數(shù)學(xué)建模講座之七---最優(yōu)化模型

1、2021-8-8數(shù)學(xué)建模最優(yōu)化模型最優(yōu)化模型一、最優(yōu)化方法概述一、最優(yōu)化方法概述二、無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題二、無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題三、無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的三、無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的MATLABMATLAB求解求解四、有約束最優(yōu)化問(wèn)題四、有約束最優(yōu)化問(wèn)題2021-8-8數(shù)學(xué)建模最優(yōu)化方法概述最優(yōu)化方法概述 1 1、最優(yōu)化理論和方法是近二十多年來(lái)發(fā)展十分迅、最優(yōu)化理論和方法是近二十多年來(lái)發(fā)展十分迅速的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。速的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。2 2、在數(shù)學(xué)上，最優(yōu)化是一種求極值的方法。、在數(shù)學(xué)上，最優(yōu)化是一種求極值的方法。3 3、最優(yōu)化已經(jīng)廣泛的滲透到工程、經(jīng)濟(jì)、電子技、最優(yōu)化已經(jīng)廣泛的滲透到工程、經(jīng)濟(jì)、電子技術(shù)等領(lǐng)域。術(shù)

2、等領(lǐng)域。2021-8-8數(shù)學(xué)建模 在實(shí)際生活當(dāng)中，人們做任何事情，不管是分在實(shí)際生活當(dāng)中，人們做任何事情，不管是分析問(wèn)題，還是進(jìn)行決策，都要用一種標(biāo)準(zhǔn)衡量析問(wèn)題，還是進(jìn)行決策，都要用一種標(biāo)準(zhǔn)衡量一下是否達(dá)到了最優(yōu)。一下是否達(dá)到了最優(yōu)。 （比如基金人投資）（比如基金人投資） 在各種科學(xué)問(wèn)題、工程問(wèn)題、生產(chǎn)管理、社會(huì)在各種科學(xué)問(wèn)題、工程問(wèn)題、生產(chǎn)管理、社會(huì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，人們總是希望在有限的資源條件經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，人們總是希望在有限的資源條件下，用盡可能小的代價(jià)，獲得最大的收獲。下，用盡可能小的代價(jià)，獲得最大的收獲。（比如保險(xiǎn)）（比如保險(xiǎn)） 2021-8-8數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)家對(duì)最優(yōu)化問(wèn)題的研究已經(jīng)有很多年的

3、數(shù)學(xué)家對(duì)最優(yōu)化問(wèn)題的研究已經(jīng)有很多年的歷史。歷史。 以前解決最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法只限于古典以前解決最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法只限于古典求導(dǎo)方法和變分法（求求導(dǎo)方法和變分法（求無(wú)約束極值無(wú)約束極值問(wèn)題），拉格問(wèn)題），拉格朗日（朗日（LagrangeLagrange）乘數(shù)法解決等式約束下的條件）乘數(shù)法解決等式約束下的條件極值問(wèn)題。極值問(wèn)題。 計(jì)算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)，使得數(shù)學(xué)家研究出了許計(jì)算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)，使得數(shù)學(xué)家研究出了許多最優(yōu)化方法和算法用以解決以前難以解決的問(wèn)多最優(yōu)化方法和算法用以解決以前難以解決的問(wèn)題。題。2021-8-8數(shù)學(xué)建模幾個(gè)概念幾個(gè)概念 最優(yōu)化最優(yōu)化是從所有可能方案中選擇最合理的一種是從所有可

4、能方案中選擇最合理的一種以達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的學(xué)科。以達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的學(xué)科。 最優(yōu)方案最優(yōu)方案是達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的方案。是達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的方案。 最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法是搜尋最優(yōu)方案的方法。是搜尋最優(yōu)方案的方法。 最優(yōu)化理論最優(yōu)化理論就是最優(yōu)化方法的理論。就是最優(yōu)化方法的理論。 2021-8-8數(shù)學(xué)建模經(jīng)典極值問(wèn)題經(jīng)典極值問(wèn)題包括：包括：無(wú)約束極值問(wèn)題無(wú)約束極值問(wèn)題約束條件下的極值問(wèn)題約束條件下的極值問(wèn)題2021-8-8數(shù)學(xué)建模1 1、無(wú)約束極值問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型、無(wú)約束極值問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 min( )xf x2 2、約束條件下極值問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型、約束條件下極值問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 min( )xf x. .( )0,

5、1,2,.,( )0,1,2,.,iistg ximh xin 其中，極大值問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為極小值問(wèn)題來(lái)其中，極大值問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為極小值問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解。如求：進(jìn)行求解。如求：max( )xf x 可以轉(zhuǎn)化為：可以轉(zhuǎn)化為：min( )xf x2021-8-8數(shù)學(xué)建模1 1、無(wú)約束極值問(wèn)題的求解、無(wú)約束極值問(wèn)題的求解 例例1：求函數(shù)：求函數(shù)y=2x3+3x2-12x+14在區(qū)間在區(qū)間-3,4上的最上的最大值與最小值。大值與最小值。解：令解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14 f(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1)解方程解方程f(x)=0，得到，得到x1= -2，x2=1，又，

6、又由于由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142，綜上得，綜上得，函數(shù)函數(shù)f(x)在在x=4取得在取得在-3,4上得最大值上得最大值f(4)=142，在，在x=1處取得在處取得在-3,4上取得最小值上取得最小值f(1)=7 2021-8-8數(shù)學(xué)建模2021-8-8數(shù)學(xué)建模用用MATLAB解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題 其中等式（其中等式（3）、（）、（4）、（）、（5）的右邊可選用（）的右邊可選用（1）或（）或（2）的等式右邊的等式右邊. 函數(shù)函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，

7、并可能只給出局部最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解. 常用格式如下：常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)（3）x，fval= fminbnd（）（4）x，fval，exitflag= fminbnd（）（5）x，fval，exitflag，output= fminbnd（）2021-8-8數(shù)學(xué)建模MATLAB(wliti1) 主程序?yàn)橹鞒绦驗(yàn)閣liti1.m: f=2*exp(-x).*sin(x); fplot(f,0,8); %作圖語(yǔ)句作圖語(yǔ)句 xmin,ymin=fminbn

8、d (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin (x); xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8)2021-8-8數(shù)學(xué)建模例例2 有邊長(zhǎng)為有邊長(zhǎng)為3m的正方形鐵板，在四個(gè)角剪去相等的正方形以的正方形鐵板，在四個(gè)角剪去相等的正方形以制成方形無(wú)蓋水槽，問(wèn)如何剪法使水槽的容積最大？制成方形無(wú)蓋水槽，問(wèn)如何剪法使水槽的容積最大？解解先編寫先編寫M文件文件fun0.m如下如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).2*x;主程序?yàn)橹鞒绦驗(yàn)閣liti2.m: x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5); xmax=x fmax=-fval運(yùn)算結(jié)果

9、為運(yùn)算結(jié)果為: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的邊即剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為0.5m時(shí)水槽的容積最大時(shí)水槽的容積最大,最大容積為最大容積為2m3.MATLAB(wliti2)2021-8-8數(shù)學(xué)建模 命令格式為命令格式為:（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或）；或x=fminsearch（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；）； 或或x=fminsearch（fun,X0 ，options）（3）x，fval= fminunc（.）；）； 或或x，fval= fminsearch（.）（4）x，fval

10、，exitflag= fminunc（.）；）； 或或x，fval，exitflag= fminsearch（5）x，fval，exitflag，output= fminunc（.）；）； 或或x，fval，exitflag，output= fminsearch（.） 2.多元函數(shù)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題多元函數(shù)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)型為：標(biāo)準(zhǔn)型為：min()F X2021-8-8數(shù)學(xué)建模例例 用用fminsearch函數(shù)求解函數(shù)求解輸入命令輸入命令: f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2;x,fval,exitflag,output=fminsearch(f,-1.2 2)運(yùn)行結(jié)果運(yùn)行

11、結(jié)果: x =1.0000 1.0000fval =1.9151e-010exitflag = 1output= iterations: 108 funcCount: 202 algorthm: Nelder-Mead simplex direct search 2021-8-8數(shù)學(xué)建模有約束最優(yōu)化有約束最優(yōu)化最優(yōu)化方法分類最優(yōu)化方法分類（一）（一）線性最優(yōu)化線性最優(yōu)化：目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線：目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的則稱為線性最優(yōu)化。性的則稱為線性最優(yōu)化。 非線性最優(yōu)化非線性最優(yōu)化：目標(biāo)函數(shù)和約束條件如果含：目標(biāo)函數(shù)和約束條件如果含有非線性的，則稱為非線性最優(yōu)化。有非線性的，則稱為非線

12、性最優(yōu)化。 （二）（二）靜態(tài)最優(yōu)化靜態(tài)最優(yōu)化：如果可能的方案與時(shí)間無(wú)關(guān)，：如果可能的方案與時(shí)間無(wú)關(guān)，則是靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題。則是靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題。 動(dòng)態(tài)最優(yōu)化動(dòng)態(tài)最優(yōu)化：如果可能的方案與時(shí)間有關(guān)，如果可能的方案與時(shí)間有關(guān)，則是動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題則是動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題2021-8-8數(shù)學(xué)建模有約束最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模有約束最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模 有約束最優(yōu)化模型一般具有以下形式：有約束最優(yōu)化模型一般具有以下形式：min( ). .xf xst或或max( ). .xf xst 其中其中f(x)為目標(biāo)函數(shù)，省略號(hào)表示約束式子，可以是為目標(biāo)函數(shù)，省略號(hào)表示約束式子，可以是等式約束，也可以是不等式約束。等式約束，也可

13、以是不等式約束。2021-8-8數(shù)學(xué)建模 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)，約束條件的特點(diǎn)將最優(yōu)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)，約束條件的特點(diǎn)將最優(yōu)化方法包含的主要內(nèi)容大致如下劃分：化方法包含的主要內(nèi)容大致如下劃分：線性規(guī)劃線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃 對(duì)策論對(duì)策論最優(yōu)化方法主要內(nèi)容最優(yōu)化方法主要內(nèi)容2021-8-8數(shù)學(xué)建模問(wèn)題一問(wèn)題一：某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)：某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)I、II兩種產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及A、B兩種原材料的兩種原材料的消耗，如下表所示消耗，如下表所示 12kg40原材料原材料B16kg0

14、4原材料原材料A8臺(tái)時(shí)臺(tái)時(shí)21設(shè)備設(shè)備III該工廠每生產(chǎn)一件產(chǎn)品該工廠每生產(chǎn)一件產(chǎn)品I可獲利可獲利2元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品II可獲利可獲利3元。問(wèn)應(yīng)如何安排計(jì)劃使該工廠獲利最多？元。問(wèn)應(yīng)如何安排計(jì)劃使該工廠獲利最多？ 2021-8-8數(shù)學(xué)建模解解：該工廠生產(chǎn)產(chǎn)品：該工廠生產(chǎn)產(chǎn)品I x1件，生產(chǎn)產(chǎn)品件，生產(chǎn)產(chǎn)品II x2件，件，我們可建立如下數(shù)學(xué)模型：我們可建立如下數(shù)學(xué)模型：2132maxxxz0,12416482212121xxxxxxs.t.2021-8-8數(shù)學(xué)建模問(wèn)題二問(wèn)題二： 某廠每日某廠每日8小時(shí)的產(chǎn)量不低于小時(shí)的產(chǎn)量不低于1800件件.為了進(jìn)行質(zhì)量為了進(jìn)行質(zhì)量控制，計(jì)劃

15、聘請(qǐng)兩種不同水平的檢驗(yàn)員控制，計(jì)劃聘請(qǐng)兩種不同水平的檢驗(yàn)員.一級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：一級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度速度25件件/小時(shí)，正確率小時(shí)，正確率98%，計(jì)時(shí)工資，計(jì)時(shí)工資4元元/小時(shí)；二級(jí)檢驗(yàn)員小時(shí)；二級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度的標(biāo)準(zhǔn)為：速度15件件/小時(shí)，正確率小時(shí)，正確率95%，計(jì)時(shí)工資，計(jì)時(shí)工資3元元/小時(shí)小時(shí).檢檢驗(yàn)員每錯(cuò)檢一次，工廠要損失驗(yàn)員每錯(cuò)檢一次，工廠要損失2元元.為使總檢驗(yàn)費(fèi)用最省，該工為使總檢驗(yàn)費(fèi)用最省，該工廠應(yīng)聘一級(jí)、二級(jí)檢驗(yàn)員各幾名？廠應(yīng)聘一級(jí)、二級(jí)檢驗(yàn)員各幾名？解解 設(shè)需要一級(jí)和二級(jí)檢驗(yàn)員的人數(shù)分別為設(shè)需要一級(jí)和二級(jí)檢驗(yàn)員的人數(shù)分別為x1、x2人人,則應(yīng)付檢驗(yàn)員的工資為：則

16、應(yīng)付檢驗(yàn)員的工資為：212124323848xxxx因檢驗(yàn)員錯(cuò)檢而造成的損失為：因檢驗(yàn)員錯(cuò)檢而造成的損失為：21211282)%5158%2258(xxxx2021-8-8數(shù)學(xué)建模故目標(biāo)函數(shù)為：故目標(biāo)函數(shù)為：2121213640)128()2432(minxxxxxxz約束條件為：約束條件為：0,18001582582121xxxx2021-8-8數(shù)學(xué)建模 運(yùn)用最優(yōu)化方法解決最優(yōu)化問(wèn)題的一般運(yùn)用最優(yōu)化方法解決最優(yōu)化問(wèn)題的一般方法步驟如下：方法步驟如下：前期分析：分析問(wèn)題，找出要解決的目標(biāo)，約束條件，前期分析：分析問(wèn)題，找出要解決的目標(biāo)，約束條件，并確立最優(yōu)化的目標(biāo)。并確立最優(yōu)化的目標(biāo)。定義變量

17、，建立最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，列出目標(biāo)函定義變量，建立最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件。數(shù)和約束條件。針對(duì)建立的模型，選擇合適的求解方法或數(shù)學(xué)軟件。針對(duì)建立的模型，選擇合適的求解方法或數(shù)學(xué)軟件。編寫程序，利用計(jì)算機(jī)求解。編寫程序，利用計(jì)算機(jī)求解。對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，討論諸如：結(jié)果的合理性、正確性，對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，討論諸如：結(jié)果的合理性、正確性，算法的收斂性，模型的適用性和通用性，算法效率與算法的收斂性，模型的適用性和通用性，算法效率與誤差等。誤差等。2021-8-8數(shù)學(xué)建模某豆腐店用黃豆制作兩種不同口感的豆腐出售。制作口感較鮮嫩的豆腐每千克需要0.3千克一級(jí)黃豆及0.5千克二級(jí)黃豆，售價(jià)

18、10元；制作口感較厚實(shí)的豆腐每千克需要0.4千克一級(jí)黃豆及0.2千克二級(jí)黃豆，售價(jià)5元。現(xiàn)小店購(gòu)入9千克一級(jí)黃豆和8千克二級(jí)黃豆。問(wèn)：應(yīng)如何安排制作計(jì)劃才能獲得最大收益。2021-8-8數(shù)學(xué)建模一、問(wèn)題前期分析一、問(wèn)題前期分析該問(wèn)題是在不超出制作該問(wèn)題是在不超出制作兩兩種種不同不同口感豆腐所需黃口感豆腐所需黃豆總量條件下合理安排制作計(jì)劃，使得售出豆總量條件下合理安排制作計(jì)劃，使得售出各種豆腐能獲得最大收益。各種豆腐能獲得最大收益。二、二、模型假設(shè)模型假設(shè)1假設(shè)制作的豆腐能全部售出。假設(shè)制作的豆腐能全部售出。2假設(shè)豆腐售價(jià)無(wú)波動(dòng)。假設(shè)豆腐售價(jià)無(wú)波動(dòng)。2021-8-8數(shù)學(xué)建模變量假設(shè)：變量假設(shè)：

19、設(shè)計(jì)劃制作口感鮮嫩和厚實(shí)的豆腐各設(shè)計(jì)劃制作口感鮮嫩和厚實(shí)的豆腐各x1千克千克和和 x2千克，可獲得收益千克，可獲得收益R元。元。目標(biāo)函數(shù)：獲得的總收益最大。目標(biāo)函數(shù)：獲得的總收益最大。 總收益可表示為：總收益可表示為： 21510 xxR受一級(jí)黃豆數(shù)量限制：受一級(jí)黃豆數(shù)量限制： 受二級(jí)黃豆數(shù)量限制：受二級(jí)黃豆數(shù)量限制： 94 . 03 . 021xx82 . 05 . 021xx2021-8-8數(shù)學(xué)建模綜上分析，得到該問(wèn)題的線性規(guī)劃模型綜上分析，得到該問(wèn)題的線性規(guī)劃模型 21510maxxxR94 . 03 . 021xx82 . 05 . 021xx0,21xxs.t.2021-8-8數(shù)學(xué)建

20、模用用Matlab編程求解程序如下：編程求解程序如下：X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT = LINPROG(f,A,b) f = -10 5;A = 0.3 0.4;0.5 0.2;B = 9;8;X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT = LINPROG(f,A,b)X = 10.0000 15.0000FVAL = -175.00002021-8-8數(shù)學(xué)建模用用YALMIP編程求解程序如下：編程求解程序如下：x=sdpvar(1,2);C=10 5;a=0.3 0.4;0.5 0.2;b=9 8;f=C*x;F=set(0=x=inf); F=F+set(a*x=b);s

21、olvesdp(F,-f)double(f)double(x) ans = 175ans = 10 152021-8-8數(shù)學(xué)建模 設(shè)某工廠有甲、乙、丙、丁四個(gè)車間，生產(chǎn)設(shè)某工廠有甲、乙、丙、丁四個(gè)車間，生產(chǎn)A、B、C、D、E、F六種產(chǎn)品。根據(jù)機(jī)床性能六種產(chǎn)品。根據(jù)機(jī)床性能和以前的生產(chǎn)情況，得知每單位產(chǎn)品所需車間的和以前的生產(chǎn)情況，得知每單位產(chǎn)品所需車間的工作小時(shí)數(shù)、每個(gè)車間在一個(gè)季度工作小時(shí)的上工作小時(shí)數(shù)、每個(gè)車間在一個(gè)季度工作小時(shí)的上限以及單位產(chǎn)品的利潤(rùn)，如下表所示限以及單位產(chǎn)品的利潤(rùn)，如下表所示(例如，生產(chǎn)例如，生產(chǎn)一個(gè)單位的一個(gè)單位的A產(chǎn)品，需要甲、乙、丙三個(gè)車間分別工作產(chǎn)品，需要甲、乙

22、、丙三個(gè)車間分別工作1小時(shí)、小時(shí)、2小時(shí)和小時(shí)和4小時(shí)小時(shí))問(wèn)：每種產(chǎn)品各應(yīng)該每季度生產(chǎn)多少，才能使這問(wèn)：每種產(chǎn)品各應(yīng)該每季度生產(chǎn)多少，才能使這個(gè)工廠每季度生產(chǎn)利潤(rùn)達(dá)到最大。個(gè)工廠每季度生產(chǎn)利潤(rùn)達(dá)到最大。 2021-8-8數(shù)學(xué)建模生產(chǎn)單位生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需產(chǎn)品所需車間的工車間的工作小時(shí)數(shù)作小時(shí)數(shù) ABCDEF每個(gè)車間每個(gè)車間一個(gè)季度一個(gè)季度工作小時(shí)工作小時(shí)的上限的上限甲甲111323500乙乙255500丙丙425500丁丁138500利潤(rùn)利潤(rùn)(百元百元)4.02.45.55.04.58.52021-8-8數(shù)學(xué)建模這是一個(gè)典型的最優(yōu)化問(wèn)題，屬線性規(guī)劃。這是一個(gè)典型的最優(yōu)化問(wèn)題，屬線性規(guī)劃。假設(shè)：

23、產(chǎn)品合格且能及時(shí)銷售出去；工作無(wú)等待情況等假設(shè)：產(chǎn)品合格且能及時(shí)銷售出去；工作無(wú)等待情況等 變量說(shuō)明：變量說(shuō)明： xj：第：第j種產(chǎn)品的生產(chǎn)量（種產(chǎn)品的生產(chǎn)量（j=1,2,6） aij：第：第i車間生產(chǎn)單位第車間生產(chǎn)單位第j種產(chǎn)品所需工作小時(shí)數(shù)種產(chǎn)品所需工作小時(shí)數(shù) （i=1,2,3,4;j=1,2,6） bi：第：第i車間的最大工作上限車間的最大工作上限 cj：第：第j種產(chǎn)品的單位利潤(rùn)種產(chǎn)品的單位利潤(rùn) 則：則： cjxj為第為第j種產(chǎn)品的利潤(rùn)總額；種產(chǎn)品的利潤(rùn)總額； aijxj表示第表示第i車間生產(chǎn)第車間生產(chǎn)第j種產(chǎn)品所花時(shí)間總數(shù)；種產(chǎn)品所花時(shí)間總數(shù)； 2021-8-8數(shù)學(xué)建模于是，我們可建立

24、如下數(shù)學(xué)模型：于是，我們可建立如下數(shù)學(xué)模型：61maxjjjxcz6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1,max04 , 3 , 2 , 14161jabxibxaijiijjijij且為整數(shù)s.t.計(jì)算結(jié)果：計(jì)算結(jié)果：Z(百元百元)x1x2x3x4x5x61320006040100402021-8-8數(shù)學(xué)建模 要從甲城調(diào)出蔬菜要從甲城調(diào)出蔬菜2000噸，從乙城調(diào)出蔬菜噸，從乙城調(diào)出蔬菜2500噸，噸，從丙地調(diào)出從丙地調(diào)出3000噸，分別供應(yīng)噸，分別供應(yīng)A地地2000噸，噸，B地地2300噸、噸、C地地1800噸、噸、D地地1400噸，已知每噸運(yùn)費(fèi)如下表：噸，已知每噸運(yùn)費(fèi)如下表： 供應(yīng)單位

25、供應(yīng)單位調(diào)出單位調(diào)出單位ABCD甲甲21271340乙乙45513720丙丙32352030問(wèn)：如何調(diào)撥才能使運(yùn)費(fèi)最省？問(wèn)：如何調(diào)撥才能使運(yùn)費(fèi)最?。?2021-8-8數(shù)學(xué)建模假設(shè)：假設(shè)：假設(shè)題目中所給運(yùn)費(fèi)已考慮各地間公里數(shù)；假設(shè)題目中所給運(yùn)費(fèi)已考慮各地間公里數(shù)；只考慮運(yùn)量和運(yùn)費(fèi)，不考慮車輛調(diào)撥等其它相關(guān)因素只考慮運(yùn)量和運(yùn)費(fèi)，不考慮車輛調(diào)撥等其它相關(guān)因素不考慮車輛返空的費(fèi)用（或：所給運(yùn)費(fèi)已包含車輛返不考慮車輛返空的費(fèi)用（或：所給運(yùn)費(fèi)已包含車輛返空的費(fèi)用）空的費(fèi)用）變量說(shuō)明：變量說(shuō)明：xij:從第從第i城運(yùn)往第城運(yùn)往第j地的蔬菜數(shù)量（地的蔬菜數(shù)量（i=1,2,3;j=1,2,3,4）aij:從第從

26、第i城運(yùn)往第城運(yùn)往第j地的單位運(yùn)費(fèi)（地的單位運(yùn)費(fèi)（ i=1,2,3;j=1,2,3,4 ）bi:從第從第i城調(diào)出的蔬菜總量城調(diào)出的蔬菜總量 cj:第第j地所需蔬菜總量地所需蔬菜總量 2021-8-8數(shù)學(xué)建模可以建立如下模型：可以建立如下模型：3141minijijijxaz4131(1,2,3)(1,2,3,4)0(1,2,3;1,2,3,4)min( ,)ijijijjiijijijxbixcjxijxb cs.t.2021-8-8數(shù)學(xué)建模 最優(yōu)化問(wèn)題中的所有變量均為整數(shù)時(shí)，這類最優(yōu)化問(wèn)題中的所有變量均為整數(shù)時(shí)，這類問(wèn)題稱為整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。問(wèn)題稱為整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。 如果線性規(guī)劃中的所有變量均為整

27、數(shù)時(shí)，稱如果線性規(guī)劃中的所有變量均為整數(shù)時(shí)，稱這類問(wèn)題為線性整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。這類問(wèn)題為線性整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。 整數(shù)規(guī)劃可分為線性整數(shù)規(guī)劃和非線性整數(shù)整數(shù)規(guī)劃可分為線性整數(shù)規(guī)劃和非線性整數(shù)規(guī)劃規(guī)劃 ，以及混合整數(shù)規(guī)劃等。，以及混合整數(shù)規(guī)劃等。 如果決策變量的取值要么為如果決策變量的取值要么為0 0，要么為，要么為1 1，則，則這樣的規(guī)劃問(wèn)題稱為這樣的規(guī)劃問(wèn)題稱為0 01 1規(guī)劃。規(guī)劃。2021-8-8數(shù)學(xué)建模例例1 某鋼廠兩個(gè)煉鋼爐同時(shí)各用一種方法煉鋼。某鋼廠兩個(gè)煉鋼爐同時(shí)各用一種方法煉鋼。第一種煉法每爐用第一種煉法每爐用a小時(shí)，第二種用小時(shí)，第二種用b小時(shí)（包小時(shí)（包括清爐時(shí)間）。假定這兩種煉法，每

28、爐出鋼都是括清爐時(shí)間）。假定這兩種煉法，每爐出鋼都是k公斤，而煉公斤，而煉1公斤鋼的平均燃料費(fèi)第一法為公斤鋼的平均燃料費(fèi)第一法為m元，元，第二法為第二法為n元。若要求在元。若要求在c小時(shí)內(nèi)煉鋼公斤數(shù)不少小時(shí)內(nèi)煉鋼公斤數(shù)不少于于d，試列出燃料費(fèi)最省的兩種方法的分配方案，試列出燃料費(fèi)最省的兩種方法的分配方案的數(shù)學(xué)模型。的數(shù)學(xué)模型。2021-8-8數(shù)學(xué)建模設(shè)用第一種煉法煉鋼設(shè)用第一種煉法煉鋼x1爐，第二種煉鋼爐，第二種煉鋼x2爐爐 )(maxnymxkz且為整數(shù)0,)(212121xxdxxkcbxcaxs.t.2021-8-8數(shù)學(xué)建模引例引例2.資源分配問(wèn)題：資源分配問(wèn)題： 某個(gè)中型的百貨商場(chǎng)要求

29、售貨人員每周工作某個(gè)中型的百貨商場(chǎng)要求售貨人員每周工作5天，連續(xù)休息天，連續(xù)休息2天，工資天，工資200元元/周，已知對(duì)售貨人周，已知對(duì)售貨人員的需求經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析如下表，問(wèn)如何安排可使員的需求經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析如下表，問(wèn)如何安排可使配備銷售人員的總費(fèi)用最少？配備銷售人員的總費(fèi)用最少？星期星期一一二二三三四四五五六六日日所需售貨員人數(shù)所需售貨員人數(shù)18151216191412開(kāi)始休息的人數(shù)開(kāi)始休息的人數(shù) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 設(shè)決策變量如上，可建立如下模型：設(shè)決策變量如上，可建立如下模型：2021-8-8數(shù)學(xué)建模12345672345634567456715671267123712

30、34123451234567min200()18151216. .191414,0zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxxxxxxxxxxxx x x x x x x且為整數(shù)2021-8-8數(shù)學(xué)建模非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)模型：非線性規(guī)劃問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)模型：其中，其中， ， 為目標(biāo)函數(shù)，為目標(biāo)函數(shù)， 為約束函數(shù)，這些函數(shù)中至少有為約束函數(shù)，這些函數(shù)中至少有一個(gè)是非線性函數(shù)。一個(gè)是非線性函數(shù)。min( ). .( )0,1,2,( )0,1,2, .ijf xstg ximh xjlnEx)(xf)(),(xhxgji2021-8-8數(shù)學(xué)建模應(yīng)

31、用實(shí)例：應(yīng)用實(shí)例： 供應(yīng)與選址供應(yīng)與選址 某公司有某公司有6個(gè)建筑工地要開(kāi)工，每個(gè)工地的位置（用平面坐標(biāo)系個(gè)建筑工地要開(kāi)工，每個(gè)工地的位置（用平面坐標(biāo)系a，b表示，距離單位：表示，距離單位：km）及水泥日用量）及水泥日用量d(t)由下表給出目前有由下表給出目前有兩個(gè)臨時(shí)料場(chǎng)位于兩個(gè)臨時(shí)料場(chǎng)位于A(5,1)，B(2,7)，日儲(chǔ)量各有，日儲(chǔ)量各有20t假設(shè)從料場(chǎng)到假設(shè)從料場(chǎng)到工地之間均有直線道路相連工地之間均有直線道路相連 （1）試制定每天的供應(yīng)計(jì)劃，即從）試制定每天的供應(yīng)計(jì)劃，即從A，B兩料場(chǎng)分別向各工地運(yùn)兩料場(chǎng)分別向各工地運(yùn)送多少水泥，可使總的噸千米數(shù)最小送多少水泥，可使總的噸千米數(shù)最小 （2）為了進(jìn)一步減少噸千米數(shù)，打算舍棄兩個(gè)臨時(shí)料場(chǎng)，改建兩）為了進(jìn)一步減少噸千米數(shù)，打算舍棄兩個(gè)臨時(shí)料場(chǎng)，改建兩個(gè)新的，日儲(chǔ)量各為個(gè)新的，日儲(chǔ)量各為20t，問(wèn)應(yīng)建在何處，節(jié)省的噸千米數(shù)有多大？，問(wèn)應(yīng)建在何處，節(jié)省的噸千米數(shù)有多大？2021-8-8數(shù)學(xué)建模（一）建立模型（一）建立模型 記工地的位置為記工地的位置為(ai，bi)，水泥日用量為，水泥日用量為di，i=1,6;料場(chǎng)位置為料場(chǎng)位置為(xj，yj)，日儲(chǔ)量為，