第三講三次樣條函數(shù)

1、計(jì)算方法計(jì)算方法第第3講講 樣條函數(shù)樣條函數(shù)本講主要問題本講主要問題一、一、樣條函數(shù)樣條函數(shù)二、三次樣條插值二、三次樣條插值三、三次樣條函數(shù)的構(gòu)造三、三次樣條函數(shù)的構(gòu)造 分段插值存在著一個(gè)缺點(diǎn)分段插值存在著一個(gè)缺點(diǎn), 就是會(huì)導(dǎo)致插就是會(huì)導(dǎo)致插值函數(shù)在子區(qū)間的端點(diǎn)值函數(shù)在子區(qū)間的端點(diǎn)(銜接處銜接處)不光滑不光滑, 即導(dǎo)即導(dǎo)數(shù)不連續(xù)數(shù)不連續(xù), 對(duì)于一些實(shí)際問題對(duì)于一些實(shí)際問題, 不但要求一階導(dǎo)數(shù)不但要求一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)連續(xù), 而且要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)而且要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù). 為了滿足這些要求為了滿足這些要求, 人們?nèi)藗円肓藰訔l插值的概念引入了樣條插值的概念. 所謂所謂 “樣條樣條” (spline)是工程

2、繪圖中的一種工具是工程繪圖中的一種工具, 它是有它是有彈彈性的細(xì)長(zhǎng)木條性的細(xì)長(zhǎng)木條. 繪圖時(shí)繪圖時(shí), 用細(xì)木條連接相近的幾個(gè)結(jié)點(diǎn)用細(xì)木條連接相近的幾個(gè)結(jié)點(diǎn), 然后然后再進(jìn)行拼接再進(jìn)行拼接,連接全部結(jié)點(diǎn)連接全部結(jié)點(diǎn), 使之成為一條光滑曲線使之成為一條光滑曲線, 且在結(jié)且在結(jié)點(diǎn)處具有連續(xù)的曲率點(diǎn)處具有連續(xù)的曲率. 樣條函數(shù)就是對(duì)這樣的曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬得到的樣條函數(shù)就是對(duì)這樣的曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬得到的. 它除它除了要求給出各個(gè)結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值外了要求給出各個(gè)結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值外, 只需提供兩個(gè)邊界點(diǎn)處只需提供兩個(gè)邊界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)信息導(dǎo)數(shù)信息, 便可滿足對(duì)光滑性的不同要求便可滿足對(duì)光滑性的不同要求. 定義定義 設(shè)

3、設(shè)f(x)是區(qū)間是區(qū)間a, b上的一個(gè)連上的一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)續(xù)可微函數(shù), 在區(qū)間在區(qū)間a, b上給定一組節(jié)點(diǎn)上給定一組節(jié)點(diǎn): a=x0 x1x2xn=b設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)S(x)滿足條件滿足條件:一、樣條函數(shù)一、樣條函數(shù) (1) S(x)在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間xi , xi+1(i=0, 1, 2, , n1)上是次數(shù)不超過上是次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式; (2) S(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上有上有m1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)階連續(xù)導(dǎo)數(shù).則稱則稱S(x)是定義在是定義在a, b上的上的m次樣條函數(shù)次樣條函數(shù), x0, x1, x2, , xn稱為稱為樣條節(jié)點(diǎn)樣條節(jié)點(diǎn), 其中其中x1, , xn1稱為稱為內(nèi)結(jié)

4、點(diǎn)內(nèi)結(jié)點(diǎn), x0,xn 稱為稱為邊界節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)。 當(dāng)當(dāng)m=3時(shí)時(shí), 便成為最常用的便成為最常用的三次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù). 樣條插值的樣條插值的思想思想: 逐段選取適當(dāng)?shù)闹鸲芜x取適當(dāng)?shù)牡痛味囗?xiàng)式低次多項(xiàng)式, 按一定的光滑性要求連接起來(lái)按一定的光滑性要求連接起來(lái)構(gòu)成插值函數(shù)構(gòu)成插值函數(shù).二、三次樣條插值二、三次樣條插值 定義定義 設(shè)給定區(qū)間設(shè)給定區(qū)間a, b上上n+1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) a=x0 x1x2 xn=b, 以及相應(yīng)的函數(shù)值以及相應(yīng)的函數(shù)值 yi=f(xi), i=0, 1, , n. 如果如果函數(shù)函數(shù)S(x)滿足滿足: (1)在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間 xk , xk+1(k=0,1,n1)上

5、上, S(x)是不超過三次的多項(xiàng)式是不超過三次的多項(xiàng)式, 且且S(xi )=yi, i=0, 1, , n; (2) S(x)、 S (x)、 S (x)在在a, b上連續(xù)上連續(xù).則稱則稱S(x)是是f(x)在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)x0, x1, x2, , xn上的上的三次樣條插三次樣條插 值函數(shù)值函數(shù). 例例1 給定區(qū)間給定區(qū)間0, 3上上 3 個(gè)點(diǎn)的函數(shù)個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值值 f(0)=0, f(1)=2, f(3)=4, 試求數(shù)試求數(shù) a, b, c, d, 使函數(shù)使函數(shù) S(x)為給定點(diǎn)上的三次樣條插值為給定點(diǎn)上的三次樣條插值函數(shù)函數(shù). 其中其中232,01( ).1, 13xxdxS xaxbxcxx

6、答案答案:1,4,2,0.abcd 給定給定n+1個(gè)樣點(diǎn)個(gè)樣點(diǎn)(xi, yi )(i=0, 1, , n),確定一個(gè)三次樣條插值函數(shù)需要確定一個(gè)三次樣條插值函數(shù)需要4n個(gè)獨(dú)個(gè)獨(dú)立條件立條件. 在定義中在定義中, 已指定了已指定了4n2個(gè)條件個(gè)條件, 即即00(), ()()(),(1,2,.1)()(),()(),nniiiiiiiS xyS xySxSxyinSxSxSxSx所以所以, 一般需補(bǔ)充指定一般需補(bǔ)充指定2個(gè)個(gè)邊界條件邊界條件.三、三次樣條函數(shù)的構(gòu)造三、三次樣條函數(shù)的構(gòu)造 三彎矩插值法三彎矩插值法 記記 Mi = S (xi), f(xi)= fi= yi , 考慮它在任考慮它在任

7、一一區(qū)間區(qū)間xi, xi+1上的形式上的形式. 根據(jù)三次樣條的定義可知根據(jù)三次樣條的定義可知, S(x)的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) S (x)在每一個(gè)子區(qū)間在每一個(gè)子區(qū)間xi, xi+1( i=0, 1, 2, , n1)上都是線性函數(shù)上都是線性函數(shù). 于是在于是在xi, xi+1上上 S(x)=Si(x)的二階導(dǎo)數(shù)表示成的二階導(dǎo)數(shù)表示成111( ) , ,iiiiiiiixxxxSxMMxxxhh其中其中 hi= xi+1xi . 對(duì)對(duì)S (x)連續(xù)積分兩次連續(xù)積分兩次, 并利用插值并利用插值條件條件S(xi)= yi , 得到得到3311111()()( )66 ()()66iiiiiiiiii

8、iiiiiixxxxS xMMhhyMyMhxxhxxhh1,iixx x只要能求出所有的只要能求出所有的Mi, 就能求出三次就能求出三次樣條插值函數(shù)樣條插值函數(shù)S(x).221111()()( )22 6iiiiiiiiiiiixxxxS xMMhhyyMMhh 下面考慮下面考慮 Mi 的求法的求法. 由連續(xù)性由連續(xù)性 S(xi )= S(xi+), (i=1, 2, , n1) 得得 iMi 1+2Mi+iMi+1= di 1111111,6()iiiiiiiiiiiiiiihhhyyyydhhhh 其中其中該方程組有該方程組有n1個(gè)方程個(gè)方程, 但有但有n+1個(gè)變量個(gè)變量Mi. 下面介紹

9、幾種常用的邊界條件下面介紹幾種常用的邊界條件 第第1型邊界條件型邊界條件: 已知已知f(x)在兩端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在兩端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f (a)和和f (b), 要求要求 S(a) = f (a), S(b) = f (b) 第第2型邊界條件型邊界條件: 已知已知f(x)在兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)在兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)f (a)和和f (b) ,要求要求 S (a)=M0 = f (a), S (b)=Mn= f (b)特別當(dāng)特別當(dāng) S (a)= S (b) =0時(shí)時(shí), S(x)稱為稱為自然三次樣條自然三次樣條. 第第3型邊界條件型邊界條件： 已知已知f(x)是以是以b a為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù), 要求要求S

10、(x)滿滿 足周期條件足周期條件 S(a) = S(b), S(a+)= S(b), S (a+)= S (b) 三次樣條插值問題加上第三次樣條插值問題加上第 i 型邊界型邊界條件稱為第條件稱為第 i型插值問題型插值問題(i1, 2, 3). 可可以證明第以證明第 i 型插值問題的解是存在且唯一的型插值問題的解是存在且唯一的.他們對(duì)應(yīng)如下的方程組他們對(duì)應(yīng)如下的方程組:000111122221111220222 nnnnnnnMdMdMdMdMd對(duì)于第對(duì)于第1型插值問題型插值問題: 00100001111, 6 (),1, 6(). nnnnnnndyyhyhdyyyhh對(duì)于第對(duì)于第2型插值問題

11、型插值問題: 0000, 2, 0, 2. nnndydy對(duì)于第對(duì)于第3型插值問題型插值問題: 0112 nnnnnnMMMMMd1110111(), 6()() 其其中中nnnnnnnnnnhhhdyyhyyhhh 以上各組條件與前述方程組聯(lián)立以上各組條件與前述方程組聯(lián)立,可以解出未知參數(shù)可以解出未知參數(shù) M0, M1, , Mn, 然然后代入后代入S(x) 表達(dá)式表達(dá)式, 即可求得樣條函數(shù)即可求得樣條函數(shù). 上面構(gòu)造方法中上面構(gòu)造方法中 Mi 相應(yīng)于力學(xué)中細(xì)梁在相應(yīng)于力學(xué)中細(xì)梁在 xi 處處截面的彎矩截面的彎矩, 每一個(gè)方程中又至多出現(xiàn)相鄰的三個(gè)每一個(gè)方程中又至多出現(xiàn)相鄰的三個(gè)Mi, 通常

12、稱為通常稱為三彎矩法三彎矩法. 求三次樣條插值函數(shù)的步驟歸納為求三次樣條插值函數(shù)的步驟歸納為: (1)確定邊界條件確定邊界條件, 判定是第幾型插判定是第幾型插值問題值問題. (2)根據(jù)所確定的條件計(jì)算各值根據(jù)所確定的條件計(jì)算各值, 形成方程組形成方程組. (3)解方程組解方程組, 求得求得M0, M1 , M2, Mn. (4)將求得的將求得的 Mi 值代回值代回 S(x)的表達(dá)式中的表達(dá)式中, 從而可從而可求得函數(shù)求得函數(shù) y=f(x)在任一點(diǎn)的近似值在任一點(diǎn)的近似值S(x). 例例2 給定函數(shù)表給定函數(shù)表, 求自然三次樣條求自然三次樣條插值函數(shù)插值函數(shù), 并求并求f(3).1 3 4 2y1 2 4 5x答案答案:32323171887314885934881(1)(1) , 1 , 2( )3(2)(2)(2) ,2 , 44(4)(4)(4) ,4 , 5xxxS xxxxxxxxx25. 48183473)3()3( Sf 練習(xí)練習(xí) 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)的數(shù)值表如下：的數(shù)值表如下： 試求試求 f(x) 在在2,