均勻帶電薄圓盤場強分布的研究

1、各自位矢為r=er ，0二&0。所以r = r - rerr - 8訂0由球坐標基矢 與直角坐標基矢（e ey，ez）之間的變換關(guān)系為1均勻帶電薄圓盤場強分布的研究黎印中（貴州師范大學物理與電子科學學院貴陽550001）摘要：通過對均勻帶電細圓環(huán)空間電場的求解。在利用電場的疊加原理，導出均勻帶電薄 盤在場點與源點的距離大于圓盤半徑時，電場的級數(shù)表達式。關(guān)鍵詞：細圓環(huán)；電場；薄圓盤；疊加原理；級數(shù)表達式Uniformly charged thin disc field distribution ofAbstract: Based on a un iformly charged ring solu

2、ti on of the electric field of space.The use of electric field superposition principle, derived the presence of a uniformly charged thin disc-point distance from the source point is larger than disc radius, the electric field of the series expressi on.Key words: fine ring; electric field; thin disk;

3、 superposition principle; series expression1引言在大學物理教材上，均勻帶電薄圓盤作為一個典型的帶電模型，常常需要求其空間的電場分布。本文借助文獻2求出的均勻帶電細圓環(huán)電場的空間分布， 通過電場的疊加原理，導出均勻帶電薄圓盤在以圓盤的中心為球心，以圓盤的半 徑為球半徑的球外空間的電場分布。2均勻帶電細圓環(huán)的電場分布的級數(shù)解設(shè)圓環(huán)的半徑為r。，電荷線密度為。選擇在球坐標系中，如圖所示，由對 稱性可知，帶電細圓環(huán)的電場分布關(guān)于 z軸對稱。因此，電場分布與無關(guān)。為了計算的方便，只求在 xoz平面的任意一點 的p處的電場，就可以代表整個空間的電場 分布。在xo

4、z平面內(nèi)任取一場點p（ r，寸,0）， 在圓環(huán)上任取一電荷元dq，源點dl（r0,?）ex =er sin v cos e coscos$ -e sin ey 二er sin sinco sine ? cos :ez 二ecos 二 -e。sin 二所以p點的ex , ey , ez分別為=er sin v e。costey =e .ez =ecost -e。cos又ro -rocos ex rosin 8 汀ocos hsin。e。cos?！?rsin e=r 0cos sin 0er r0cos cos 0ee r0sin er =r ro=er r”r廠er -rocos siner r

5、ocos cose。rosin e =r -rcos sin= er -r cos，cosy。-rsin e又在直角坐標系中 p(rsin 。,0,rcos 。) , dl(r0cos，0sin ,0)。所以 p, dl 之間 的距離 | r F J(r sin 日 一 r0 cos f +(r0 sin f + (r cos日 f1=r2 r02 -2rr0 sin cos2令 A= r2r022rrsin 二卜 1 1所以 | r |= A2 1 - BCOS: 2 ,而電荷元 dq= rod ，dq在p點產(chǎn)生的電場dEdE 二蟲丄 r d r3g 廠Q 廠4A；1-Bcos(3)又dE在

6、球坐標下的三個分量為dEr 二r0 r - r0 sin cos ddE.334 0A2 1 - Bcos 22r0 cos r cos d334 ； A2 1 - Bcos 2 r02sin d :(1)(2)dE 334二；0 A2 1 -Bcos : 2:70colf 寸diCXICXI:+ UOS8 8)占+ (9s88)+ 9S88X +逹28冷70g-寸&S8 j e9 好 9S8 0y 3US8 8L)。餐寸 fhp- e j e e 層DS8 0v9S8H-U5H CQ+ u(宅 8 巴占 + ;VS88)L-co(L UCXI)(L+ UCXI) be ”00CXI 7+8

7、巴丁+ 9S88OI+ T 二 &S88 L) 099 卜 NC99co8 L) &匣LV。+(9)(9)(寸)MCO |CsLo0 JCO | CsLY9-UWQco |CX1 ,貝 寸CDSooCXIoco 1 CXIogCXIo/山2rrosin rcos3巴=4二;0A2I -Bcos 2 1 - Bcos 2 j 32n3 o r 1Bcos Pd j rosinvcos 1 -r o 1 3(Bcos V-52(Bcos )2 一 -Dn(Bcos )nd3 心 5 需(Bcos )20(Bcos )ndro2 二 r4二;0A2ro34二;0A2ro34二;0A2ro34二；0A

8、2roBcosr0 sinr J cos 1(Bcos )空r 1 4 B2 1PnBnCn 2二1 2!222 一3 ro Sine r *0聲 +2Bco列4 二;oA2% 3 r 1 十送(DnBnCn)L _rosin|3B 1+7533B3 +DkBkC + 壯厘I .5之2324 2一B2 coS 護 + + DnBn coS卅 + d4%A2 - - e -L，rJ 2丁 2丁 (DnBnCn)-rsin八2二 以BkC“ 4 嵐 A2-6k435r +rL (DnBnCrsiZ E (DkBkC“y 2qA2 心處心35-oO-noO* k2均勻帶電薄圓盤的電場分布又均勻帶電薄

9、圓盤是由無數(shù)均勻帶電細圓環(huán)組成， 用電場疊加原理，球出組 成薄圓盤的所在細圓環(huán)在 P點處的場強，就可代表整個圓盤在空間中的電場分布 了。設(shè)均勻帶電薄圓盤的電荷面密度為（7 ,圓盤的半徑為a距圓心ro處，寬度為 dro的細圓環(huán)的電荷線密度為 入dro，于是P點的電場為【+ R33： r5%汗o o J2 o(r2ro2) 2err弟一db a2or3(1 烏)2r乙 ro血2 o(r2 ro2) 2B2D2)nBro噸B 2 呼orc.ooF 顯BC)db 3r23嚴462or3(1 苛)2k；Z do2又I 1時rr2j35(2j 1)(r0、j字)j!2d0j!2（嚴122佇2(T 二4r0

10、2 r2：42j+2葺弘滬心“電1b0j!2j(r2)j (2j 2)1a+ . H0cr 壬2 0r2 j 02(Tj 3 5(2j 1a2j223r02 9(102rj!2j(r2)j(2j 2)od z3n =2,4,6)32(DnBnCn) dr。crr02 3 r0)32 r壬 arr0DnCnn =2,4,6,02$r3 (1+ 02r 2n尸n 1、-DnCn2 r00 a送0n =2,4,6,02屛(1DnBnCn dr02rr0 sin -(-3 2 23 r r)2 0odzn = 2,4,6, -2；0r2n 3nn 1 sin 71 r r02 n 3_ (1如 2 r

11、2dr0:2nT；DnCn sinn 二 r *2n =2,4,6 -n 1r0r02 n 32 (1 青)2 r2dr04-2+cxl士 uw0)7 二E + UCXII)(g 十 ucxll)(col+ UCXII)$ -dr cxllul 9uu_SUOUQOLud: 9甲 ucxl.tcxl+u+罕鑫 L0丄犁&丁 C+&C+&二寸+U %0 令+&?& 冷)+:+ylp:0W)Z H0O+ Ab) 0 N十&|:- &IQ+ 石)-0 沁 r0snk 135DkBkCkdr02祁r2 咐 2k135/書52koDkC+1sink+1 日廠(_1)J (2k+3(2k+5)(2k+2j

12、-2) J ,1,2j!2J(r2)J1k 2J 3ak 2j 3所以CTEr=22 pr j 衛(wèi),1,2,.n =2,4,6 二+ Z 亠J =0,1,2- 0k 4,3,5k_1k 1送 2oDkCk+Sin廿 rJ 1,2 ；oJ 3 5； 2 (2j1)(-1)Jj!22nJL二DnCnsinJ rQOza2J2(r2)J (2j 2)j (2n 3)(2n 5)(2n 2j-2)(T)k 1 -_k J3j!2J(r2)J(2k 3)(2k 5)(2k 2j-2)v1)j!2j(r2)j1n 2J 2an 2j 21k 2J 3ak 2j 3E.2cos320A2皿 DkibQO-z

13、 k =1,3,5； DkCk 產(chǎn)202r03 r2 r 22r r02rrsin 日I。2 丿2k 一1 r 一k %DkCk 比 co出 sink 日53,50k 2r01+0r2k+3dr0k 丸3,5 2kr 來 P：DkCk . 1 cob sink 二 j =0,1,2j (2k 3)(2k 5)(2k 2j -2)ak 2j 3j!2j (k 2j 3) (r2)j/ si3 d=01 - Bcos 2n2r。E34- 0A2求解是在r2/r2小于1的情況下進行的，所以本文求出電場分布并不適用于 任何情況。如果以圓盤的中心為球心，以圓盤的半徑為半徑作球的話， 本文求出 的電場只使

14、用于球外。3討論本文通過積分的方法求出了均勻帶電薄圓盤的電場分布級數(shù)形式解，但是具有局限性，它只使用于以圓盤的中心為球心，以圓盤的半徑為半徑作球的球外部 分。均勻帶電薄圓盤中心軸線上無窮遠處的電場， 在中心軸線上有0 =0,r為z所以E=0Er2 .2；0Z j工 (-1)= 0,1,2,3 5(2j1) a2j 2j!2j(r2)j (2j2)a _a2 3a41= I+-，2 気2z2 8z4這與教材上的一致。當帶電薄圓盤的半徑趨于無窮大時，可以把它看成是無限大帶電薄圓盤，它的電場就近似認為E =、2 p參考文獻：1尹真.電動力學M.2版.北京：科學出版社，2005.2李秀燕，陳賜海.帶電

15、細圓環(huán)與導體球殼系統(tǒng)的場分布J.大學物理，2007, 26 (11):37-38.3江俊勤.也談均勻帶電圓環(huán)的電場分布J.大學物理，2007，26 (11): 39424施建兵，朱卓宇，馮玉英，孫越泓 譯;美M.R.施皮格爾 著.微積分M .1版.,北 京：科學出版社,2002 . 梁燦彬，秦光戎，梁竹健原著；梁燦彬修訂.電磁學M . 2版.北京：高等教育出版社,2004.5 .四川大學數(shù)學系高等教學教研室編高等數(shù)學M . 3版,第一冊.北京：高等教育出版社,1995 .7四川大學數(shù)學系高等教學教研室編.高等數(shù)學M . 3版,第二冊.北京：高等教育出版社,1996 .致謝此論文是在我的導師徐梅老師的親切關(guān)懷和悉心指導下完成的，徐梅老師對本論文從選題、構(gòu)思、資料收集到最后定稿的各個環(huán)節(jié)給予細心的指引和教導，使我對于洛倫茲力和安培力的關(guān)系有了比較深刻的認識 ，并最終得以完成畢業(yè)論 文,她嚴肅的科學態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W精神