2.1無窮大量無窮小量ppt課件

1、2021年7月6日星期二02.4 2.4 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量一、無窮小量一、無窮小量定義定義 極限為零的變量稱為無窮小量。極限為零的變量稱為無窮小量。注注 由定義知無窮小量為一個變量而不是數(shù)；由定義知無窮小量為一個變量而不是數(shù)；定義中的極限包括定義中的極限包括7種形式的極限，因此說一個變量是種形式的極限，因此說一個變量是無窮小量必須指明自變量的變化趨勢；無窮小量必須指明自變量的變化趨勢；0看作常量函數(shù)時看作常量函數(shù)時lim0=0，因而，因而(不論在自變量的哪一種不論在自變量的哪一種變化趨勢下變化趨勢下)0是無窮小量，但無窮小量不一定是是無窮小量，但無窮小量不一定是0。定理定理

2、是是無無窮窮小小量量，AxfAxf)()(lim2021年7月6日星期二1例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注注1:1: 無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2021年7月6日星期二22 2、性質(zhì)、性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 有限個無窮小量之和、差、積仍是無窮小量；有限個無窮小量之和、差、積仍是無窮小量；性質(zhì)性質(zhì)2 無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量；無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量；

3、性質(zhì)性質(zhì)3 無窮小量除以極限不為零的變量仍是無窮小量。無窮小量除以極限不為零的變量仍是無窮小量。例例。求求極極限限xxxxxsinsinlim解解xxxxxsinsinlimxxxxxsin11sin11lim)sin1(lim1)sin1(lim1xxxxxx無窮小量乘以無窮小量乘以有界變量有界變量101012021年7月6日星期二33 3、比較、比較 由無窮小量的性質(zhì)，兩個無窮小量的和、差、積仍是無由無窮小量的性質(zhì)，兩個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量，但對兩個無窮小量的商結(jié)果就復(fù)雜得多，例如當(dāng)窮小量，但對兩個無窮小量的商結(jié)果就復(fù)雜得多，例如當(dāng)x1時時f(x)=x-1、g(x)=x2-1、

4、h(x)=(x-1)2都是無窮小量，但都是無窮小量，但；2111lim)()(lim211xxxgxfxx不存在；不存在；2211) 1(1lim)()(limxxxhxgxx。01) 1(lim)()(lim211xxxfxhxx可以看出，兩個無窮小可以看出，兩個無窮小量的商可能極限不存在，量的商可能極限不存在，極限存在時可能等于零極限存在時可能等于零也可能不為零。也可能不為零。極限不同極限不同, ,反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢程度不快慢程度不同同. .為方便，引入以下定義。為方便，引入以下定義。2021年7月6日星期二4定義定義Alim都是無窮小量，且都是無窮小量，且、設(shè)設(shè)A=0

5、則稱則稱是比是比高階的無窮小量，記為高階的無窮小量，記為=o();A0A0則稱則稱與與是同階的無窮小量，記為是同階的無窮小量，記為=O()=O()；特別；特別地當(dāng)?shù)禺?dāng)A=1時稱時稱與與等價，記作等價，記作。例如例如x1時，時，(x-1)2=o(x-1)，x2-1=O(x-1) 。練習(xí)練習(xí) x0時，時，階無窮小量；階無窮小量；的的是是xx2sin階無窮小量；階無窮小量；的的是是xxtan階無窮小量；階無窮小量；的的是是xxcos1高高同同高高2021年7月6日星期二5注注 只有都是無窮小量時才能分階；只有都是無窮小量時才能分階；比較時一定要說明在哪一種變化趨勢下；比較時一定要說明在哪一種變化趨勢

6、下；并非任意兩個無窮小量都可以分階；并非任意兩個無窮小量都可以分階；階的高低反映了無窮小量趨于零的速度。階的高低反映了無窮小量趨于零的速度。時時得到得到不能由不能由xxxexxexcos01coslim0。，但但0sinlim1sinlim0 xxxxxx無無法法比比較較。與與時時無無窮窮小小量量如如xxxgxxfxsin1)(1)(高階的較快，低階的較慢；同階的相當(dāng)；等價的同步。高階的較快，低階的較慢；同階的相當(dāng)；等價的同步。2021年7月6日星期二6 在無窮小量的比較中，無窮小量的等價最為重要，首在無窮小量的比較中，無窮小量的等價最為重要，首先，無窮小量的等價滿足反身性、對稱性、傳遞性。而

7、無窮先，無窮小量的等價滿足反身性、對稱性、傳遞性。而無窮小量的等價的應(yīng)用主要反映在下面的定理：小量的等價的應(yīng)用主要反映在下面的定理：定理定理，且且，為為無無窮窮小小量量，、。存在，則存在，則極限極限limlimlim 此定理表明，求兩個無窮小之比的極限時，分子分母都此定理表明，求兩個無窮小之比的極限時，分子分母都可用等價無窮小來替換。適當(dāng)替換可以簡化極限的計算?？捎玫葍r無窮小來替換。適當(dāng)替換可以簡化極限的計算。 注注 應(yīng)用時注意自變量的變化趨勢；應(yīng)用時注意自變量的變化趨勢； 只有在乘積時才能代換，加減時不可以；只有在乘積時才能代換，加減時不可以；加減時有時可分成兩個極限計算，但分開后每個極限加

8、減時有時可分成兩個極限計算，但分開后每個極限都要得出具體數(shù)值，不能再合并。都要得出具體數(shù)值，不能再合并。2021年7月6日星期二7例例解解練習(xí)練習(xí)。求求極極限限)0()tan()sin(lim0bbxaxx答案答案ba備忘備忘 x0時常用的等價無窮小量有時常用的等價無窮小量有221cos1arctanarcsintansinxxxxxxxxxxxxxxxex1)1 () 1ln(1。求求極極限限230cos1arctansinlimxxxx230cos1arctansinlimxxxx2230)(21limxxxx。22021年7月6日星期二8這里把這里把3x當(dāng)成一個整體，當(dāng)當(dāng)成一個整體，當(dāng)x

9、-時它是無窮小量時它是無窮小量例例。求求極極限限)21ln()31ln(limxxx 在代換時我們關(guān)注的不是自變量是否趨于零，而是保證在代換時我們關(guān)注的不是自變量是否趨于零，而是保證代換的那一部分代換的那一部分(有時是自變量的表達(dá)式有時是自變量的表達(dá)式)必須是無窮小量。必須是無窮小量。解解)21ln()31ln(limxxx xxx23lim練習(xí)練習(xí)。求極限求極限nnnx2sin2lim答案答案x023limxx2021年7月6日星期二9 。xxxxsin3sin5sinlim10 。xxx4tan2tanlim24 。xxxcos1cos1lim30 。) 1, 0, 0(11lim40bb

10、abaxxx 。)1ln(1lim520 xxxx 。xxx220arctan1sin1lim6答答 案案2021年7月6日星期二10二、無窮大量二、無窮大量 極限不存在包括兩種情況：跳躍型極限不存在包括兩種情況：跳躍型(振蕩型振蕩型)和無限增大和無限增大型。第二種極限稱為無窮大，也就是說，若在自變量的某一型。第二種極限稱為無窮大，也就是說，若在自變量的某一變化趨勢下，函數(shù)變化趨勢下，函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，則稱的絕對值無限增大，則稱f(x)為無窮大為無窮大量。其精確定義如下：量。其精確定義如下：，若若對對的的某某空空心心鄰鄰域域上上有有定定義義在在函函數(shù)數(shù)0)(xxf時時有有，當(dāng)當(dāng)，0

11、000 xxXXxf)(則稱則稱xx0時時f(x)為無窮大量，記為無窮大量，記作作定義定義)(lim0 xfxx對對x的其他變化趨勢可類似定義。的其他變化趨勢可類似定義。2021年7月6日星期二11 注注 無窮大量是一個絕對值可以任意變大的變量無窮大量是一個絕對值可以任意變大的變量, 而不而不是一個很大的常量是一個很大的常量. 當(dāng)當(dāng)(x)取正值無限增大取正值無限增大(取負(fù)值絕對值無取負(fù)值絕對值無限增大限增大)時時, 稱為正無窮大量稱為正無窮大量(負(fù)無窮大量負(fù)無窮大量)，記為，記為 limf(x)=或或limf(x)= 式子式子limf(x)=只是一個記號，實際上只是一個記號，實際上f(x)的極

12、限仍的極限仍是不存在。是不存在。 說一個量是無窮大量是要指明自變量的變化趨勢。說一個量是無窮大量是要指明自變量的變化趨勢。 無窮大量和無窮小量的關(guān)系由下面的定理確定：無窮大量和無窮小量的關(guān)系由下面的定理確定： 定理定理 在自變量的同一變化趨勢下，無窮大量的倒數(shù)是無在自變量的同一變化趨勢下，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，無窮小量的倒數(shù)是無窮大量。窮小量，無窮小量的倒數(shù)是無窮大量。 因而，有關(guān)無窮大量的計算和分析證明可轉(zhuǎn)化為對無窮因而，有關(guān)無窮大量的計算和分析證明可轉(zhuǎn)化為對無窮小量的討論。小量的討論。2021年7月6日星期二12例例。求極限求極限453lim221xxxx解解。極極限限不不存存在在)(

13、453lim221xxxx；0345lim221xxxx 由此對于由此對于0/0形式的有理分式的極限，利用消零法總可以形式的有理分式的極限，利用消零法總可以得出結(jié)果：對分子、分母分解因式，約去公因式直到代入時得出結(jié)果：對分子、分母分解因式，約去公因式直到代入時分子、分母至少一個不為零為止。若分子、分母都不為零，分子、分母至少一個不為零為止。若分子、分母都不為零，則得出非零極限值；若分子為零則得出非零極限值；若分子為零(分母不為零分母不為零)，則函數(shù)為無，則函數(shù)為無窮小量；若分母為零窮小量；若分母為零(分子不為零分子不為零)，則函數(shù)為無窮大量。，則函數(shù)為無窮大量。2021年7月6日星期二130+000 00K 00C 00A +A K ()() +()() -用用A 表示有極限的函數(shù)，表示有極限的函數(shù)，K 表示表示有界函數(shù)，有界函數(shù)，C 代表常數(shù)，總結(jié)出代表常數(shù)，總結(jié)出無窮小量和無窮大量的一些運算無窮小量和無窮大量的一些運算規(guī)律，大家看一看，有沒有參考規(guī)律，大家看一看，有沒有參考價值？價值？2021年7月6日星期二 。235sin3sinlimsin5sinlimsin3sin5sinlim1000 xxxxxxxxxx 。，則