矩陣相關(guān)知識(shí)考研資料

1、第六章 特征值及其應(yīng)用本章內(nèi)容所涉及的矩陣若無特別說明均為階復(fù)方陣6.1 特征值特征向量的一般知識(shí)是階方陣，若存在復(fù)數(shù)以及維非零列向量，使，即，則稱是的特征值，是的屬于的特征向量由線性方程組的知識(shí)可知：是的特征值是的特征多項(xiàng)式的根特征多項(xiàng)式的性質(zhì)：(1)相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式；(反之不然)(2)設(shè)是的特征多項(xiàng)式，則（hamilton-cayley定理）(3)設(shè)，則，其中是的所有階主子式之和，即，(3)的證明：將和按列分塊，利用行列式按列拆開的性質(zhì)可得注：在(3)中，若是的全部根，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得，于是，由此可見可逆的特征值均不為0特征值、特征向量的性質(zhì)：設(shè)是階方陣的特征值，是的屬于的

2、特征向量(1)是的特征值，是的屬于的特征向量(2) 可逆時(shí)，且是的特征值，是的屬于的特征向量(3) 是的特征值，是的屬于的特征向量(4)當(dāng)可逆時(shí)，是的伴隨矩陣的特征值，是的屬于的特征向量；當(dāng)不可逆時(shí)：若秩，的特征值只有，任意非零向量是他的特征向量；若秩，的特征值為和，其中至少是的重特征值(5)與有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值(6)若存在正整數(shù)，使，則的特征值只能為(7) 若存在正整數(shù)，使，則的特征值只能為和次單位根(8)若是的特征向量，則所屬于的特征值為證明(1)由可得，設(shè)，則所以可見是的特征值，是的屬于的特征向量(2)在兩邊左乘得，即，可見是的屬于的特征向量(3)，所以是的屬于的特征

3、向量(4)當(dāng)可逆時(shí)，因?yàn)?，而，即，亦即，可見是的屬于的特征向量?dāng)秩時(shí)，所以對(duì)任意非零向量，有可見的特征值只有，任意非零向量是他的特征向量當(dāng)秩時(shí)，秩，所以的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的秩為1，可知的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上至少有個(gè)0，因此又：與上式比較得(5)(6)，但，即而，所以(7)由，得，所以而，所以，即，可見為和次單位根(8)設(shè)所屬于的特征值為，則，兩邊同時(shí)左乘，得，所以例1階實(shí)矩陣的主對(duì)角元全為，且其特征值全是非負(fù)數(shù)，證明：證明設(shè)的個(gè)特征值是，則又，例設(shè)階實(shí)矩陣的特征值全是實(shí)數(shù)，并且的所有階主子式之和、所有階主子式之和全是，證明：證明有特征多項(xiàng)式性質(zhì)(3)其中是的所有階主子式之和結(jié)合已知有設(shè)的個(gè)特征值是

4、，由根與系數(shù)的關(guān)系，有，所以而全是實(shí)數(shù)，可得于是的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形形如：，即存在可逆矩陣，使，所以（）例是階實(shí)矩陣，如果對(duì)任意維實(shí)列向量，恒有，證明：注：當(dāng)對(duì)稱時(shí)，即為正定矩陣證明先證明：的任意一個(gè)特征值的實(shí)部大于設(shè)是的一個(gè)特征值，是屬于的特征向量，則用和分別表示分量的實(shí)部和虛部系數(shù)構(gòu)成的列向量，則（注：都是實(shí)列向量）于是，比較等號(hào)兩端的實(shí)部和虛部得，用分別左乘上兩式得，兩式相加得由已知，又至少有一個(gè)不等于（），所以，從而有是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，的特征值成對(duì)出現(xiàn)設(shè)為的特征值，則（）由于等于的特征值之乘積，而的實(shí)特征值全大于，每一對(duì)共軛的復(fù)特征值的乘積大于，故.2 特征多項(xiàng)式的降階定理定理1設(shè)分別是和矩陣，

5、則證明設(shè)秩，則存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使令（其中為矩陣），則，因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣鞫囗?xiàng)式，所以，當(dāng)時(shí)，由上兩式得，顯然當(dāng)時(shí)，由上兩式得，所以推論設(shè)分別是和矩陣，則與的非零特征值相同推論設(shè)是同階方陣，則與有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值和跡例是階可逆矩陣，是維非零列向量，證明：的根是（重）和證明由行列式的乘法規(guī)則及特征多項(xiàng)式降階定理，可見的根是（重）和在例中，取，則有有個(gè)特征根是0，另一個(gè)特征根是例如，則有個(gè)特征根是0，另一個(gè)特征根是例求階矩陣的特征值及行列式解，其中，由以上討論的根是（重）和于是的特征值中有個(gè)滿足，另一個(gè)滿足所以的特征值為和又對(duì)秩為的階方陣，設(shè)是他的滿秩分解，利用

6、特征多項(xiàng)式降階定理可見一定是秩為的階方陣（）的特征值，且其重?cái)?shù)為（注：因?yàn)槭侵葹榈碾A方陣，故可逆，所以它的特征值均不為）例設(shè)是階方陣，如果矩陣方程有解，則注：由此例可知，當(dāng)?shù)嫩E不為零時(shí)，無解證明因?yàn)橛薪猓源嬖诰仃?，使于是，有推論，所以特征多?xiàng)式是一種特殊的行列式，有時(shí)也要借助行列式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算例設(shè)是實(shí)數(shù)，求階矩陣的特征值解，其中，但是的首項(xiàng)系數(shù)為，所以，而的根為，所以的特征值為，6.3 特征值的區(qū)域估計(jì)要求出一個(gè)階方陣的特征值，一般來說是非常困難的，有時(shí)甚至是不可能的另一方面，在工程技術(shù)或理論研究的許多問題中，往往只要知道特征值的近似值，甚至只要知道特征值所在的區(qū)域（復(fù)平面上的區(qū)域）就足

7、夠了因此，研究特征值的近似求法或估計(jì)特征值所在的區(qū)域就是非常有意義的工作了本節(jié)就對(duì)特征值所在區(qū)域的估計(jì)問題作簡單介紹關(guān)于這個(gè)問題，最經(jīng)典的結(jié)果要算蓋爾許戈林（蘇）的圓盤定理了，在介紹這一定理之前，先做一些準(zhǔn)備工作一、對(duì)角占優(yōu)矩陣對(duì)階方陣，令，注： ()即的第行(列)中除主對(duì)角元之外的其它元素的絕對(duì)值之和如果，則稱為行對(duì)角占優(yōu)矩陣；如果，則稱為嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣；如果，則稱為列對(duì)角占優(yōu)矩陣；如果，則稱為嚴(yán)格列對(duì)角占優(yōu)矩陣行對(duì)角占優(yōu)矩陣和列對(duì)角占優(yōu)矩陣統(tǒng)稱為對(duì)角占優(yōu)矩陣；嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣和嚴(yán)格列對(duì)角占優(yōu)矩陣統(tǒng)稱為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣定理嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣必為非奇異的證明以嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣為例證明設(shè)為

8、嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣，如果為奇異的，則齊次線性方程組有非零解設(shè)，顯然將代入的第個(gè)方程得由此得，從而推出，與定理?xiàng)l件矛盾二、特征值的區(qū)域估計(jì)定理（gersgorin,1931）設(shè)，則的特征值都落在復(fù)平面上的個(gè)圓盤的并集上（稱為由確定的蓋氏圓盤）證明對(duì)的任一特征值，有，根據(jù)定理，一定不是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，即必存在一個(gè)主對(duì)角元，使，這表明注意定理只說明的個(gè)特征值一定落在個(gè)圓盤的并集上，并不能保證每個(gè)圓盤都含有的特征值例如：矩陣的特征值為，他們都包含在圓盤上，而圓盤上則不含有的特征值值得注意的是，此例中的兩個(gè)蓋氏圓盤與是相交區(qū)域，因此構(gòu)成了復(fù)平面上的一個(gè)連通區(qū)域于是自然會(huì)想到：如果的個(gè)蓋氏圓盤的并集構(gòu)成

9、復(fù)平面上的個(gè)互不相交的連通區(qū)域，是否每個(gè)連通區(qū)域都含有的特征值？下邊的定理回答了這個(gè)問題定理(gersgorin,1931) 設(shè)的個(gè)蓋氏圓盤中有個(gè)圓盤構(gòu)成了復(fù)平面上的一個(gè)連通區(qū)域，且的其余個(gè)圓盤與都不相交，則中有且僅有的個(gè)特征值證明令，其中 ，作參數(shù)矩陣，則當(dāng)由變到時(shí)，由變到另外，的個(gè)蓋氏圓盤為：，可見的個(gè)蓋氏圓盤恰是的個(gè)蓋氏圓盤的圓心對(duì)任意的（），的蓋氏圓盤為，即：的每個(gè)蓋氏圓盤都落在的一個(gè)相應(yīng)的蓋氏圓盤之內(nèi)，且都以（）為圓心現(xiàn)在考慮的任一特征值，他顯然是的連續(xù)函數(shù)，所以當(dāng)由變到時(shí)，在復(fù)平面上由圓心出發(fā)畫出一條連續(xù)曲線于是當(dāng)由變到時(shí)，的個(gè)特征值在復(fù)平面上分別由各自的圓心出發(fā)畫出條連續(xù)曲線，且

10、曲線的終點(diǎn)為的個(gè)特征值（參看下邊的示意圖） 下邊證明：這條連續(xù)曲線的每一條，要么全落在上，要么全落在的其余個(gè)圓盤的并集上否則，這條曲線中必有一條既落在上，又落在其余個(gè)圓盤的并集上由于與這個(gè)圓盤的并集不相交，而連續(xù)，所以上必有一點(diǎn)（），它落在的個(gè)圓盤之外（參看下述示意圖）但是是的特征值，由前面所述，他應(yīng)落在的個(gè)圓盤的并集之上，從而落在的個(gè)圓盤之并集上，得矛盾根據(jù)以上證明的結(jié)果即得，由的個(gè)圓盤的圓心出發(fā)的連續(xù)曲線，當(dāng)時(shí)，應(yīng)全部落在上，所以上至少有的個(gè)特征值類似地可以證明，的其余個(gè)圓盤上至少含有的個(gè)特征值，總之個(gè)圓盤上恰有的個(gè)特征值推論如果階方陣的個(gè)蓋氏圓盤兩兩不相交，則每個(gè)圓盤上恰含的一個(gè)特征值，

11、從而有個(gè)不同的特征值推論如果階實(shí)方陣的個(gè)蓋氏圓盤兩兩不相交，則的特征值為實(shí)數(shù)證明因?yàn)榈奶卣鞫囗?xiàng)式是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，所以的特征值要么是實(shí)數(shù)，要么是成對(duì)出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)如果有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)和是的特征值（），不妨設(shè)位于復(fù)平面的上半平面，則必位于下半平面，且與關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱由定理，必落在的某個(gè)蓋氏圓盤上因?yàn)榇藞A盤的圓心是實(shí)數(shù)（是實(shí)矩陣），即圓心在實(shí)軸上，因此圓盤關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，所以關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)也落在中但因?yàn)榈膫€(gè)蓋氏圓盤兩兩不相交，由推論，的每個(gè)圓盤上恰含的一個(gè)特征值，得矛盾注意：矩陣的特征值有可能落在其蓋氏圓盤的邊界上例如：矩陣的四個(gè)蓋氏圓盤重合，均為，它是一個(gè)以為圓心，以為半徑的圓易求得的四個(gè)特征值是，顯

12、然他們都落在的蓋氏圓盤的邊界上有了以上討論，我們可以從另一個(gè)角度來分析理解蓋氏圓盤定理：在復(fù)平面上畫出各蓋氏圓盤的中心點(diǎn)，的任一個(gè)特征值與離它最近的中心點(diǎn)間的距離不超過，而且這個(gè)最大距離有時(shí)可以達(dá)到因而有理由認(rèn)為，如果不改變圓盤中心點(diǎn)的取法，便不可能對(duì)蓋氏圓盤定理做出實(shí)質(zhì)上的改進(jìn)這為此一問題的進(jìn)一步研究指出了一條思路6.4 hamilton-cayley定理的應(yīng)用hamilton-cayley定理在理論和計(jì)算方法上的作用從下述例子中可見一斑例設(shè)，其中是任意復(fù)數(shù)，是三次單位根，求及解的特征多項(xiàng)式為，由hamilton-cayley定理，得，所以，又例當(dāng)階方陣可逆時(shí)，證明：必可以表示成的次多項(xiàng)式證

13、明的特征多項(xiàng)式為其中由hamilton-cayley定理由此得，所以，可見是的次多項(xiàng)式（上式首相系數(shù)不為）例10 設(shè)，計(jì)算解的特征多項(xiàng)式為由hamilton-cayley定理，由帶余除法，所以例11 設(shè)，證明：（），并求解的特征多項(xiàng)式為由hamilton-cayley定理，得可見當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立假設(shè)成立，則由歸納原理，等式成立反復(fù)利用，有例12 設(shè)，記，證明：如果非奇異，則階矩陣也非奇異證明設(shè)的元的代數(shù)余子式為（這里），記由行列式按一列展開公式，有（），于是（）將上式用分塊矩陣的乘積表達(dá)，即兩邊取行列式得，由此可見，若能證明非奇異，則非奇異令，由hamilton-cayley定理，由可得，所以（

14、非奇異），即非奇異，從而非奇異應(yīng)用hamilton-cayley定理可得下述求特征多項(xiàng)式的克雷洛夫（蘇18631945）方法：對(duì)階方陣，若存在維列向量，使非奇異，取則的特征多項(xiàng)式為以下是此結(jié)果的證明：設(shè)的特征多項(xiàng)式為由hamilton-cayley定理，兩邊右乘得，由此得，即，由于可逆，所以第七章方陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型7.1 基本概念與基本結(jié)論本節(jié)討論在某固定數(shù)域上進(jìn)行是數(shù)域上的階方陣，若存在上的可逆矩陣，使，則稱在數(shù)域上相似討論矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形問題的一個(gè)重要思路是利用其特征矩陣的等價(jià)，溝通兩者的橋梁是下邊熟知的定理定理數(shù)字矩陣與相似與等價(jià)欲利用此定理研究數(shù)字矩陣相似的問題，就必須對(duì)-矩陣的等價(jià)有足

15、夠的認(rèn)識(shí)，所以先介紹-矩陣的相關(guān)知識(shí)以數(shù)域上的多項(xiàng)式為元素的矩陣叫-矩陣-矩陣的相等、加法、乘法、數(shù)乘以及-矩陣的行列式等概念與數(shù)字矩陣的相應(yīng)概念相仿，而且有完全相同的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律-矩陣的秩若-矩陣有一個(gè)階子式不為，而所有的階子式全為，則稱的秩為零矩陣的秩位注：數(shù)字矩陣的秩與該矩陣的許多性質(zhì)本質(zhì)地聯(lián)系在一起，如：秩相同則等價(jià)；滿秩則可逆相比之下，對(duì)于-矩陣來說，秩的作用就弱得多，兩個(gè)-矩陣秩相同未必等價(jià)；滿秩也未必可逆-矩陣與數(shù)字矩陣的差別主要是由于中除法不是普遍可行所引起的對(duì)任意階方陣，秩（）可逆-矩陣對(duì)-矩陣，若存在-矩陣，使，則稱可逆，叫做的逆矩陣，記為可逆的等價(jià)命題：對(duì)-矩陣下述命題

16、等價(jià)(1) 可逆；(2)是非零常數(shù)；(3)與等價(jià)；(4) 可表成初等-矩陣的乘積當(dāng)可逆時(shí)，（是的伴隨矩陣）-矩陣的初等變換和初等-矩陣 、初等變換以下三種變換稱為-矩陣的初等行(列)變換：(1) 交換兩行（列）的位置；(2) 某以行（列）乘以非零常數(shù)；(3) 將某以行（列）的倍加于另以行（列）注：為保證變換的可逆性，第種初等變換必須用非零常數(shù)去乘、初等-矩陣單位矩陣經(jīng)過一次-矩陣的初等變換所得到的矩陣叫初等-矩陣-矩陣的初等變換與初等-矩陣之間的關(guān)系與數(shù)字矩陣的相應(yīng)關(guān)系類似-矩陣的等價(jià)和標(biāo)準(zhǔn)形、-矩陣的等價(jià)若可以經(jīng)過初等變換化為，則稱與等價(jià)-矩陣等價(jià)的等價(jià)命題：(1) 與等價(jià)；(2) ，其中是

17、初等-矩陣；(3) ，其中可逆；(4) 與有相同的行列式因子；(5) 與有相同的不變因子；(6) 與有相同的秩和相同的初等因子注：對(duì)階數(shù)字矩陣和，由于秩秩，所以(1)(6)就簡化成: 與等價(jià)他們有相同的初等因子、標(biāo)準(zhǔn)形任意一個(gè)非零的-矩陣等價(jià)于形如的-矩陣，其中的首相系數(shù)為，且次矩陣叫做的標(biāo)準(zhǔn)形-矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子行列式因子設(shè) 秩，對(duì)滿足的正整數(shù)，中所有不為的階子式的首項(xiàng)系數(shù)為的最大公因式叫做的階行列式因子秩為的-矩陣共有個(gè)行列式因子：不變因子標(biāo)準(zhǔn)形主對(duì)角線上的非零元叫的不變因子秩為的-矩陣共有個(gè)不變因子：初等因子將-矩陣的不變因子分解為互不相同的（數(shù)域上的）不可約因式方冪的

18、乘積，所有這些不可約因式方冪叫的初等因子注：高等代數(shù)課本上初等因子的概念只是針對(duì)這種特殊的-矩陣定義的對(duì)階數(shù)字方陣，把他的特征矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子分別叫做的行列式因子、不變因子和初等因子上三種因子之間的性質(zhì)和關(guān)系：(1)；或(2)同一個(gè)不可約因式方冪的初等因子中，次數(shù)最高的必出現(xiàn)在最后一個(gè)不變因子中，次數(shù)次高的必出現(xiàn)在中，以此類推(3)所有初等因子的乘積等于所有不變因子的乘積等于最后一個(gè)行列式因子特別地，對(duì)階數(shù)字方陣，由于，所以的所有初等因子的乘積、所有不變因子的乘積都等于的特征多項(xiàng)式由此可知，階數(shù)字方陣的所有初等因子的次數(shù)之和等于所有不變因子的次數(shù)之和等于利用定理及以上討論可

19、得定理階數(shù)字方陣與相似與有相同的行列式因子與有相同的不變因子與有相同的初等因子7.2 矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形從一般意義上講，矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形問題就是尋找一種與階方陣相似的并且具有某種特殊形狀的矩陣的問題，這個(gè)問題有著十分重要的理論和實(shí)際意義定理為解決這個(gè)問題提供了一種方法：對(duì)一個(gè)階方陣，設(shè)其次數(shù)大于的不變因子為（注：階方陣共有個(gè)不變因子，所以還有個(gè)不變因子是），他們次數(shù)分別是，則如果對(duì)每一個(gè)，能設(shè)計(jì)出一個(gè)階方陣，使的不變因子為（），利用構(gòu)造分塊對(duì)角矩陣容易證明：的不變因子恰是的不變因子的全體，即：可見與有相同的不變因子，所以他們相似這樣就設(shè)計(jì)構(gòu)造出了的一種形式的標(biāo)準(zhǔn)形同樣的思路用于初等因子就是：設(shè)階

20、方陣的初等因子是，其次數(shù)分別是，則如果對(duì)每一個(gè)，能設(shè)計(jì)出一個(gè)階方陣，使的初等因子為，利用構(gòu)造分塊對(duì)角矩陣容易證明：的初等因子恰是的初等因子的全體，即：可見與有相同的初等因子，所以他們相似這樣就設(shè)計(jì)構(gòu)造出了的另一種形式的標(biāo)準(zhǔn)形frobenius標(biāo)準(zhǔn)形和jordan標(biāo)準(zhǔn)形就是利用這種思路設(shè)計(jì)構(gòu)造出來的下面是和的證明證明因?yàn)榈牟蛔円蜃訛椋ǎ?所以的標(biāo)準(zhǔn)形為.于是 可以經(jīng)過初等變換化為,再經(jīng)過行、列交換即得的標(biāo)準(zhǔn)形 ,可見的不變因子恰是 證明 因?yàn)榫仃嚨某醯纫蜃訛?所以的不變因子為,的標(biāo)準(zhǔn)形為,于是可以經(jīng)過初等變換化為.將其主對(duì)角線上次數(shù)大于零的元素分解成互不相同的不可約因式方冪的乘積即得的初等因子,

21、易見他們就是.7.3 相似標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)形是一種形狀特殊的矩陣，其特殊的形狀決定著它有特殊的性質(zhì)，利用矩陣與其標(biāo)準(zhǔn)形的聯(lián)系，就可以將標(biāo)準(zhǔn)形的特殊性質(zhì)用于一般矩陣的研究要達(dá)到這一目的，首先必須對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型這種特殊矩陣的性質(zhì)有所了解一、jordan標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用jordan矩陣的常用性質(zhì)：jordan塊是一個(gè)數(shù)量矩陣與一個(gè)基礎(chǔ)循環(huán)矩陣之和（基礎(chǔ)循環(huán)矩陣方冪的規(guī)律見24頁2.3節(jié)例8），而以冪零矩陣為主對(duì)角元的分塊對(duì)角陣仍是冪零的因此，jordan矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣與一個(gè)冪零矩陣之和由于jordan塊可以分解為而和的方冪都容易求得，所以jordan塊的方冪是容易求得的（利用二項(xiàng)式定理）而準(zhǔn)對(duì)角矩陣的方冪

22、滿足，所以jordan矩陣的方冪是容易求得的與階jordan塊可交換的矩陣形如 （其中是任意數(shù)），并且是的多項(xiàng)式證明設(shè)與可換，即，得直接驗(yàn)證可得令，則jordan矩陣可以分解為一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣與一個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣的乘積證明設(shè)，其中，容易驗(yàn)證這里，令，則是實(shí)對(duì)稱矩陣，是復(fù)對(duì)稱矩陣，且例1證明：任一復(fù)矩陣可分解為，其中為冪零陣，相似于對(duì)角陣，且證明存在可逆矩陣，使，其中，令，則得，這里相似于對(duì)角陣，為冪零陣，且例2證明：任一復(fù)方陣可以分解為兩個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣的乘積證明設(shè)是一個(gè)復(fù)方陣，其jordan標(biāo)準(zhǔn)形為，則存在復(fù)可逆矩陣，使由上述，是實(shí)對(duì)稱矩陣，是復(fù)對(duì)稱矩陣而可見是兩個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣與的乘積例3設(shè)階方陣的秩為

23、且（），證明：存在可逆矩陣，使證明存在可逆矩陣，使，于是() 所以若有某個(gè)的階數(shù)，則有,可得因此，得，矛盾于是，每個(gè)均為一階的，即由()，得或因而適當(dāng)交換的列可得矩陣，使例4設(shè)為冪零陣，且 秩，證明：若，則證明因?yàn)閮缌汴嚨奶卣髦等?，所以的jordan標(biāo)準(zhǔn)形中的若當(dāng)塊形如，于是因?yàn)?秩秩秩， 故而相似于，所以例5設(shè)是階方陣，證明：若是的重特征值，則 秩證明將的jordan標(biāo)準(zhǔn)形中主對(duì)角元為的若當(dāng)塊放在一起，記為，則是階的，故有，其中是階的下三角矩陣，且主對(duì)角元不為所以而 可見 秩秩例6求使解設(shè)的jordan標(biāo)準(zhǔn)形為，令（其階數(shù)與階數(shù)相同），則,，且（）令，則,，且（）于是，這里例7 證明：任意階復(fù)方陣可表成兩個(gè)對(duì)稱矩陣的乘積，其中之一是非退化的證明設(shè)的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是，即有令（這里與階數(shù)相同），則，且取，則，且所以，其中是非退化對(duì)稱矩陣，使對(duì)稱矩陣，事實(shí)上：例8證明：如果