導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、摘 要導(dǎo)數(shù)知識是高等數(shù)學(xué)中極其重要的部分,它的內(nèi)容,思想和應(yīng)用貫穿于整個高等數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是一種行之有效的好方法,它能使不等式的證明化難為易,迎刃而解.在不等式證明的種種方法中,它占有重要的一席之地.本文將從利用函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的最值,利用微分中值定理,利用泰勒公式,利用函數(shù)的凹凸性,利用兩導(dǎo)數(shù)的不等性及利用偏導(dǎo)數(shù)等七個方面闡述導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù),不等式,證明,函數(shù).abstract the knowledge of derivative is an extremely important part of higher mathematic，its

2、 content,ideas,and applications impenetrate into the teaching of higher mathematic.as to the proofs of inequalities,the use of the derivative proved to be an effective measure.it earns a place in the various methods of the proofs of inequalities.this article will elaborate the application of derivat

3、ive in the use of the proofs of inequalities,that is,the monotonic property of the function,the maximum or minimum value of a function,differential mean value theorem,taylors formula,concavity,inequality of two derivative and partial derivative. key words:derivative,inequalities,prove,function.目 錄1.

4、引言52.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式63.利用函數(shù)的最值(或極值)證明不等式74.利用lagrange中值定理證明不等式85.利用泰勒公式證明不等式96.利用函數(shù)的凹凸性證明不等式117.利用兩導(dǎo)數(shù)的不等性證明不等式128.利用特殊例題的推廣來證明不等式149.結(jié)束語16參考文獻16引 言不等式與等式一樣，在數(shù)學(xué)問題中都是有著十分重要而且廣泛應(yīng)用的課題，而不等式的研究范圍更廣，難度更大.有些不等式用初等數(shù)學(xué)方法是很難證明的，我們將以函數(shù)的觀點認識不等式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)為工具，使不等式的證明化難為易，迎刃而解.在數(shù)學(xué)分析課程中，不等式是證明定理與公式的工具，不等式的證明又蘊涵著許多數(shù)學(xué)分析的技巧.文獻

5、1微分中值定理及其應(yīng)用這一章節(jié)中主要闡述了拉格朗日微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性等概念. 文獻2中研究了用導(dǎo)數(shù)來證明不等式,其中側(cè)重的方法是拉格朗日中值定理、函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式. 文獻3中討論了利用函數(shù)的最值來證明不等式. 文獻4中用利用函數(shù)的凸凹性這一方法來證明不等式.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,其傳統(tǒng)的方法是利用微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值等來證明不等式.查閱相關(guān)文獻十五篇,其中詳讀十篇.在文獻5中找到創(chuàng)新之處,得出利用特殊例題的推廣這一方法來證明不等式.并且對常用的證明方法進行歸納總結(jié),更進一步地,對歸納的證明方法及創(chuàng)新之處加以應(yīng)用.2利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式該方法使用于某區(qū)間i上

6、成立的不等式，一般地，證明區(qū)間i上成立的不等式時，可以選擇作為輔助函數(shù)。對求導(dǎo)，判斷是大于0或是小于0,判定的單調(diào)性，從而證明不等式. 定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間i上可導(dǎo),則在區(qū)間i上遞增(遞減)的充要條件是 ()例1 設(shè)x0,證明不等式成立.證明 令,顯然.當時,有 從而在(0,+)內(nèi)嚴格遞增,又在處連續(xù),所以,當時, .即 . (1)設(shè),則時,所以在(0,+)內(nèi)遞減,又在處連續(xù),故時,有 即 (2) 由 (1)(2)可知,當時,有.注 構(gòu)造適當?shù)妮o助函數(shù)，使得證明簡潔些是很有必要的。為此，往往對待證的不等式作適當?shù)暮愕茸冃巍?.利用函數(shù)的最值(或極值)證明不等式由待證不等式建立函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)求出極

7、值并判斷極大值還是極小值,再求出最大值或最小值,從而證明不等式,這就是利用函數(shù)的最值(或極值)證明不等式的思路.定理2.1 設(shè)在點連續(xù),在某鄰域內(nèi)可導(dǎo).(1) 若當時,當時,則在點處取得極小值;(2) 若當時,當時,則在點處取得極大值.證 下面只證(2),(1)的證明可類似地進行.由定理的條件及單調(diào)性定理知,在內(nèi)遞增,在遞減,又由在處連續(xù),故對任意的,恒有.即在處取得極大值. 若函數(shù)的最大(小)值點在區(qū)間內(nèi),則必是的極大(小)值點.又若在可導(dǎo),則還是一個穩(wěn)定點.所以我們只要比較在所有穩(wěn)定點、不可導(dǎo)點和區(qū)間端點上的函數(shù)值,就能從中找到在上的最大值與最小值.利用函數(shù)的最值(或極值）證明不等式的步驟

8、:1、確定函數(shù)自變量所在的區(qū)間;2、求導(dǎo),確定在區(qū)間上的極值,并確定最值;3、由最值得到不等式.例2.1 設(shè)且,求證:.證 設(shè).則有.因為,所以.所以在上為增函數(shù).故的最小值為.所以恒成立,即命題得證.若我們不用函數(shù)的最值方法去證明，我們可以這樣證明: 證 用數(shù)學(xué)歸納法. 當時,恒成立. 假設(shè)當時,成立.那么,當時,有.又因為且,所以易證成立.從而得到.即當時命題也成立,從而原命題得證.從此例題我們可以看出利用函數(shù)的最值證明不等式思路更為清晰,方法更為簡明,有利于避免不等式證明中的一些轉(zhuǎn)化,放縮等問題.在不等式的證明中,轉(zhuǎn)化與放縮恰恰又是難點所在,所以以后遇到當函數(shù)取最大(或最小)值時不等式都

9、成立的問題時,我們可以把不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.因此利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是不等式證明的一種重要方法.4 利用拉格朗日中值定理證明不等式 要使用拉格朗日中值定理，關(guān)鍵是找出函數(shù)及其區(qū)間，看它是否滿足格朗日中值定理的條件，還可結(jié)合不等式的特點來找。 定理2（拉格朗日中值定理） 若函數(shù)滿足以下條件： （1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在（a,b）內(nèi)至少存在一點，使 例2 設(shè)為非線性函數(shù)，在a,b在連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，證明：使。 證明 引入輔助函數(shù)由于非線性，故，使得，而。設(shè)，（類似可證），在與上分別使用拉格朗日中值定理，得而 ，即 .所以 ，令 故 注 一般地，若

10、函數(shù)滿足拉格朗日中值條件，則有不等式 它是利用拉格朗日中值定理證明許多具體函數(shù)的不等式的主要思想。5.利用泰勒公式證明不等式 我們先對泰勒公式作簡單介紹.定理4.1 若函數(shù)在點存在直至階導(dǎo)數(shù),則有,即.（*）證 設(shè),現(xiàn)在只要證 .又由關(guān)系式,并易知.因為存在,所以在點的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù).于是,當且時,允許接連使用洛必達法則次,得到.定理所證的（*）式稱為函數(shù)在點處的泰勒公式. 用此公式證明不等式就是把所要證的不等式適當變形,把其中的函數(shù)用此公式展開,再把展開式右邊進行放大或縮小,從而推證要證的不等式.例4.1 當時,證明不等式成立.證 由于,故.顯然有,即.兩邊乘以,得.所以結(jié)論成立.注意

11、 用泰勒公式證明命題時,關(guān)鍵要注意一點,即究竟要展開到第幾階,而對于命題則沒有統(tǒng)一的規(guī)律,我們要根據(jù)題中的有關(guān)信息加以適當取舍.6 利用函數(shù)的凸凹性證明不等式 函數(shù)的凸凹性的重要應(yīng)用之一是證明不等式，許多不等式問題用以前的方法（如中值定理、泰勒公式等）證明起來十分困難，但利用函數(shù)的凸凹性質(zhì)，可以方便、快捷地得到結(jié)論。 定理5 為區(qū)間上的凸函數(shù)的充要條件是：對于區(qū)間上的任意三點總有 例5 利用 是凸函數(shù)，證明：其中 證明 因為 是凸函數(shù)，所以詹森不等式成立。 即 亦即 從而 注 如果是區(qū)間上凸（凹）函數(shù)，那么由定義，對于區(qū)間上的任意兩點,總有 所以只需證明在區(qū)間上是凸（凹）函數(shù)即可證上述不等式。

12、7.利用兩導(dǎo)數(shù)的不等性證明不等式 在不等式的證明中,我們也可以由待證不等式建立兩個在端點值相等的函數(shù),比較兩函數(shù)導(dǎo)數(shù)的大小,應(yīng)用定理證明不等式.定理6.1 設(shè)函數(shù)滿足：() 在區(qū)間上可導(dǎo),() 在區(qū)間上有,() ,則在上有.證 設(shè),則在上,有.因而,是上的增函數(shù).另一方面,且,故在上遞增且,于是,當時,即.此定理有明顯的幾何意義：如果曲線,都過同一點,且當時,曲線的切線斜率大于曲線的切線斜率,則曲線必在曲線的上方.（如圖1）yyy=f(x)y=f(x)my=g(x)y=g(x)mxba0xx待添加的隱藏文字內(nèi)容2bax0圖2圖1類似地可得到定理6.2 設(shè)函數(shù)滿足：() 在區(qū)間上可導(dǎo);() 在區(qū)

13、間上有;() ,則在上有.其幾何意義如圖2.例6.1 證明,.證 設(shè),顯然,求導(dǎo),得：.為在上判斷與的大小,再求一次導(dǎo),得：.因,即,故,即.又因為,在上應(yīng)用定理即知.再在上應(yīng)用定理,知,即 8 利用特殊例題的推廣來證明不等式在高等數(shù)學(xué)典型題解中有這樣一道例題即命題1,通過它可以得到下面的命題2,命題3，應(yīng)用這些推論可以簡潔、快速地解決一些不等式的證明問題.命題1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且。若在單調(diào)增加（或單調(diào)減少），則在上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。 證明 設(shè)在上單調(diào)增加由拉格朗日中值定理知 存在 使得由于在上單調(diào)增加，對于任意和有，從而于是在上單調(diào)增加。對于在上單調(diào)減少的情形亦可類似證明。

14、將命題1推廣可得以下推論。命題2 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且, 若在單調(diào)增加（或單調(diào)減少），則在上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。證明 設(shè)在上單調(diào)增加由拉格朗日中值定理知, 存在 使得由于在上單調(diào)增加，對于任意和有，從而于是在上單調(diào)增加。對于在上單調(diào)減少的情形亦可類似證明。注 將區(qū)間換成或結(jié)論也成立。命題3 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且, 若在單調(diào)增加（或單調(diào)減少），則在上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。 證明 設(shè)在上單調(diào)增加由拉格朗日中值定理知, 存在 使得由于在上單調(diào)增加，對于任意和有，從而于是在上單調(diào)增加。對于在上單調(diào)減少的情形亦可類似證明。注 將區(qū)間換成結(jié)論也成立。下面我們用這些定理證明一些常見的不等式

15、。例9 證明 當時， 證明令，則在單調(diào)減少。又在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.于是在上單調(diào)減少。由于，所以.即證明令，則在單調(diào)增加。又在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.于是在上單調(diào)增加。由于，所以.即.證明令，則在單調(diào)增加。又在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.于是在上單調(diào)增加。由于，所以.即注 應(yīng)用上面的命題及其推論我們不難得到下面的兩條結(jié)論。1 當時，2 當時，9.結(jié)束語以上我們把應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法歸成七類,分別舉例介紹了其證明方法,使用時究竟用哪種方法,需要根據(jù)不等式具體形式加以選擇,有的可用多種方法證明.作分類介紹,只是提供了證明的不同思路與方法供選用.總的來說,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是一種思路清晰,方法簡明,效果良好的方法. 參考文獻1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析上冊m.北京：高等教育出版社，2001，119/156.2 劉恒群.用導(dǎo)數(shù)研究不等式j(luò).寧夏工學(xué)院學(xué)報，