論第一次數(shù)學(xué)危機產(chǎn)生的原因和影響

1、論第一次數(shù)學(xué)危機產(chǎn)生的原因和影響 目錄第一次數(shù)學(xué)危機的簡介2第一次數(shù)學(xué)危機產(chǎn)生的原因3第一次數(shù)學(xué)危機的解決4第一次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)物：古典邏輯與歐氏幾何學(xué)5第一次數(shù)學(xué)危機的影響6參考文獻7 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 趙文君 0710120040摘要：畢達(dá)哥拉斯關(guān)于數(shù)的信條及以數(shù)為基礎(chǔ)的宇宙模型的破產(chǎn)，導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機。這一危機的影響是巨大的，它不僅推動了數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的發(fā)展，使古希臘數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)發(fā)生了根本性的變化，而且推動了整個科學(xué)的發(fā)展。本文就第一次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生、解決到影響作了簡單的介紹。關(guān)鍵詞： 第一次數(shù)學(xué)危機 無理數(shù) 畢達(dá)哥拉斯 我們了解的數(shù)學(xué)危機有三大，如果說每次危機都把數(shù)學(xué)家們推

2、入黑暗，但是隨著危機的解決帶來是更好的光明，三大數(shù)學(xué)危機帶來的也是三大數(shù)學(xué)成就。從哲學(xué)的觀點來看矛盾就是無處不在的，數(shù)學(xué)這么嚴(yán)密的學(xué)科也不例外?？v觀數(shù)學(xué)的發(fā)展，就是不斷的產(chǎn)生沖突和危機并把它們解決的過程。知識是人們總結(jié)出來的，人的認(rèn)識是有限的，所以知識本身是應(yīng)該隨著社會的發(fā)展不斷地突破的。一次大的數(shù)學(xué)危機，對人們的影響是非常大的，當(dāng)你一直認(rèn)為理所當(dāng)然的事卻被指出是錯的的時候，人們是很難接受的，所以危機的解除也是相當(dāng)困難的事情。我們并未經(jīng)歷這么大的數(shù)學(xué)危機，不能體會自己的觀念完全被推翻的感受?；趯Υ宋覑酆没蛘哒f好奇，我選擇了這個主題。第一次數(shù)學(xué)危機的簡介：從某種意義上來講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)來源

3、于古希臘的畢達(dá)哥加斯學(xué)派。這個學(xué)派興旺的時期為公元前500年左右，它是一個違心主義流派。他們重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧及規(guī)律性。他們認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，認(rèn)為數(shù)學(xué)的知識是可靠的、準(zhǔn)確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實的世界。數(shù)學(xué)的知識是由于純粹的思維而獲得，并不需要觀察、直覺及日常經(jīng)驗。畢達(dá)哥加斯的數(shù)是指整數(shù)，他們在數(shù)學(xué)上的一項重大發(fā)現(xiàn)是證明了勾股定理。他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊比不能用整數(shù)來表達(dá)，也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。這樣一來，就否定了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為

4、整數(shù)或整數(shù)之比。不可通約性的發(fā)現(xiàn)引起第一次數(shù)學(xué)危機。有人說，這種性質(zhì)是西帕索斯約在公元前400年發(fā)現(xiàn)的，為此，他的同伴把他拋進大海。不過更有可能是畢達(dá)哥拉斯已經(jīng)知道這種事實，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個發(fā)現(xiàn)對古希臘的數(shù)學(xué)觀點有極大的沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時這也反映出，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系，這不能不說是數(shù)學(xué)思想上一次巨大革命，這也是第一次數(shù)學(xué)

5、危機的自然產(chǎn)物?；仡櫼郧暗母鞣N數(shù)學(xué)，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實際出發(fā)，應(yīng)用到實際問題中去的。比如泰勒斯預(yù)測日食，利用影子距離計算金字塔高度，測量船只離岸距離等等，都是屬于計算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數(shù)學(xué)，并沒有經(jīng)歷過這樣的危機和革命，所以也就一直停留在“算學(xué)”階段。而希臘數(shù)學(xué)則走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得幾何原本的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，把數(shù)的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關(guān)系。這樣做的最大不幸是放棄了對無理數(shù)本身的研究，使算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制，基本理論十分

6、薄溺。這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了2000多年。第一次數(shù)學(xué)危機產(chǎn)生的原因：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在數(shù)學(xué)上的一項重大發(fā)現(xiàn)是證明了畢達(dá)哥拉斯定理即我們所說的勾股定理。就是指直角三角形三邊有如下關(guān)系的一個命題，即： (1) 和 分別代表直角三角形的兩條直角邊， 表示斜邊。這個學(xué)派還認(rèn)為滿足（1）式的數(shù)有無窮多個，并提供了下述三元數(shù)組，即若是奇數(shù)，并且,則有:, (2)這三元數(shù)組只是使（1）式成立的充分條件，而不是必要條件。當(dāng)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派進一步致力于等式（1）和等式（2）的研究時，米太旁登的希帕蘇斯，發(fā)現(xiàn)了在等腰直角三角形中，（1）式中出現(xiàn)了下述結(jié)果： (3)如果直角三角形的兩條直角邊都等于1 時，其斜邊

7、的長就恰好等于。而 找不到可以公度的幾何實體，這在當(dāng)時的認(rèn)識水平下，無疑是一個矛盾。此外，是否是個數(shù)？對于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派來說，這確實是一個可怕的問題。因為如果承認(rèn)它是數(shù)，就要與“數(shù)即萬物”中所說的整數(shù)發(fā)生不可調(diào)和的矛盾。相傳當(dāng)時畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人正在海上，就因這一發(fā)現(xiàn)把希帕蘇斯投到海里，因為他在宇宙中搞出這樣一個東西否定了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條宇宙中的一切現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為正整數(shù)或正整數(shù)之比。等式(3）所引出的對于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是一個致命的打擊?！?數(shù)即萬物”的世界觀被徹底地動搖了。由此引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機!。第一次數(shù)學(xué)危機的解決：數(shù)學(xué)的第一次危機的解決大約在公元前#$ 年，才華橫溢的希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)

8、哥拉斯的學(xué)生阿契塔和歐多克索斯以及柏拉圖給出兩個相等的定義從而消除了這次危機。他們給出的定義與所涉及的量是否有公度無關(guān)，其實這也是自然的，因為兩個線段的比本來與第三個線段無關(guān)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先給出了以單位長為邊的正方形的對角線的長度不能用整數(shù)之比來表示的證明方法，證明過程如下：假設(shè)：是有理數(shù)，設(shè)(p,q均為自然數(shù)，且（p,q）=1)所以，兩邊平方得： （1）所以必為2的倍數(shù)，故q必為2的倍數(shù)。因為 （p,q）=1，得p為奇數(shù)。記，把兩式代入（1）得：整理得：，顯然左邊為奇數(shù)右邊為偶數(shù)，引出矛盾，故為無理數(shù)。還有很多方法可以證明為無理數(shù)。是無理數(shù)的種種證明，使我們對無理數(shù)有了進一步的認(rèn)識，對數(shù)

9、學(xué)中的美、對各種豐富的數(shù)學(xué)思想方法會有更深刻的感受。 數(shù)學(xué)的第一次危機的實質(zhì)主要在于數(shù)學(xué)家的思維囿于錯誤的哲學(xué)思想，即主要在于數(shù)學(xué)家的思維被錯誤哲學(xué)思想支配了。本來就是一個數(shù)，但它的發(fā)現(xiàn)結(jié)果反而導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的危機，并成了“ 數(shù)即萬物”，而“數(shù)”又只能是整數(shù)或整數(shù)的比這種錯誤哲學(xué)觀點的犧牲品。第一次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)物：古典邏輯與歐氏幾何學(xué) 亞里士多德的方法論對于數(shù)學(xué)方法的影響是巨大的，他指出了正確的定義原理。亞里士多德繼承自己老師柏拉圖的觀念，把定義與存在區(qū)分，由某些屬性來定義的東西可能未必存在(如正九面體)。另外，定義必須用已存在的定義過的東西來定義，所以必定有些最原始的定義，如點、直線等。而證明存

10、在的方法需要規(guī)定和限制。亞里士多德還指出公理的必要性，因為這是演繹推理的出發(fā)點。他區(qū)別了公理和公設(shè)，認(rèn)為公理是一切科學(xué)所公有的真理，而公設(shè)則只是某一門學(xué)科特有的最基本的原理。他把邏輯規(guī)律(矛盾律、排中律等)也列為公理。亞里士多德對邏輯推理過程進行深入研究，得出三段論法，并把它表達(dá)成一個公理系統(tǒng)，這是最早的公理系統(tǒng)。他關(guān)于邏輯的研究不僅使邏輯形成一個獨立學(xué)科，而且對數(shù)學(xué)證明的發(fā)展也有良好的影響。亞里士多德對于離散與連續(xù)的矛盾有一定闡述。對于潛在的無窮(大)和實在的無窮(大)加以區(qū)別。他認(rèn)為正整數(shù)是潛在無窮的，因為任何整數(shù)加上1以后總能得到一個新的數(shù)。但是他認(rèn)為所謂“無窮集合”是不存在的。他認(rèn)為空

11、間是潛在無窮的，時間在延長上是潛在無窮的，在細(xì)分上也是潛在無窮的。歐幾里得的幾何原本對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用無須在此多談。不過應(yīng)該指出，歐幾里得的貢獻在于他有史以來第一次總結(jié)了以往希臘人的數(shù)學(xué)知識，構(gòu)成一個標(biāo)準(zhǔn)化的演繹體系。這對數(shù)學(xué)乃至哲學(xué)、自然科學(xué)的影響一直延續(xù)到十九世紀(jì)。牛頓的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和斯賓諾沙的倫理學(xué)等都采用了歐幾里得幾何原本的體例。歐幾里得的平面幾何學(xué)為幾何原本的最初四篇與第六篇。其中有七個原始定義，五個公理和五個公設(shè)。他規(guī)定了存在的證明依賴于構(gòu)造。幾何原本在西方世界成為僅次于圣經(jīng)而流傳最廣的書籍。它一直是幾何學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)著作。但是它還存在許多缺點并不斷受到批評，比如對于點、線、面的定義

12、是不嚴(yán)格的：“點是沒有部分的對象”，“線是沒有寬度的長度(線指曲線)”，“面是只有長度和寬度的對象”。顯然，這些定義是不能起邏輯推理的作用。特別是直線、平面的定義更是從直觀來解釋的。另外，他的公理五是“整體大于部分”，沒有涉及無窮量的問題。在他的證明中，原來的公理也不夠用，須加上新的公理。特別是平行公設(shè)是否可由其他公理、公設(shè)推出更是人所矚目的問題。盡管如此，近代數(shù)學(xué)的體系特點在其中已經(jīng)基本上形成了。第一次數(shù)學(xué)危機的影響：第一次數(shù)學(xué)危機的影響是巨大的。首先，它推動了數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。例如，歐幾里得幾何就是在第一次數(shù)學(xué)危機中產(chǎn)生的。除此而外，數(shù)理天文學(xué)的發(fā)展也有賴于第一次數(shù)學(xué)危機。由于宇宙是

13、幾何的，宇宙的規(guī)律是幾何規(guī)律，因此研究宇宙就離不開幾何圖形以及幾何理論。其次，第一次數(shù)學(xué)危機使古希臘數(shù)學(xué)基礎(chǔ)發(fā)生了根本性的變化。我們知道，在第一次數(shù)學(xué)危機之前，古希臘的數(shù)學(xué)是以數(shù)為基礎(chǔ)的。第一次數(shù)學(xué)危機之后，古希臘的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)則轉(zhuǎn)向幾何。以幾何為基礎(chǔ)，使數(shù)學(xué)的公理化成為可能。而以數(shù)為基礎(chǔ)，在古代是不可能建立數(shù)學(xué)的公理系統(tǒng)的。這只要對照一下事實就清楚了。在古代，有不少國家的數(shù)學(xué)是以數(shù)為基礎(chǔ)的，在這些國家從未建立起數(shù)學(xué)的公理系統(tǒng)。即使在西方，數(shù)的公理系統(tǒng)的建立也是很晚的事情。最后，數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)的建立，還對整個科學(xué)的發(fā)展起了巨大的推動作用。我們知道，近代科學(xué)誕生于西方，其原因是多方面的。譬如，生產(chǎn)的發(fā)

14、展、實驗之風(fēng)的流行、文藝復(fù)興運動或宗教改革運動帶來的思想解放，等等。但我們?nèi)糇犯菰淳蜁l(fā)現(xiàn)，近代科學(xué)的源頭是古希臘文明。古希臘文明包括很多因素，但與近代科學(xué)最直接相關(guān)的是它的科學(xué)精神和科學(xué)方法。古希臘的數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)，是它的科學(xué)精神和科學(xué)方法的集中體現(xiàn)。近代西方學(xué)者正是通過學(xué)習(xí)古希臘的數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)，才領(lǐng)悟并把握古希臘的科學(xué)精神和科學(xué)方法的。借助這種科學(xué)精神和科學(xué)方法，他們創(chuàng)立了近代科學(xué)。不僅如此，古希臘的數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)還是近代科學(xué)的模型或種子。有了這粒種子，近代科學(xué)才得以誕生。就這樣，由于古希臘數(shù)學(xué)的哲學(xué)背景，使其有可能建立世界上第一個數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)。而這個系統(tǒng)是近代科學(xué)的種子。這粒種子在近代西方

15、適宜的土壤條件下發(fā)芽、生長，最后成為一棵科學(xué)的參天大樹。從這個意義上來看，我們可以說第一次數(shù)學(xué)危機對近代科學(xué)乃至整個科學(xué)的發(fā)展起了巨大的促進作用。概而言之，第一次數(shù)學(xué)危機，不僅僅是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個事件，也不僅僅是古希臘科學(xué)中的一個事件，而是整個科學(xué)發(fā)展進程中的一個重要事件，也是整個人類文明演變歷史中的一個重要事件。參考文獻1、（美）h.伊夫斯，數(shù)學(xué)史上的里程碑，歐陽絳等譯，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，19902、 毛建儒 ，第一次數(shù)學(xué)分析及其哲學(xué)分析，2005年2月3、（美）h.伊夫斯，數(shù)學(xué)史概論，歐陽絳等譯，山西人民出版社，19864、 林夏水，數(shù)學(xué)哲學(xué)，北京：商務(wù)印書館 ，2003the reason and influence of the first mathematical crisissummary: the firtst mathematical crisis has great influence on the development of mathematical and some other related disciplines