凸函數(shù)的性質(zhì)及其應用畢業(yè)論文

1、凸函數(shù)的性質(zhì)及其應用摘 要 凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，在數(shù)學規(guī)劃中有著廣泛的應用，本文給出了凸函數(shù)的三種等價定義，并討論了凸函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及它在不等式方面的相關(guān)應用。 關(guān)鍵詞 凸函數(shù) 等價定義 性質(zhì) 應用 最優(yōu)化nature and application of convex function abstract convex function is an important function and it has a wide application in mathematic programming. this essay gives three kinds of equal defini

2、tions of convex function and discusses some relative nature of it. and it also discusses some relative applications on inequality key wards convex function the definition of equivalence nature application optimization目 錄 緒論 （1） 1 凸函數(shù)的概念與等價定義 （1） 1.1 凸函數(shù)的概念 （1） 1.2 凸函數(shù)的等價定義 （2） 2 凸函數(shù)的簡單性質(zhì) （3） 3 凸函數(shù)的判

3、定定理 （5） 4 關(guān)于凸函數(shù)的幾個重要不等式（7） 4.1 jensen不等式（7） 4.2 hadamard不等式（10） 5 凸函數(shù)的應用 （11） 5.1 凸函數(shù)在證明不等式中的應用（11） 5.2.一般凸函數(shù)和凸集（13） 5.3 廣義凸函數(shù)求極小的問題（14） 5.4廣義凸函數(shù)求極大的問題（16） 結(jié)束語 （19） 致謝 （19） 參考文獻（20） 緒論 凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，廣泛應用于數(shù)學規(guī)劃，控制論等領域,函數(shù)凸性是數(shù)學分析中的一個重要概念,它在判定函數(shù)的極值、研究函數(shù)的圖象以及證明不等式諸方面都有廣泛的應用.凸分析作為數(shù)學的一個比較年輕的分支，是在50年代以后隨著數(shù)學規(guī)

4、劃，最優(yōu)控制理論、數(shù)理經(jīng)濟學等應用數(shù)學學科的興起而發(fā)展起來的。運籌學是在二十世紀四十年代才開始興起的一門分支。運籌學的創(chuàng)始人定義運籌學是：“管理系統(tǒng)的人為了獲得關(guān)于系統(tǒng)運行的最優(yōu)解而必須使用的一種科學方法。”它使用許多數(shù)學工具（包括概率統(tǒng)計、數(shù)理分析、線性代數(shù)等）和邏輯判斷方法，來研究系統(tǒng)中人、財、物的組織管理、籌劃調(diào)度等問題，以期發(fā)揮最大效益。隨著科學技術(shù)和生產(chǎn)的發(fā)展，運籌學已滲入很多領域里，發(fā)揮了越來越重要的作用。本世紀初建立了凸函數(shù)理論以來,凸函數(shù)這一重要概念已在許多數(shù)學分支中得到了廣泛應用。現(xiàn)行高等數(shù)學教材中,也都對函數(shù)的凸性作了介紹,由于各版本根據(jù)自己的需要,對凸函數(shù)這一概念作了不同

5、形式的定義,本文就以凸函數(shù)幾種定義的等價性給以證明,并給出簡單的應用，應用凸函數(shù)的概念與性質(zhì)來證明幾個重要且常用的不等式和凸函數(shù)在證明一般不等式中的應用；研究凸函數(shù)在最優(yōu)化中的應用，研究比凸函數(shù)更一般的各類凸函數(shù)，給出它們的定義及以及其之間的關(guān)系；以及廣義凸函數(shù)求極小的問題（即廣義凸規(guī)劃）和廣義凸函數(shù)求最大的問題。1 凸函數(shù)的概念與等價定義1.1 凸函數(shù)的概念人們常用凸與凹來反映曲線的彎曲方向。這種從幾何直觀給出的關(guān)于曲線凸（凹）的概念反映在數(shù)學上就是表達該曲線的凸（凹）性概念。定義1 設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點,常有 則稱為上的凸函數(shù)。定義2 若在定義上成立不等式（） 0,1)

6、是（-，+）上的嚴格凸函數(shù)。不難驗證，恒正的函數(shù)(0,1)滿足關(guān)系式 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當 時，必有 ，再由不相等正數(shù)的幾何平均值小于它們的算術(shù)平均值，則有 綜上所述可得： 0,1)是（-，）上的嚴格凸函數(shù)。 1.2 凸函數(shù)的等價定義 定義 1 設在區(qū)間上有定義，在上成為凸函數(shù)當且僅當對任意 ,任意(0,1)有 若不等號反向，則稱 為上的凹函數(shù)。若“”改為“”，則稱 為上的嚴格凸函數(shù)。定義2 設在區(qū)間上有定義,在上成為凸函數(shù)當且僅當對任意,有 定義3 設在區(qū)間上有定義，在上成為凸函數(shù)當僅當對任意,有 推論：若在區(qū)間上成為凸函數(shù)，則對任意,有 注：若在上連續(xù)，則上述定義1,2,3等價。 2

7、 凸函數(shù)的簡單性質(zhì)在本節(jié)中，來敘述關(guān)于凸函數(shù)的一些常用的簡單的性質(zhì)。定理2.1 設在區(qū)間i上為凸函數(shù)，對任意，則:時，在區(qū)間上為凸函數(shù)時，在區(qū)間上為凹函數(shù)定理2.2 設，是間i上的凸函數(shù)，則其和也是i上的凸函數(shù)。由定理2.1和定理2.2可知下面的推論推論：設，是間i上的凸函數(shù)，則線性組合的函數(shù)為i上的凸函數(shù)為i上的凹函數(shù)定理2.3 若設，是間i上的凸函數(shù)，則為i上的凸函數(shù)定理2.4 設是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，u = f (x)是凸函數(shù)，則復合函數(shù)也是凸函數(shù)定理2.5 設為區(qū)間i上的凹函數(shù)，則為區(qū)間i上的凸函數(shù)，反之不真。證明：要證為區(qū)間i上的凸函數(shù)，即證任意有因為，為凹函數(shù)。故有所以：只需證明：由

8、于，故 成立，結(jié)論得證。另：設為r上的凸函數(shù)，但仍為凸函數(shù)。定理2.6 若在區(qū)間i上為凸函數(shù)，對任意，則為i的內(nèi)點。則單側(cè)導數(shù)皆存在，且。推論：若為i上的凸函數(shù)，則在i上的內(nèi)點連續(xù)。定理2.7 為區(qū)間上的凸函數(shù)，對任意對任意有證明：（必要性） 已知為區(qū)間上的凸函數(shù)，則由定理2.5可知對任，存在，且單調(diào)于。故對當時有同理，當時，當時有因為 故對，對，總有（充分性）對，由題設，對，存在使得在上式中分別令得證畢。3 凸函數(shù)的判定定理利用凸函數(shù)的定義判別函數(shù)是否為凸函數(shù)，常常并不方便。因此需要建立一系列的便于應用的判別法。定理3.1 若函數(shù)是區(qū)間上的遞增可積函數(shù)，則變動上限積分所定義的函數(shù)是上的一個凸

9、函數(shù)。證明：設，則由于是遞增的，故從而得這樣，由定義1可知，是凸函數(shù)。定理3.2若在間上存在，則在上成為凸函數(shù)的充分必要條件是：在上證明：（1）必要性，已知為凸函數(shù)，令，并設因而，這樣就有即用反證法，假定，由可知，存在，使得另外，從 知是的減函數(shù)。但這函數(shù)當時等于。因此，這與結(jié)論矛盾，因而（2） 充分性，兩次應用中值定理有，及，從而再由得在上式中，令及得兩式相加得故是凸函數(shù)。 證畢例3.1 函數(shù)在內(nèi)是凸函數(shù)，因為。定理3.3 若在區(qū)間上存在，則在區(qū)間是嚴格凸函數(shù)。4 關(guān)于凸函數(shù)的幾個重要不等式4.1 不等式定理4.1.1（凸函數(shù)的基本不等式）設是間上的凸函數(shù)，則對中任意個數(shù)成立不等式當僅當時等

10、號。定理4.1.2（總和不等式）若是上的連續(xù)凸函數(shù)，是一組不為零的非負數(shù)，則成立不等式：當僅當都相等時等式成立。證明：（1）特別地，設都是非負有理數(shù)，為自然數(shù)；為非負數(shù)，這樣分子，分母同乘以，上面分式就成了凸函數(shù)的基本不等式的樣子，此時因而得證。（2） 一般地，設都是非負實數(shù)，記則可具有公分母的有理數(shù)列，使）這樣由（1）有考慮到具有連續(xù)性，因而對上面不等式的兩邊極限，立得證畢定理4.1.3（積分不等式）若是上的連續(xù)凸函數(shù)，而與是上的連續(xù)函數(shù)，則成立證明：令由總和不等式有從而當令時，即得證畢例4.1.1 若為上的正連續(xù)函數(shù)，則證明：考慮到函數(shù)是凹函數(shù)，為上的正連續(xù)函數(shù)，當設，根據(jù)積分不等式立得整

11、理可得例4.1.2 若，則證明：設，因故是凸函數(shù)。由總和不等式有兩邊同乘以立得證畢。4.2不等式定理4.2.1（不等式）設是上的連續(xù)凸函數(shù)，則證明：由于是上的連續(xù)凸函數(shù)，由凸函數(shù)的基本定理可知兩邊積分可得因而.（a）又若令，得所以又是上的連續(xù)凸函數(shù)，即故即.（b）由a，b兩式可得證畢 5 凸函數(shù)的應用5.1 凸函數(shù)在證明不等式中的應用在許多證明題中，我們常常遇到一些不等式的證明，其中有一類不等式利用凸函數(shù)的性質(zhì)來證明可以非常簡潔、巧妙。證明不等式是凸函數(shù)的一個重要應用領域，但關(guān)鍵是構(gòu)造能夠解決問題的凸函數(shù)。例5.1.1 證明不等式證明：設，因，所以是嚴格凸函數(shù)。由凸函數(shù)的定義可知（）這就是要證

12、的不等式。 例5.1.2若則證明：設，因故是上的凹函數(shù)，因而，這便是要證的不等式。例5.1.3 證明不等式：均為正數(shù)，證明：令，則，為凹函數(shù)，從而由的單調(diào)增加性： 即 例5.1.4對任何正數(shù)，當時有證明：注意不等式系數(shù)之和，及系數(shù)均為正數(shù)，可考慮用凸凹性來證明。設，則為凹函數(shù)，故，或 由的單調(diào)增加性知：即，證畢例5.1.5設證明：證明：設，對故為上嚴格凸函數(shù)，因而證畢5.2 一般凸函數(shù)和凸集定義5.2.1集合，若，以及任意的數(shù)，均有則稱為凸集。特別地，若為凸集，也為閉集，則稱為閉凸集。定理1集合為凸集的充分必要條件是，及任意數(shù)有設函數(shù)定義在凸集上，其中，定義5.2.2若存在常數(shù)，使得，有則稱為

13、一致凸函數(shù)。定義5.2.3若，及，有則稱為嚴格凸函數(shù)。定義5.2.4設為可微的凸函數(shù)，若，滿足則稱為偽凸函數(shù)，其中定義5.2.5若，有則稱為嚴格擬凸函數(shù)。若把上式中的“”改為“”，則稱為擬凸函數(shù)定義5.2.6若，及，有則稱為強擬凸函數(shù)。5.3 廣義凸函數(shù)求極小的問題考慮其中為閉凸集，而為廣義凸函數(shù)，則稱上述問題為廣義凸規(guī)劃問題。定理5.3.1設為凸集，為嚴格擬凸函數(shù)，則規(guī)劃問題的任意局部最優(yōu)解都為整體最優(yōu)解。證明：設為的局部最優(yōu)解，即存在，使得為下面問題的最優(yōu)解：若存在有由于為嚴格擬凸函數(shù)，故，有當，足夠接近時，有此與為局部最優(yōu)解相矛盾. 證畢定理5.3.2設為凸集，為強擬凸函數(shù)，若如下規(guī)劃問

14、題存在最優(yōu)解：則的最優(yōu)解必唯一。證明：若和都為的最優(yōu)解，由于為強擬凸函數(shù)，故都有此與和都為的最優(yōu)解矛盾，證畢。定理5.3.3設為凸集，為擬凸函數(shù)，則問題的最優(yōu)解集合為凸集。證明：若與為的最優(yōu)解，有故上式必等號，即由為凸集，故因此也為的最優(yōu)解 。證畢5.4 廣義凸函數(shù)求極大的問題考慮中為閉凸集，而為廣義凸函數(shù)。定理5.4.1設為閉凸集，為連續(xù)的嚴格擬凸函數(shù)，則規(guī)劃問題的最優(yōu)解一定在的邊界上達到，除非在上為常數(shù)。證明：設在上不為常數(shù)，存在最優(yōu)解，即存在使得現(xiàn)任意則存在，及使得（1） 若由為嚴格擬凸函數(shù)，故矛盾。（2） 若由為連續(xù)的嚴格擬凸函數(shù)，故有由為的最優(yōu)解，故必有因此在上為常數(shù)，此與假設矛盾。

15、證畢定理5.4.2設為連續(xù)的嚴格擬凸函數(shù)，并約束集合若規(guī)劃問題的最優(yōu)解存在，則的最優(yōu)解可以在的頂點達到。證明：令為的最優(yōu)解，設為線性相關(guān)的，于是，存在使得記則考慮其中設存在有，令（1） 存在有，令；令可知它們的非零向量比至少少1個；有若，由為連續(xù)的嚴格擬凸函數(shù)有此與為的最優(yōu)解矛盾，故必有由為連續(xù)的嚴格擬凸函數(shù)有而為的最優(yōu)解，故有（2） 若都有令則類似于（1）可證重復上述過程，最多可通過步找到最優(yōu)解或或。而對應的非零分量是線性無關(guān)的，可知為凸多面體的極點。 證畢結(jié)束語本文對凸函數(shù)這一概念作了不同形式的定義,以凸函數(shù)幾種定義的等價性給以證明,并給出凸函數(shù)的幾個簡單性質(zhì)，探討了幾種凸函數(shù)的判定方法，

16、并給出有關(guān)凸函數(shù)的簡單應用：應用凸函數(shù)的概念與性質(zhì)來證明幾個重要且常用的不等式及凸函數(shù)在證明一般不等式中的應用,特別是在不等式的證明中，運用它解題顯得巧妙、簡練.利用凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及判定定理證明不等式，關(guān)鍵是尋找合適的凸函數(shù)，若不能直接找出，則可以對不等式進行適當?shù)淖冃?，從而達到證明不等式的目的；此外，本文還研究了比凸函數(shù)更為一般的各類凸函數(shù)，給出它們的定義及其之間的關(guān)系和廣義凸函數(shù)在最優(yōu)化中的應用：廣義凸函數(shù)求極小的（即廣義凸規(guī)劃，記為convex-min）和廣義凸函數(shù)求最大的問題(convex-max)的性質(zhì)。參考文獻1 裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題和方法m.北京：高等教育出版社199

17、3.5.2 華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析（第三版）m.北京：高等教育出版社2001.6.3 rockafellar r t. convex analysism.pinceton university press,1970.4 yang k,murty k g.new iterative methods for linear inequalitiesj.joumal of optimization theory and applications,1992,72(1);163185.5 時貞軍，岳麗. 凸函數(shù)的若干新性質(zhì)及應用j.應用數(shù)學，y2004，17（增）：0104.6 吉林大學數(shù)學系，數(shù)學分析（中冊），人民教育出版社，1978.7 史樹中，凸分析.上海：上?？萍汲霭嫔?，1990.8 ponstein j.seven kinds of convexity. siam review,1967(9),115119.9 袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法.北京：科學出版社，1999.10 rokafellar r.t. convex an