上的 一點(diǎn)，經(jīng)過該點(diǎn)的電子初速度與一點(diǎn)，經(jīng)過該點(diǎn)的電子初速度與x 軸夾角為軸夾角為 ，則由圖可知：，則由圖可知： x = rsin ， y = rrcos ， 得得: x2 + (yr)2 = r2。 所以磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界也是半徑為所以磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界也是半徑為r，圓心為，圓心為(0，r)的的 圓弧應(yīng)是磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。圓弧應(yīng)是磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。 磁場(chǎng)上邊界如圖線所示。磁場(chǎng)上邊界如圖線所示。 兩邊界之間圖形的面積即為所求。兩邊界之間圖形的面積即為所求。圖中的陰

11、影區(qū)域面圖中的陰影區(qū)域面 積，即為磁場(chǎng)區(qū)域面積：積，即為磁場(chǎng)區(qū)域面積： R r r 結(jié)論結(jié)論4 4：如果在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的：如果在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的 邊界上某點(diǎn)向磁場(chǎng)發(fā)射速率相同的邊界上某點(diǎn)向磁場(chǎng)發(fā)射速率相同的 帶電粒子，且粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子，且粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的 軌道半徑與磁場(chǎng)區(qū)域半徑相同，那軌道半徑與磁場(chǎng)區(qū)域半徑相同，那 么粒子射出磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向一定相么粒子射出磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向一定相 同反之，粒子以相同速度平行射同反之，粒子以相同速度平行射 人這樣的磁場(chǎng)，粒子就能會(huì)聚于磁人這樣的磁場(chǎng)，粒子就能會(huì)聚于磁 場(chǎng)邊界上的某點(diǎn)場(chǎng)邊界上的某點(diǎn)。 磁會(huì)聚磁會(huì)聚 平行飛入，定點(diǎn)會(huì)聚平行飛入，定點(diǎn)會(huì)

12、聚 磁擴(kuò)聚磁擴(kuò)聚 定點(diǎn)發(fā)射，平行飛出定點(diǎn)發(fā)射，平行飛出 A 2 22 RRcos yRsin x 當(dāng)速度變?yōu)楫?dāng)速度變?yōu)?V2V的帶電粒子，不具備的帶電粒子，不具備“磁會(huì)聚磁會(huì)聚” 的條件，因此不會(huì)都通過的條件，因此不會(huì)都通過O O點(diǎn)。但此題可采用極端分點(diǎn)。但此題可采用極端分 析法，帶電微粒在磁場(chǎng)中經(jīng)過一段半徑為析法，帶電微粒在磁場(chǎng)中經(jīng)過一段半徑為r=2Rr=2R的圓的圓 弧運(yùn)動(dòng)后，將在弧運(yùn)動(dòng)后，將在y y軸的右方軸的右方(x0)(x0)的區(qū)域離開磁場(chǎng)并做的區(qū)域離開磁場(chǎng)并做 勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖所示?？拷隙它c(diǎn)發(fā)射出來的帶勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖所示?？拷隙它c(diǎn)發(fā)射出來的帶 電微粒在突出磁場(chǎng)后會(huì)射向電微

13、粒在突出磁場(chǎng)后會(huì)射向x x同正方向的無窮遠(yuǎn)處；同正方向的無窮遠(yuǎn)處； 靠近下端點(diǎn)發(fā)射出來的帶電微粒會(huì)在靠近原點(diǎn)之處穿靠近下端點(diǎn)發(fā)射出來的帶電微粒會(huì)在靠近原點(diǎn)之處穿 出磁場(chǎng)。所以，這束帶電微粒與出磁場(chǎng)。所以，這束帶電微粒與x x同相交的區(qū)域范圍同相交的區(qū)域范圍 是是x0.x0. A x y R O/ O v 帶點(diǎn)微粒發(fā)射帶點(diǎn)微粒發(fā)射 裝置裝置 C P Q r 例題：例題：如右圖所示，紙面內(nèi)有寬為如右圖所示，紙面內(nèi)有寬為L L水平向右飛行的水平向右飛行的 帶電粒子流，粒子質(zhì)量為帶電粒子流，粒子質(zhì)量為m m，電荷量為，電荷量為q q，速率為，速率為v v0 0， 不考慮粒子的重力及相互間的作用，要使粒

14、子都匯聚不考慮粒子的重力及相互間的作用，要使粒子都匯聚 到一點(diǎn)，可以在粒子流的右側(cè)虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一勻強(qiáng)磁到一點(diǎn)，可以在粒子流的右側(cè)虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一勻強(qiáng)磁 場(chǎng)區(qū)域，則磁場(chǎng)區(qū)域的形狀及對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以場(chǎng)區(qū)域，則磁場(chǎng)區(qū)域的形狀及對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以 是是( (其中其中 ，A A、C C、D D選項(xiàng)中曲線均為半徑是選項(xiàng)中曲線均為半徑是L L的的 1/41/4圓弧，圓弧，B B選項(xiàng)中曲線為半徑是選項(xiàng)中曲線為半徑是L/2L/2的圓的圓)()() 0 B 0 mv qL A 如圖，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場(chǎng)圍成的中空區(qū)域內(nèi)有自由運(yùn)動(dòng)的如圖，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場(chǎng)圍成的中空區(qū)域內(nèi)有自由運(yùn)動(dòng)的 帶電粒子，但由于帶電粒子，但由于，只要速

15、度不很大，只要速度不很大， 都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣。設(shè)環(huán)狀磁場(chǎng)的內(nèi)半徑為都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣。設(shè)環(huán)狀磁場(chǎng)的內(nèi)半徑為 R1=0.5m，外半徑為，外半徑為 R2=1.0m，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=1.0T，若被縛的帶電粒子的荷質(zhì)比為，若被縛的帶電粒子的荷質(zhì)比為 q/m=4107C/kg，中空區(qū)域中帶電粒子具有各個(gè)方向的，中空區(qū)域中帶電粒子具有各個(gè)方向的 速度。試計(jì)算：速度。試計(jì)算： （1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向）粒子沿環(huán)狀的半徑方向 射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最 大速度。大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁）所有粒子不能穿越磁 場(chǎng)的最大速度。場(chǎng)的最大速度。 O

16、 v v （1）1.5107m/s， （2）1.0107m/s。 圓形磁場(chǎng)臨界問題圓形磁場(chǎng)臨界問題 y O a x b v0 質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑為質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑為 r=mv/Bqr=mv/Bq。質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道是。質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道是 1/4 1/4 圓周，如圖中圓周，如圖中。 R=MN/2= mv/qBR=MN/2= mv/qB 2 圓形磁場(chǎng)最小面積問題圓形磁場(chǎng)最小面積問題 例題：例題：如圖，質(zhì)量為如圖，質(zhì)量為m m、帶電量為、帶電量為+ +q q的粒子以速度的粒子以速度v v從從O O點(diǎn)沿點(diǎn)沿 y y 軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B B的圓形勻

17、強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁 場(chǎng)方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從場(chǎng)方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從b b處穿過處穿過 x x軸，速度方向與軸，速度方向與 x x 軸正方向的夾角為軸正方向的夾角為3030，同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)，同時(shí)進(jìn)入場(chǎng) 強(qiáng)為強(qiáng)為E E、方向沿與與、方向沿與與x x軸負(fù)方向成軸負(fù)方向成6060角斜向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)角斜向下的勻強(qiáng)電場(chǎng) 中，通過了中，通過了b b點(diǎn)正下方的點(diǎn)正下方的C C點(diǎn)。不計(jì)重力，試求：點(diǎn)。不計(jì)重力，試求： （1 1）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積； （2 2）C C點(diǎn)到點(diǎn)到b b點(diǎn)的距離點(diǎn)的距離h h。 y x E b O

18、 30 60 h A O2 O1 y x E b O 30 60 h A O2 O1 1) 反向延長反向延長vb交交y 軸于軸于O2 點(diǎn)，作點(diǎn)，作bO2 O的角平分的角平分 線交線交x 軸于軸于O1 ， O1即為圓形軌道的圓心，半徑為即為圓形軌道的圓心，半徑為R = OO1 =mv/qB，畫出圓形軌跡交，畫出圓形軌跡交b O2于于A點(diǎn)，如圖虛線點(diǎn)，如圖虛線 所示。最小的圓形磁場(chǎng)區(qū)域是以所示。最小的圓形磁場(chǎng)區(qū)域是以O(shè)A為直徑的圓，為直徑的圓， hsin 30=vt h cos 30 =2 1 qE m t2 (2) b到到C 受電場(chǎng)力作用，做類平拋運(yùn)動(dòng)受電場(chǎng)力作用，做類平拋運(yùn)動(dòng) t=2mv/qEtan 30 qEmvvth/342 2 平行金屬板平行金屬板M M、N N間距離為間距離為d d。其上有一內(nèi)壁光滑的半。其上有一內(nèi)壁光滑的半 徑為徑為R R的絕緣圓筒與的絕緣圓筒與N N板相切，切點(diǎn)處有一小孔板相切，切點(diǎn)處有一小孔S S。圓筒內(nèi)。圓筒內(nèi) 有垂直圓筒截面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為有垂直圓筒截面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B B。電子。電子 與孔與孔S S及圓心及圓心O O在同一直線上。在同一直線上。M M板內(nèi)側(cè)中點(diǎn)處有一質(zhì)量為板內(nèi)側(cè)中點(diǎn)處有一質(zhì)量為 m m，電荷量為，電荷量為e e的靜止電子，經(jīng)過的靜止電子，經(jīng)過M M、N N間電壓為間電壓