數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型歸納[共8頁(yè)]

1、數(shù)列一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作,在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)）,在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng),序號(hào)為 的項(xiàng)叫第項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作；數(shù)列的一般形式：,簡(jiǎn)記作 。（2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如：1 ,2 ,3 ,4, 5 ,：說明：表示數(shù)列,表示數(shù)列中的第項(xiàng),= 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式； 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如,= =； 不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：從函數(shù)觀點(diǎn)

2、看,數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值,通常用來代替,其圖象是一群孤立點(diǎn)。（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。例：下列的數(shù)列,哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？（1）1,2,3,4,5,6, (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：二、等差數(shù)列(一)、等差數(shù)列定義：一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差

3、等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或例：等差數(shù)列, (二)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列,為常數(shù)列, 為遞減數(shù)列。例：1.已知等差數(shù)列中,等于（ ）A15 B30 C31 D642.是首項(xiàng),公差的等差數(shù)列,如果,則序號(hào)等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差數(shù)列,則為 為 （填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”）(三)、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果,成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中 ,成等差數(shù)列 即： （）例：1（全國(guó)I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若,則

4、 （ ）A B C D(四)、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列中,相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列； （3）在等差數(shù)列中,對(duì)任意,；（4）在等差數(shù)列中,若,且,則；(五)、等差數(shù)列的前和的求和公式：。(是等差數(shù)列 )遞推公式： 例：1.如果等差數(shù)列中,那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）352.（湖南卷文）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,則等于( )A13 B35 C49 D 63 3.（全國(guó)卷） 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則= 4.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)列有（

5、 ）A.13項(xiàng)B.12項(xiàng)C.11項(xiàng)D.10項(xiàng)5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若 6.（全國(guó)卷）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若則 7.已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前10項(xiàng)的和,則其公差等于( ) C. D.8.（陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 9（全國(guó)）設(shè)an為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知S77,S1575,Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,求Tn。(六).對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列：（1）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),設(shè)共有項(xiàng),則偶奇； ；（2）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),設(shè)共有項(xiàng),則奇偶；。 1.一個(gè)等差數(shù)列共2011項(xiàng),求它的奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比_2.一個(gè)等差數(shù)列前20項(xiàng)和為75,其中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比1：2,求公差d3.一個(gè)等

6、差數(shù)列共有10項(xiàng),其偶數(shù)項(xiàng)之和是15,奇數(shù)項(xiàng)之和是,則它的首項(xiàng)與公差分別是_(七).對(duì)與一個(gè)等差數(shù)列,仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602.一個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)的和為48,前2項(xiàng)的和為60,則前3項(xiàng)的和為 。3已知等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100,前100項(xiàng)和為10,則前110項(xiàng)和為 4.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,= 5（全國(guó)II）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若,則A B C D(八)判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：是等差數(shù)列中項(xiàng)法：是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列前項(xiàng)和公式法：是等

7、差數(shù)列例：1.已知數(shù)列滿足,則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 2.已知數(shù)列的通項(xiàng)為,則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷3.已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷4.已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷5.已知一個(gè)數(shù)列滿足,則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷6.數(shù)列滿足=8, （）

8、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；7（天津理,2）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且Sn=n2,則an是（ ）A.等比數(shù)列,但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列,但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列,而且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列(九).數(shù)列最值（1）,時(shí),有最大值；,時(shí),有最小值；（2）最值的求法：若已知,的最值可求二次函數(shù)的最值；可用二次函數(shù)最值的求法（）；或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng),即：若已知,則最值時(shí)的值（）可如下確定或。 例：1等差數(shù)列中,則前 項(xiàng)的和最大。 2設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知 求出公差的范圍, 指出中哪一個(gè)值最大,并說明理由。3（上海）設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,且S5S6,

9、S6S7S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6與S7均為Sn的最大值4已知數(shù)列的通項(xiàng)（）,則數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是 5.已知是等差數(shù)列,其中,公差。（1）數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0？（2）求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值,并求出對(duì)應(yīng)的值(十).利用求通項(xiàng)1.數(shù)列的前項(xiàng)和（1）試寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）數(shù)列是等差數(shù)列嗎？（3）你能寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？ 2.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.（安徽文）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,則的值為（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）644、北京卷）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,n=1,2

10、,3,求a2,a3,a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式 三、等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示,即：(一)、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式1 在等比數(shù)列中,則 2 在等比數(shù)列中,則 3.（07重慶文）在等比數(shù)列an中,a28,a164,則公比q為（ ）（A）2（B）3（C）4（D）84.在等比數(shù)列中,則= 5.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中,首項(xiàng),前三項(xiàng)和為21,則（ ）A 33 B 72 C 84 D 189(二)、等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則稱為的等比中項(xiàng),且為是成等比數(shù)列的必要

11、而不充分條件.例：1.和的等比中項(xiàng)為( ) 2.（重慶卷文）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則的前項(xiàng)和=（ ） A B CD(三)、等比數(shù)列的基本性質(zhì),1.（1）（2）（3）為等比數(shù)列,則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.（4）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列.例：1在等比數(shù)列中,和是方程的兩個(gè)根,則( ) 2. 在等比數(shù)列,已知,則= 3.等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù),且（ ） A12 B10 C8 D2+ 4.（廣東卷）已知等比數(shù)列滿足,且,則當(dāng)時(shí), （ ） A. B. C. D. (四)、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,例：1.已知等比數(shù)列的首相,公比,則其前n項(xiàng)和 2（北京卷）設(shè),則等

12、于（ ）AB C D3（全國(guó)文,21）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3S62S9,求數(shù)列的公比q； (五). 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)若數(shù)列是等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)的和,那么,成等比數(shù)列.例：1.（遼寧卷）設(shè)等比數(shù)列 的前n 項(xiàng)和為,若 =3 ,則 = A. 2 B. C. D.32.一個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為48,前2項(xiàng)的和為60,則前3項(xiàng)的和為（ ）A83 B108 C75 D633.已知數(shù)列是等比數(shù)列,且 (六)、等比數(shù)列的判定法（1）定義法：為等比數(shù)列；（2）中項(xiàng)法：為等比數(shù)列； （3）通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列； （4）前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。 為等比數(shù)列。例：1.已知數(shù)列的通項(xiàng)為,則數(shù)列

13、為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷2.已知數(shù)列滿足,則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷3.已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷四、求數(shù)列通項(xiàng)公式方法（1）公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例：1已知等差數(shù)列滿足：, 求；2.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式3.已知數(shù)列滿足 （）,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4. 已知數(shù)列滿足且（）,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；5.數(shù)列已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項(xiàng)公式= （2）累

14、加法1、累加法 適用于： 若,則 兩邊分別相加得 例：1.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. 已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3. 已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（3）累乘法適用于： 若,則兩邊分別相乘得,例：1. 已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. 已知數(shù)列滿足,求。3.已知, ,求。（4） 待定系數(shù)法 適用于例：1. 已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. （重慶,文,14）在數(shù)列中,若,則該數(shù)列的通項(xiàng)_3.已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（5）遞推公式中既有 分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系,然后采用相應(yīng)的方法求解。1. （北京卷）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,n=1,2,3,求a2,a3,a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式 2.（山東卷）已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為,且,證明數(shù)列是等比數(shù)列(6)取倒數(shù)法。五、數(shù)列求和1直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。 公比含字母時(shí)一定要討