因式分解的常見變形技巧

1、園武分解的常見邑遙為菊在因式分解學(xué)習(xí)過程中，除要掌握教材上介紹的三種基本方法：提公因式，公 式法，分組分解法外，還常常要進行一些靈活的變換。下面就簡單介紹一下這些 常見的變換方法。掌握了這些變換方法后，這類因式分解問題基本可以迎刃而解 To需要說明的是，要想熟練掌握這些技巧，還需要同學(xué)們結(jié)合平時的練習(xí)去體 驗我們所講的方法和思路。技巧一符號變換有些多項式有公因式或者可用公式，但是結(jié)構(gòu)不太清晰的情況下，可考慮變換 部分項的系數(shù)，先看下面的體驗題。體驗題 1(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)指點迷津y-x= -(x-y)體驗過程 原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y

2、)(m+n-m+n) =2n(x-y)小結(jié)符號變化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的條件不太清 晰的情況下。實踐題1分解因式:-a2-2ab-b2技巧二系數(shù)變換有些多項式，看起來可以用公式法，但不變形的話，則結(jié)構(gòu)不太清晰，這時可 考慮進行系數(shù)變換。體驗題2分解因式4x2-12xy+9y2體驗過程原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)2小結(jié)系數(shù)變化常用于可用公式，但用公式的條件不太清晰的情況下。1 2實踐題2 分解因式丄X2+ + 439技巧三指數(shù)變換有些多項式，各項的次數(shù)比較高，對其進行指數(shù)變換后，更易看出多項式的結(jié)構(gòu)。體驗題3分解因式xyU指點迷津把X?

3、看成(x2)S把看成(y2)2,然后用平方差公式。體驗過程原式二用產(chǎn)少尸二卅+丫:心兮:匸卅+護咫+刃儀弓)小結(jié)指數(shù)變化常用于整式的最高次數(shù)是4次或者更高的情況下，指數(shù)變化后更易看出各項間的關(guān)系。實踐題3 分解因式a2a4b4+b4技巧四展開變換有些多項式已經(jīng)分成兒組了，但分成的兒組無法繼續(xù)進行因式分解，這時往往 需要將這些局部的因式相乘的形式展開。然后再分組。體驗題 4a(a+2)+b(b+2)+2ab指點迷津表面上看無法分解因式，展開后試試：a?+2a+b2+2b+2ab。然后分組。體驗過程原式二 a2+2a+b2+2b+2ab=(a+b)2+2(a+b)=(a+b)(a+b+2)小結(jié)展開

4、變化常用于已經(jīng)分組，但此分組無法分解因式，相當(dāng)于重新分組。實踐題 4x(x-l)-y(y-l)技巧五拆項變換有些多項式缺項，如最高次數(shù)是三次，無二次項或者無一次項，但有常數(shù)項。 這類問題直接進行分解往往較為困難，往往對部分項拆項，往往拆次數(shù)處于中間 的項。體驗題5分解因式3aMa+l指點迷津本題最高次是三次，缺二次項。三次項的系數(shù)為3,而一次項的系數(shù) 為V，提公因式后，沒法結(jié)合常數(shù)項。所以我們將一次項拆開，拆成-3a-a 試試。體驗過程原式二 3a3-3a-a+1 =3a(a2-1)+ l-a=3a(a+ l)(a-l)-(a-1 )=(a-l)3a(a+1)-1=(a-l)(3a2+3a-l

5、)另外，也可以拆常數(shù)項，將1拆成4-3。原式=3a3-4a+4-3=3(a3-l )-4(a-1) =3(a-1 )(a2+a+ l)-4(a-l)=(a-l )(3a2+3a+3-4)=(a-l)( 3a2+3a-l)小結(jié)拆項變化多用于缺項的情況，如整式3a4a+l,最高次是三，其它的項分別是一，零。缺二次項。通常拆項的H的是將各項的系數(shù)調(diào)整趨于一致。實踐題5分解因式3a3+5a2-2巧六添項變換有些多項式類似完全平方式，但直接無法分解因式。既然類似完全平方式，我 們就添一項然后去一項湊成完全平方式。然后再考慮用其它的方法。體驗題6分解因式x2+4x-1 2指點迷津 本題用常規(guī)的方法兒乎無法

6、入手。與完全平方式很象。因此考慮將其 配成完全平方式再說。體驗過程 原式二 x2+4x+4-4-l 2=(x+2)2-l 6=(x+2)2-42=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2) 小結(jié)添項法常用于含有平方項，一次項類似完全平方式的整式或者是缺項的整式，添項的基本的是配成完全平方式。實踐題6分解因式x2-6x+8實踐題7 分解因式a4+4技巧七換元變換有些多項式展開后較復(fù)雜，可考慮將部分項作為一個整體，用換元法，結(jié)構(gòu)就 變得清晰起來了。然后再考慮用公式法或者其它方法。體驗題 7分解因式(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+l指點迷津直接展開太麻煩，我們考慮兩兩結(jié)合?？茨芊癜?/p>

7、某些部分作為整體考慮。體驗過程(X+1 )(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x+l)(x+4)(x+2)(x+3)+l =(x2+5x+4)(x2+5x+6)+l * 令 x2+5x=m.上式變形為(m+4)(m+6)+lni2+1 Om+24+1 =(m+5)2=(x2+5x+5)2*式也可以這樣變形，令x2+5x+4=m 原式可變?yōu)椋簃(m+2)+1 =m2+2m+1 =(m+1 )2=(x2+5x+5)2小結(jié)換元法常用于多項式較復(fù)朵，其中有兒項的部分相同的情況下。如上題中的x2+5x+4與x2+5x+6就有相同的項x2+5x.,換元法實際上是用 的整體的觀點來看問題。實踐題8 分解因

8、式x(x+2)(x+3)(x+5)+9實踐題答案實踐題1 實踐詳解分解因式:-a2-2ab-b2各項提出符號，可用平方和公式. 原式=-a2-2ab-b2=-( a2+2ab+b2)= -(a+b)2實踐題2分解因式1 X2 + AV + ，439實踐詳解原式二(一 )2+2. -+(-)2=( -+)222 332 3實踐題3 指點迷津 實踐詳解分解因式a4-2a4b4+b4 把 a4 看成(a?)，, b4=(b2)2 原式=(a2-b2)2=(a+b)2(a-b)2實踐題4 指點迷津 實踐詳解x(x-l)-y(y-l)表面上看無法分解因式，展開后試試：x2-x-y2+yo然后重新分組。

9、原式二 xx-jr+y =(x2-y2)-(x-y)=(x+y)(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)實踐題5 指點迷津分解因式3a3+5a2-2三次項的系數(shù)為3,二次項的系數(shù)為5,提出公因式F后。下一步?jīng)] 法進行了。所以我們將5a2拆成3a2 +2a化為3a3+3a2+2a2-2.實踐詳解原式=3a3+3a2+2a2-2 =3a2(a+1 )+2(込 1)=3a2(a+1 )+2(a+1 )(a 1 )=(a+1 )(3a2+2a-2)實踐題6實踐詳解分解因式x2-6x+8原式=x2-6x+9-9+8=(x-3)2-1 =(x-3)2-12=(x-3+1 )(x-3-1 )=(x-2)(x-4)實踐題7分解因式屮+4原式二 a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2-4a2=(a2+2+2a)(a2+2-2a)=(a2+2a+2)(a2-2a+2)實踐題8 指點迷津 實踐詳解