2.1條件極值 ppt課件

1、18.4 條件極值一一. 條件極值問(wèn)題條件極值問(wèn)題 二二. 條件極值點(diǎn)的必要條件條件極值點(diǎn)的必要條件三三. Lagrange乘數(shù)法乘數(shù)法四四. 用用Lagrange乘數(shù)法解應(yīng)乘數(shù)法解應(yīng) 用問(wèn)題舉例用問(wèn)題舉例 一. 條件極值問(wèn)題一般地, : 在條件組11221212( ,)0,( ,)0 () (2) ( ,)0nnmnx xxx xxmnx xx , 的限制下 求目標(biāo)函數(shù)這種附有約束條件的極值問(wèn)條件極題,稱為值問(wèn)題.的極值12 ( ,) (3)nyf x xx二. 條件極值點(diǎn)的必要條件( )0 xydzff g xdx00000000(,)(,)(,)0(,)xxyyxyfxyfxyxy(,)

2、(,)0 xyxyff 三. Lagrange乘數(shù)法引進(jìn)Lagrange函數(shù)( , , )( , )( , )L x yf x yx y一般地，（以三元函數(shù)、兩個(gè)約束條件為例） 此問(wèn)題的條件極值點(diǎn)應(yīng)是方程組12121212( , , )( , , )( , , )0,( , , )( , , )( , , )0,( , , )( , , )( , , )0,( , , )0 ,( , , )0 .xxxxyyyyzzzzLfx y zx y zx y zLfx y zx y zx y zLfx y zx y zx y zLx y zLx y z 的解. ( )Lagrange函數(shù)函數(shù)于是,有兩

3、個(gè)約束條件目標(biāo)函數(shù)為三元函數(shù),的條件極值問(wèn)題 , ( )的無(wú)條件極值.1212( , , ,)( , , )( , , )( , , )L x y zf x y zx y zx y z 則可以化為 的Lagrange函數(shù)( )1212( ,)nmL x xx 記約束條件(2)下目標(biāo)函數(shù)(3)的極值問(wèn)題 的Lagrange函數(shù)為:12121( ,)( ,) (12)mnkknkf x xxx xx 12,m 其中為拉格朗日乘數(shù),我們有:18.6 定理(2)(3)設(shè)在條件的限制下,求函數(shù)的極值問(wèn)題, (1,2,)kfkmD其中 與在區(qū)域 內(nèi)有連續(xù)的一階偏000012(,)nDP xxx導(dǎo)數(shù),若 的

4、內(nèi)點(diǎn)是上述問(wèn)題的極值點(diǎn),且雅可比矩陣:11110nmmnxxxxP,m的秩為(0)(0)1,mm則存在 個(gè)常數(shù), ,使得00(0)(0)11(,)nmxx, ,為拉格朗日函數(shù)(12)的穩(wěn)00(0)(0)11(,)nmxxnm定點(diǎn),即, ,為下述個(gè)方程111111112120,0,( ,)0 ,( ,)0 .nmmkxkkmkxkknnnmnfLxxfLxxLx xxLx xx的解.四. 用Lagrange乘數(shù)法解應(yīng)用問(wèn)題舉例又根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義 , 所求開(kāi)口水箱的最小表面積確實(shí)存在 . 記 ( , , , , )L x y z 22222()(1)xyzxyzxyz得二個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)： , , ,

5、,x y z 1313511(,23, 33, 73);2233 , , , ,x y z 1313511(,23, 33, 73).2233 1313 (,23)22f 95 31313(,23)22f 95 3令 2220, 0, 0,11110,xyzLyzxLzxyLxyzLxyzrxz2211xz 22,zx 22,yzzy xFxy zxy z2,yzyzx2,yxzFxzyxxF2221xxxyzzyzyzx 332,yzx332,yyxzFyxyF22xxzyzzzyzx2232zzzzyxxyyxF3 ,3 ,3xxxyxyyyrrrFFFF6336rrrr227r03 ,3 ,360 xxF