數(shù)學(xué)歸納推理的基本模式

1、數(shù)學(xué)歸納推理的基本思維模式內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 謝志強(qiáng)歸納推理是現(xiàn)行普通高中數(shù)學(xué)教材中一項(xiàng)重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容隨著新課改的不斷深入，歸納推理不但成為了數(shù)學(xué)教學(xué)中的熱點(diǎn)與亮點(diǎn)，而且也成為了高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)具有獨(dú)特價(jià)值的考點(diǎn)在最近幾年的全國(guó)高考中涌現(xiàn)出了許多有關(guān)歸納推理的試題（以下簡(jiǎn)稱為歸納試題），引起了數(shù)學(xué)教學(xué)研究者的極大興趣然而，已有的研究大都集中在歸納問題的解答策略方面，而對(duì)數(shù)學(xué)歸納推理的基本思維模式的研究并不多見本文將從數(shù)學(xué)模式論的視角，結(jié)合歸納試題的分析，對(duì)歸納推理的基本思維模式進(jìn)行初步的探討1 數(shù)學(xué)歸納推理的基本含義要進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納推理必須首先明確所要思考的對(duì)象，否則就會(huì)迷失推理的方

2、向而陷入無休止的“嘗試-錯(cuò)誤”之中關(guān)于歸納推理的定義比較多，其中最具數(shù)學(xué)特色的應(yīng)該是美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞給出的：“歸納是通過觀察和組合特殊的例子來發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律的過程”1此定義中將歸納推理的思考對(duì)象明確為“特殊的例子”與“普遍規(guī)律”，但是“特殊的例子”的屬性是多方面的，我們要觀察和組合它的哪種屬性？數(shù)學(xué)中“普遍規(guī)律”的形式又是什么樣子呢？這些似乎都不甚明確根據(jù)數(shù)學(xué)模式論的觀點(diǎn)，“數(shù)學(xué)是通過模式建構(gòu)，以模式為直接對(duì)象來從事客觀實(shí)體量性規(guī)律性研究的科學(xué)”2，顯然，是將“量性模式”作為數(shù)學(xué)的直接研究對(duì)象，自然地，數(shù)學(xué)歸納推理也應(yīng)該以“量性模式”作為自己的思考對(duì)象從這樣的角度，我們可以將數(shù)學(xué)歸納推理

3、界定為：數(shù)學(xué)歸納推理是通過觀察和組合特殊事例的量性屬性來發(fā)現(xiàn)一類事物的量性模式的過程其中，量性屬性是指事物的量性結(jié)構(gòu)、關(guān)系、特征等；量性模式是指“按照某種理想化的要求（或?qū)嶋H可應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn)）來反映（或概括地表現(xiàn)）一類或一種事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)形式”2從上述分析可以看出，數(shù)學(xué)歸納推理的目的在于尋找和發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在特殊事例中的量性模式，而任何數(shù)學(xué)模式都是抽象思維的產(chǎn)物，是“內(nèi)在的思維運(yùn)動(dòng)模式的直接表現(xiàn)”2，因此，在歸納推理中所采用的思維模式?jīng)Q定著歸納推理的成效下面將通過歸納試題的分析解答來討論歸納推理的基本思維模式2 數(shù)學(xué)歸納推理的基本思維模式2.1要素歸納模式要素歸納模式指通過探討所考慮特殊事例的構(gòu)成要

4、素及其構(gòu)成方式而發(fā)現(xiàn)一般性的量性模式的歸納思維方式，其目的是歸納出一致性的數(shù)量結(jié)構(gòu)模式如“哥德巴赫猜想”是把素?cái)?shù)看作生成所有自然數(shù)的基本要素，而歸納出結(jié)論：任何一個(gè)不小于4的偶數(shù)均可以由兩個(gè)基本要素（素?cái)?shù)）構(gòu)成（相加）例1（2010年高考數(shù)學(xué)福建卷文科）觀察下列等式：；可以推測(cè)， 解答本題需要?dú)w納出以下三組數(shù)的結(jié)構(gòu)模式：（1）2，8，32，128，m；（2）2，8，18，32，p；（3）8，48，160，n對(duì)于數(shù)列（1）只要觀察出“2”這個(gè)要素便可以將各個(gè)數(shù)加工成如下結(jié)構(gòu)：由此可以推測(cè)出通項(xiàng)公式為，從而，對(duì)于數(shù)列（2），由于受到（1）中要素“2”的啟發(fā)，在從各數(shù)中分離“2”的過程中可以發(fā)現(xiàn)如下

5、數(shù)量結(jié)構(gòu)：由此可以推測(cè)出通項(xiàng)公式為，從而，對(duì)于數(shù)列（3），受推測(cè)值時(shí)出現(xiàn)2的冪及推測(cè)值時(shí)出現(xiàn)平方數(shù)的啟發(fā)，可把2的冪與平方數(shù)作為歸納的要素來展開歸納的過程，這樣便可以發(fā)現(xiàn)如下數(shù)量結(jié)構(gòu)：；由上述規(guī)律可以推測(cè)出的值：最后結(jié)果為：上述結(jié)論均可予以演繹證明，請(qǐng)讀者參見文獻(xiàn)3我們可以借用化學(xué)中的“原子”與“分子”來說明要素歸納模式的思維特點(diǎn)其中，要素相當(dāng)于“原子”，是構(gòu)成量性模式的基本單位，可簡(jiǎn)稱為“模式原子”；模式相當(dāng)于“分子式”，是由“模式原子”組成的具有一定意義的數(shù)量結(jié)構(gòu)由此，要素歸納模式的思維過程可概括為：（1）確定模式原子；（2）構(gòu)建各特殊事例的量性分子式；（3）觀察、概括、想象各分子式的共同

6、結(jié)構(gòu)特征，推測(cè)出分子式的“通式”，即一般性的量性模式；（4）驗(yàn)證確認(rèn)所推測(cè)的結(jié)論2.2函數(shù)歸納模式函數(shù)歸納模式是指將所考察的特殊事例的數(shù)量順次排列組成一個(gè)數(shù)列，把這些數(shù)量看作是某個(gè)關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)的函數(shù)值，然后通過分離常量與自變量或聯(lián)想所熟知的函數(shù)而找到函數(shù)關(guān)系式的思維方式例2（2012年全國(guó)卷理-新課標(biāo)）數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和為 解：由題設(shè)可得：（1）有上述等式易得：（1）（2）通過直觀觀察可得：（1）中各項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)常數(shù)列；（2）各項(xiàng)中的常量為8，可變部分依次為1，3，5，即奇數(shù)列由此可得的前項(xiàng)和為例3（2012年全國(guó)卷）函數(shù)，定義數(shù)列如下：，是過兩點(diǎn)，的直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）證明：；（）求

7、數(shù)列的通項(xiàng)公式解：（）略由題設(shè)可得，當(dāng)時(shí)通過簡(jiǎn)單的計(jì)算可得：要求數(shù)列的通項(xiàng)公式，需歸納出分子、分母所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式，然而不難看出每一項(xiàng)的分子均比分母的3倍少1，因此，只需求出分母所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式，即求下面數(shù)列的通項(xiàng)公式：1，4，19，94，469，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差依次為： 在上述數(shù)據(jù)中，3是常量，變量部分是由5的正整數(shù)冪構(gòu)成據(jù)此可以推測(cè)分母所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式為：將分別代入此式可解得因此，而且分子的通項(xiàng)公式為：故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：上述結(jié)論可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明，這里略去 函數(shù)歸納模式是圍繞變量之間的相依關(guān)系而展開的，所進(jìn)行的思維過程是：（1）將特殊事例的數(shù)量看成是某個(gè)函數(shù)

8、的一系列函數(shù)值；（2）通過觀察或運(yùn)算分離出具體數(shù)量中所蘊(yùn)含的常量與變量；（3）猜測(cè)函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)模式；（4）驗(yàn)證并確認(rèn)猜測(cè)其中，猜測(cè)函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)模式是一個(gè)核心環(huán)節(jié)，要求使用者具有強(qiáng)烈的變量意識(shí)，在“長(zhǎng)時(shí)記憶”中需儲(chǔ)備一定數(shù)量的“變量數(shù)值模塊”（如自然數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列、平方數(shù)列等），在猜測(cè)時(shí)可以由這些經(jīng)驗(yàn)過的“變量數(shù)值模塊”進(jìn)行啟示或引導(dǎo)2.3遞推歸納模式遞推歸納模式是指在數(shù)列中，通過探討由已知項(xiàng)“生出”未知項(xiàng)的結(jié)構(gòu)方式，從而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的一種思維方式，其核心是歸納出相鄰項(xiàng)間的遞推關(guān)系如“斐波那契數(shù)列”與“楊輝三角”等，都可以直觀地歸納出其賴以生長(zhǎng)的遞推關(guān)系在遞推歸納模式的運(yùn)用中，最為

9、有效的策略是考察相鄰兩項(xiàng)的差的特點(diǎn)，因?yàn)椤安睢痹跍p小數(shù)值、消除某些常量的同時(shí)往往也降低了所考察對(duì)象的“維度”在例3的解答中，若記數(shù)列各項(xiàng)的分子所組成數(shù)列2，11，56，281，1406，為，通過做差可得：從上述各個(gè)遞推式可以推測(cè)通過“錯(cuò)位相消法”可得：遞推歸納模式所要探尋的是數(shù)量之間的“連鎖反應(yīng)”，可以說體現(xiàn)了“一生二，二生三，三生萬物”這一道家哲學(xué)思維模式遞推歸納模式的一般思維過程是：（1）觀察相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，選擇一種加工方式（運(yùn)算）；（2）對(duì)相鄰的項(xiàng)進(jìn)行一致性的運(yùn)算組合；（3）尋找運(yùn)算組合的共同結(jié)構(gòu)，猜測(cè)遞推關(guān)系；（4）利用遞推關(guān)系得出一般性結(jié)論和函數(shù)歸納模式相比，遞推歸納模式只專注函數(shù)

10、值的變化，不需考慮兩個(gè)變量（自變量與因變量）之間的相依關(guān)系，從而思維的負(fù)荷相對(duì)要小一些2.4類比歸納模式類比歸納模式是通過聯(lián)想類比相同或相似的數(shù)量結(jié)構(gòu)模式來進(jìn)行歸納推理的一種思維方式波利亞指出：“歸納自然地建立在類比之上”1“類比是一個(gè)了不起的向?qū)А?類比為特殊事例量性屬性的觀察與組合提供了方向和方式，為歸納發(fā)現(xiàn)一致性的關(guān)系結(jié)構(gòu)提供了線索例4（2012福建卷理）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（I）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；（II）根據(jù)（）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論從所給的五個(gè)式

11、子可以看出，它們與余弦定理“”的左邊具有相類似的結(jié)構(gòu)，只是余弦定理的左邊涉及了三角形邊與角的運(yùn)算，而所給的五個(gè)式子只涉及角的運(yùn)算，因此，需要對(duì)余弦定理加以改造由正弦定理可知，代入余弦定理可得： （*）按照上式的結(jié)構(gòu)形式，注意到，可對(duì)所給的五個(gè)式子進(jìn)行如下變形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）很顯然，（1）（3）具有完全相同的結(jié)構(gòu)形式，（4）（5）具體完全相同的結(jié)構(gòu)形式，由此可推測(cè)出如下的三角恒等式：（）；（）通過簡(jiǎn)單的變換，（）與（）可統(tǒng)一為如下結(jié)構(gòu)形式：此恒等式的證明完全可以類比（*）式進(jìn)行，只是需要按的取值進(jìn)行分類討論，這里略去類比歸納模式所要考慮的是量性模式之間的相似關(guān)系或同構(gòu)關(guān)系，其核心是為所考查的對(duì)象（目標(biāo)模式）尋找一個(gè)具有相似結(jié)構(gòu)的源模式如“余弦定理”就是例4中用以類比的源模式結(jié)合Gentner(1988)的結(jié)構(gòu)映射理論4，類比歸納模式的一般思維過程可概括為：（1）建構(gòu)源模式和目標(biāo)模式的一種表征或圖式，把源模式改造或解釋成便于類比的結(jié)構(gòu)模式；（2）對(duì)目標(biāo)模式中的特殊事例進(jìn)行加工改造，建立起源模式與目標(biāo)模式間相似性匹配關(guān)系；（3）概括出一致性的結(jié)構(gòu)模式，推測(cè)一般性的結(jié)論；（4）驗(yàn)證或確認(rèn)推測(cè)的結(jié)論參考文獻(xiàn)：1 美G波利亞怎樣解題數(shù)學(xué)教學(xué)法的新面貌涂泓