解析函數(shù)的幾種求法數(shù)學(xué)系畢業(yè)論文

1、解析函數(shù)的幾種求法摘要 在已知解析函數(shù)的實(shí)部或虛部的條件下求解析函數(shù),并將其表示為的形式,是復(fù)變函數(shù)中一個(gè)很重要的問題.因此,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馕龊瘮?shù)就顯得非常重要了.本文給出了一些用必要的定理和推論來求解析函數(shù)的方法,再以例題說明具體的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 解析函數(shù); 調(diào)和函數(shù); 柯西黎曼方程 some methods of analytic functionsabstract known in the analytic functions real part or imaginary part conditions for analytic functions, and will it says

2、theforms, the complex functions is a very important question. so, choose appropriate method for analytical function is very important. in this paper, some with the necessary theorem and reasoning for the method of analytic functions, again with examples explain specific application.keywords analytic

3、 functions; harmonic function; cauchy-riemann equation一 引言從解析函數(shù)及調(diào)和函數(shù)理論我們知道這兩類函數(shù)有著非常密切的聯(lián)系:函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析的充要條件是及為內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù),已知或中的一個(gè),就可以確定函數(shù),不過可能相差一個(gè)實(shí)數(shù)或純虛數(shù).這就提出了一個(gè)問題:已知調(diào)和函數(shù)或,如何求其共軛調(diào)和函數(shù)使解析？這不僅是復(fù)變函數(shù)理論中的重要問題,同時(shí)在物理中的流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、電學(xué)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用.如在實(shí)際應(yīng)用中,有時(shí)要對(duì)一對(duì)共軛調(diào)和函數(shù)進(jìn)行計(jì)算與研究.本文就對(duì)已知調(diào)和函數(shù)或,如何求其共軛調(diào)和函數(shù)使解析方法進(jìn)行總結(jié)與探求.二 預(yù)備知識(shí)1. 解析

4、函數(shù)的定義及柯西黎曼方程的推出定義1 如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微,則稱為區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù),或稱在區(qū)域內(nèi)解析.若在某一點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)解析,我們也說在某點(diǎn)解析.若在一點(diǎn)可微,而且設(shè) （1.1）又設(shè)其中（1.1）變?yōu)?（1.2）因?yàn)闊o論按什么方式趨于零時(shí),（1.2）總是成立的.先設(shè)即變點(diǎn)沿平行于實(shí)軸的方向趨于點(diǎn),此時(shí)（1.2）成為于是知必然存在,且有 . （1.3）同樣,設(shè)即變點(diǎn)沿平行于虛軸的方向趨于點(diǎn),此時(shí)（1.2）成為 故知亦必存在,且有 . （1.4）比較（1.3）及（1.4）得出.這是關(guān)于及的偏微分方程組,稱為柯西黎曼方程.由此我們可以得出:結(jié)論1 若在區(qū)域中解析,則必滿足柯西黎曼方程,即.結(jié)論2

5、 若在區(qū)域中解析,則.推論1 若函數(shù)在區(qū)域中解析,則有 .所以有 推論1的證明:證 由于令 則有 加到(1)式,有 .由結(jié)論2及,得 .同理用(4)式減去(2)式,有 .由結(jié)論2及,得 由(5),(6)式可得 經(jīng)過代換可得 . 我們稱式為以極坐標(biāo)為參數(shù)的柯西黎曼方程.2. laplace方程及調(diào)和函數(shù)設(shè)在內(nèi)解析,則由柯西黎曼方程,得 因在內(nèi)連續(xù),他們必定相等,故在內(nèi)有同理,在內(nèi)有即和在內(nèi)滿足laplace方程:這里是一種運(yùn)算記號(hào),稱為laplace算子.下面我們給出以極坐標(biāo)為參數(shù)的laplace方程:設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,則由得 .由解析函數(shù)的無窮可微性知和在內(nèi)連續(xù),它們必相等,所以有.同理可得.我

6、們稱,為極坐標(biāo)形式的laplace方程.定義2 若二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足laplace方程,則稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù).形式地,我們有:定義3 若二元極坐標(biāo)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足,則稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù).引理11 (解析函數(shù)唯一性定理)設(shè)函數(shù)及在區(qū)域內(nèi)解析,設(shè)是內(nèi)彼此不同的點(diǎn),并且點(diǎn)列在內(nèi)有極限點(diǎn).如果,那么在內(nèi),.三 求解析函數(shù)方法介紹1. 不定積分法由于解析函數(shù),的導(dǎo)數(shù)還是解析函數(shù),并且,或 .當(dāng)已知單連通區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)或時(shí),可將表示成的函數(shù),此時(shí)有,.我們令,則得. 其中或或或.例1 試求以調(diào)和函數(shù)為實(shí)部的解析函數(shù),并且滿足.解 由,得 ,由柯西黎曼方程,

7、得 .所以 .因此 ,將帶入,得.故所求函數(shù)為 .例2 證明為調(diào)和函數(shù),并求以它為實(shí)部的解析函數(shù).證 令 則有 ,由于,所以 ,故 為調(diào)和函數(shù),也即為調(diào)和函數(shù).由于,所以 .故 .例3 驗(yàn)證在右半平面內(nèi)是調(diào)和函數(shù),并求以此為虛部的解析函數(shù). 解 令 則有 ,由于, 故 ,所以 為調(diào)和函數(shù).又由得 .所以 . 例4 試求以為虛部的解析函數(shù),并滿足.解 令 得 ,可以驗(yàn)證其為調(diào)和函數(shù).由 .及,得 故 .因此所求函數(shù)為 .將帶入,得 .2. 線積分法在兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)和的表達(dá)式中,令,就可以得兩個(gè)相應(yīng)的復(fù)變量函數(shù).定理1 已知函數(shù)在區(qū)域內(nèi)調(diào)和,包含原點(diǎn),在內(nèi)解析, 則其中.證 設(shè)由于在內(nèi)解析,所以解

8、析且滿足柯西黎曼方程,從而再將右端按圖中兩端路線積分,第一段由到第二段由到,于是所以.設(shè)是中在實(shí)軸上的部分,當(dāng)時(shí)因在內(nèi)解析,故由唯一性定理可知,在區(qū)域上而且 . 推論 設(shè)在區(qū)域內(nèi)調(diào)和,包含原點(diǎn).是的二元多項(xiàng)式,是中的一次項(xiàng),在解析且,則其中 .這是因?yàn)樗杂啥ɡ砑吹盟鼋Y(jié)論. 方法(1) 一般方法 將對(duì)求原函數(shù)(在原點(diǎn)為者),同時(shí)令,即得于是 方法(2) 特殊方法 若是的二元多項(xiàng)式,將中的一次項(xiàng)去掉,乘以再對(duì)求原函數(shù)(在原點(diǎn)為0者),同時(shí)令即得,于是例5 求解析函數(shù).解 所以.例6 求.解 所以.待添加的隱藏文字內(nèi)容3若條件換成,則（為任意常數(shù)）然后再定常數(shù).例7 求.解 , 由得,故 .例8

9、 為調(diào)和函數(shù),求. 解 因?yàn)樗?又,故.可見此法具有一定的優(yōu)越性,使我們可以用心算立即得出這些題的答案.這類題是求解析函數(shù),有了就可以知道它的虛部.3. 形式導(dǎo)數(shù)法引理2 設(shè)復(fù)變函數(shù),且和都有偏導(dǎo)數(shù),那么(形式地)對(duì)于可由柯西黎曼方程可以寫為(由此可見,解析函數(shù)是以條件為特征的,因此,我們不妨說,一個(gè)解析函數(shù)與無關(guān),而是的函數(shù)).證明 由及知,將,代入到中,則可看成與的函數(shù),故又因?yàn)?所以利用柯西黎曼方程,則,故與無關(guān),是的函數(shù). 定理2 若已知調(diào)和函數(shù)且有定義,則相對(duì)應(yīng)的解析函數(shù)為.證明 根據(jù)上述引理,即是關(guān)于的函數(shù),則關(guān)于的導(dǎo)數(shù)為0,即事實(shí)上由柯西黎曼方程知:于是可把看成的函數(shù),記此函數(shù)

10、為,用這個(gè)記法可寫出恒等式.如果代入,則由于所需確定的可相差一個(gè)純虛數(shù)常數(shù),因此我們可假設(shè)實(shí)數(shù),即,從而函數(shù)可以用公式計(jì)算,可任意加上一個(gè)純虛數(shù)常數(shù),所以 . 例9 已知是平面上的調(diào)和函數(shù),求以為實(shí)部的解析函數(shù).解 由定理24. 其他方法定理3 為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù),那么在內(nèi)以為實(shí)部的解析函數(shù)為:.證 由得 ,所以,現(xiàn)設(shè)的共軛調(diào)和函數(shù)為.由柯西黎曼條件有 ,故 所以,由于是解析函數(shù),因此,得,于是.即. 類似可證:定理3 為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù),那么在內(nèi)以為虛部的解析函數(shù)為: .例10 求一解析函數(shù),使其實(shí)部為.解 以代入,得.所以 ,由上述定理有 .調(diào)和函數(shù)及解析函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用.本文所給出的方法及其推廣,很好地解決了復(fù)變函數(shù)中這一問題的理論與計(jì)算.參考文獻(xiàn)1余家榮.復(fù)變函數(shù).4版m.北京:高等教育出版社,2007.2秦靜.求解析函數(shù)的一個(gè)方法j.山東師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1996/04.3馮復(fù)科.復(fù)變函數(shù)與積分變換m.北京:科學(xué)出版社,2008.4蘇變萍,陳東立.復(fù)變函數(shù)與積分變換(第2版)m.北京:高等教育出版社,2010.5鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論(第三版)m.北京:高等教育出版社,2004.