2.1無(wú)窮大量無(wú)窮小量ppt課件

1、2021年7月6日星期二02.4 2.4 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量一、無(wú)窮小量定義定義 極限為零的變量稱為無(wú)窮小量。極限為零的變量稱為無(wú)窮小量。注注 由定義知無(wú)窮小量為一個(gè)變量而不是數(shù)；由定義知無(wú)窮小量為一個(gè)變量而不是數(shù)；定義中的極限包括定義中的極限包括7種形式的極限，因此說(shuō)一個(gè)變量是種形式的極限，因此說(shuō)一個(gè)變量是無(wú)窮小量必須指明自變量的變化趨勢(shì)；無(wú)窮小量必須指明自變量的變化趨勢(shì)；0看作常量函數(shù)時(shí)看作常量函數(shù)時(shí)lim0=0，因而，因而(不論在自變量的哪一種不論在自變量的哪一種變化趨勢(shì)下變化趨勢(shì)下)0是無(wú)窮小量，但無(wú)窮小量不一定是是無(wú)窮小量，但無(wú)窮小量不一定是0。定理定理

2、是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量，AxfAxf)()(lim2021年7月6日星期二1例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注注1:1: 無(wú)窮小是變量無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2021年7月6日星期二22 2、性質(zhì)、性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 有限個(gè)無(wú)窮小量之和、差、積仍是無(wú)窮小量；有限個(gè)無(wú)窮小量之和、差、積仍是無(wú)窮小量；性質(zhì)性質(zhì)2 無(wú)窮小量與有界變量之積仍是無(wú)窮小量；無(wú)窮小量與有界變量之積仍是無(wú)窮小量；

3、性質(zhì)性質(zhì)3 無(wú)窮小量除以極限不為零的變量仍是無(wú)窮小量。無(wú)窮小量除以極限不為零的變量仍是無(wú)窮小量。例例。求求極極限限xxxxxsinsinlim解解xxxxxsinsinlimxxxxxsin11sin11lim)sin1(lim1)sin1(lim1xxxxxx無(wú)窮小量乘以無(wú)窮小量乘以有界變量有界變量101012021年7月6日星期二33 3、比較、比較 由無(wú)窮小量的性質(zhì)，兩個(gè)無(wú)窮小量的和、差、積仍是無(wú)由無(wú)窮小量的性質(zhì)，兩個(gè)無(wú)窮小量的和、差、積仍是無(wú)窮小量，但對(duì)兩個(gè)無(wú)窮小量的商結(jié)果就復(fù)雜得多，例如當(dāng)窮小量，但對(duì)兩個(gè)無(wú)窮小量的商結(jié)果就復(fù)雜得多，例如當(dāng)x1時(shí)時(shí)f(x)=x-1、g(x)=x2-1、

4、h(x)=(x-1)2都是無(wú)窮小量，但都是無(wú)窮小量，但；2111lim)()(lim211xxxgxfxx不存在；不存在；2211) 1(1lim)()(limxxxhxgxx。01) 1(lim)()(lim211xxxfxhxx可以看出，兩個(gè)無(wú)窮小可以看出，兩個(gè)無(wú)窮小量的商可能極限不存在，量的商可能極限不存在，極限存在時(shí)可能等于零極限存在時(shí)可能等于零也可能不為零。也可能不為零。極限不同極限不同, ,反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢程度不快慢程度不同同. .為方便，引入以下定義。為方便，引入以下定義。2021年7月6日星期二4定義定義Alim都是無(wú)窮小量，且都是無(wú)窮小量，且、設(shè)設(shè)A=0

5、則稱則稱是比是比高階的無(wú)窮小量，記為高階的無(wú)窮小量，記為=o();A0A0則稱則稱與與是同階的無(wú)窮小量，記為是同階的無(wú)窮小量，記為=O()=O()；特別；特別地當(dāng)?shù)禺?dāng)A=1時(shí)稱時(shí)稱與與等價(jià)，記作等價(jià)，記作。例如例如x1時(shí)，時(shí)，(x-1)2=o(x-1)，x2-1=O(x-1) 。練習(xí)練習(xí) x0時(shí)，時(shí)，階無(wú)窮小量；階無(wú)窮小量；的的是是xx2sin階無(wú)窮小量；階無(wú)窮小量；的的是是xxtan階無(wú)窮小量；階無(wú)窮小量；的的是是xxcos1高高同同高高2021年7月6日星期二5注注 只有都是無(wú)窮小量時(shí)才能分階；只有都是無(wú)窮小量時(shí)才能分階；比較時(shí)一定要說(shuō)明在哪一種變化趨勢(shì)下；比較時(shí)一定要說(shuō)明在哪一種變化趨勢(shì)

6、下；并非任意兩個(gè)無(wú)窮小量都可以分階；并非任意兩個(gè)無(wú)窮小量都可以分階；階的高低反映了無(wú)窮小量趨于零的速度。階的高低反映了無(wú)窮小量趨于零的速度。時(shí)時(shí)得到得到不能由不能由xxxexxexcos01coslim0。，但但0sinlim1sinlim0 xxxxxx無(wú)無(wú)法法比比較較。與與時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)窮窮小小量量如如xxxgxxfxsin1)(1)(高階的較快，低階的較慢；同階的相當(dāng)；等價(jià)的同步。高階的較快，低階的較慢；同階的相當(dāng)；等價(jià)的同步。2021年7月6日星期二6 在無(wú)窮小量的比較中，無(wú)窮小量的等價(jià)最為重要，首在無(wú)窮小量的比較中，無(wú)窮小量的等價(jià)最為重要，首先，無(wú)窮小量的等價(jià)滿足反身性、對(duì)稱性、傳遞性。而

7、無(wú)窮先，無(wú)窮小量的等價(jià)滿足反身性、對(duì)稱性、傳遞性。而無(wú)窮小量的等價(jià)的應(yīng)用主要反映在下面的定理：小量的等價(jià)的應(yīng)用主要反映在下面的定理：定理定理，且且，為為無(wú)無(wú)窮窮小小量量，、。存在，則存在，則極限極限limlimlim 此定理表明，求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子分母都此定理表明，求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)替換。適當(dāng)替換可以簡(jiǎn)化極限的計(jì)算?？捎玫葍r(jià)無(wú)窮小來(lái)替換。適當(dāng)替換可以簡(jiǎn)化極限的計(jì)算。 注注 應(yīng)用時(shí)注意自變量的變化趨勢(shì)；應(yīng)用時(shí)注意自變量的變化趨勢(shì)； 只有在乘積時(shí)才能代換，加減時(shí)不可以；只有在乘積時(shí)才能代換，加減時(shí)不可以；加減時(shí)有時(shí)可分成兩個(gè)極限計(jì)算，但分開(kāi)后每個(gè)極限加

8、減時(shí)有時(shí)可分成兩個(gè)極限計(jì)算，但分開(kāi)后每個(gè)極限都要得出具體數(shù)值，不能再合并。都要得出具體數(shù)值，不能再合并。2021年7月6日星期二7例例解解練習(xí)練習(xí)。求求極極限限)0()tan()sin(lim0bbxaxx答案答案ba備忘備忘 x0時(shí)常用的等價(jià)無(wú)窮小量有時(shí)常用的等價(jià)無(wú)窮小量有221cos1arctanarcsintansinxxxxxxxxxxxxxxxex1)1 () 1ln(1。求求極極限限230cos1arctansinlimxxxx230cos1arctansinlimxxxx2230)(21limxxxx。22021年7月6日星期二8這里把這里把3x當(dāng)成一個(gè)整體，當(dāng)當(dāng)成一個(gè)整體，當(dāng)x

9、-時(shí)它是無(wú)窮小量時(shí)它是無(wú)窮小量例例。求求極極限限)21ln()31ln(limxxx 在代換時(shí)我們關(guān)注的不是自變量是否趨于零，而是保證在代換時(shí)我們關(guān)注的不是自變量是否趨于零，而是保證代換的那一部分代換的那一部分(有時(shí)是自變量的表達(dá)式有時(shí)是自變量的表達(dá)式)必須是無(wú)窮小量。必須是無(wú)窮小量。解解)21ln()31ln(limxxx xxx23lim練習(xí)練習(xí)。求極限求極限nnnx2sin2lim答案答案x023limxx2021年7月6日星期二9 。xxxxsin3sin5sinlim10 。xxx4tan2tanlim24 。xxxcos1cos1lim30 。) 1, 0, 0(11lim40bb

10、abaxxx 。)1ln(1lim520 xxxx 。xxx220arctan1sin1lim6答答 案案2021年7月6日星期二10二、無(wú)窮大量二、無(wú)窮大量 極限不存在包括兩種情況：跳躍型極限不存在包括兩種情況：跳躍型(振蕩型振蕩型)和無(wú)限增大和無(wú)限增大型。第二種極限稱為無(wú)窮大，也就是說(shuō)，若在自變量的某一型。第二種極限稱為無(wú)窮大，也就是說(shuō)，若在自變量的某一變化趨勢(shì)下，函數(shù)變化趨勢(shì)下，函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱f(x)為無(wú)窮大為無(wú)窮大量。其精確定義如下：量。其精確定義如下：，若若對(duì)對(duì)的的某某空空心心鄰鄰域域上上有有定定義義在在函函數(shù)數(shù)0)(xxf時(shí)時(shí)有有，當(dāng)當(dāng)，0

11、000 xxXXxf)(則稱則稱xx0時(shí)時(shí)f(x)為無(wú)窮大量，記為無(wú)窮大量，記作作定義定義)(lim0 xfxx對(duì)對(duì)x的其他變化趨勢(shì)可類似定義。的其他變化趨勢(shì)可類似定義。2021年7月6日星期二11 注注 無(wú)窮大量是一個(gè)絕對(duì)值可以任意變大的變量無(wú)窮大量是一個(gè)絕對(duì)值可以任意變大的變量, 而不而不是一個(gè)很大的常量是一個(gè)很大的常量. 當(dāng)當(dāng)(x)取正值無(wú)限增大取正值無(wú)限增大(取負(fù)值絕對(duì)值無(wú)取負(fù)值絕對(duì)值無(wú)限增大限增大)時(shí)時(shí), 稱為正無(wú)窮大量稱為正無(wú)窮大量(負(fù)無(wú)窮大量負(fù)無(wú)窮大量)，記為，記為 limf(x)=或或limf(x)= 式子式子limf(x)=只是一個(gè)記號(hào)，實(shí)際上只是一個(gè)記號(hào)，實(shí)際上f(x)的極

12、限仍的極限仍是不存在。是不存在。 說(shuō)一個(gè)量是無(wú)窮大量是要指明自變量的變化趨勢(shì)。說(shuō)一個(gè)量是無(wú)窮大量是要指明自變量的變化趨勢(shì)。 無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的關(guān)系由下面的定理確定：無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的關(guān)系由下面的定理確定： 定理定理 在自變量的同一變化趨勢(shì)下，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)在自變量的同一變化趨勢(shì)下，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量，無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量。窮小量，無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量。 因而，有關(guān)無(wú)窮大量的計(jì)算和分析證明可轉(zhuǎn)化為對(duì)無(wú)窮因而，有關(guān)無(wú)窮大量的計(jì)算和分析證明可轉(zhuǎn)化為對(duì)無(wú)窮小量的討論。小量的討論。2021年7月6日星期二12例例。求極限求極限453lim221xxxx解解。極極限限不不存存在在)(

13、453lim221xxxx；0345lim221xxxx 由此對(duì)于由此對(duì)于0/0形式的有理分式的極限，利用消零法總可以形式的有理分式的極限，利用消零法總可以得出結(jié)果：對(duì)分子、分母分解因式，約去公因式直到代入時(shí)得出結(jié)果：對(duì)分子、分母分解因式，約去公因式直到代入時(shí)分子、分母至少一個(gè)不為零為止。若分子、分母都不為零，分子、分母至少一個(gè)不為零為止。若分子、分母都不為零，則得出非零極限值；若分子為零則得出非零極限值；若分子為零(分母不為零分母不為零)，則函數(shù)為無(wú)，則函數(shù)為無(wú)窮小量；若分母為零窮小量；若分母為零(分子不為零分子不為零)，則函數(shù)為無(wú)窮大量。，則函數(shù)為無(wú)窮大量。2021年7月6日星期二130+000 00K 00C 00A +A K ()() +()() -用用A 表示有極限的函數(shù)，表示有極限的函數(shù)，K 表示表示有界函數(shù)，有界函數(shù)，C 代表常數(shù)，總結(jié)出代表常數(shù)，總結(jié)出無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的一些運(yùn)算無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的一些運(yùn)算規(guī)律，大家看一看，有沒(méi)有參考規(guī)律，大家看一看，有沒(méi)有參考價(jià)值？?jī)r(jià)值？2021年7月6日星期二 。235sin3sinlimsin5sinlimsin3sin5sinlim1000 xxxxxxxxxx 。，則