高中數(shù)學2_3_1離散型隨機變量的數(shù)學期望學案新人教B版選修2-3

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.2.3.1離散型隨機變量的數(shù)學期望1 .理解離散型隨機變量的數(shù)學期望的意義和性質，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出 數(shù)學期望.(重點)2 .掌握二點分布、二項分布的數(shù)學期望.(重點)3 .會利用離散型隨機變量的數(shù)學期望解決一些相關問題.(難點)基礎初探教材整理1離散型隨機變量的數(shù)學期望 閱讀教材p59p60,完成下列問題.1 .定義般地，設一個離散型隨機變量x所有可能取的值是 x1, x2,，xn,這些值對應的概率是p1, p2,，pn,則e(x) = x1p1+ x2p2+ xnpn叫做這個離散型隨機變量 x的均值或數(shù)學期望(簡稱

2、期望).2 .意義刻畫了離散型隨機變量的平均取值水平1.下列說法正確的有 (填序號).隨機變量x的數(shù)學期望e(x)是個變量，其隨 x的變化而變化；隨機變量的均值反映樣本的平均水平；若隨機變量 x的數(shù)學期望e(x)=2,則e(2x)=4;x1 + x2 + xn隨機變量x的均值e(x)=n.【解析】錯誤，隨機變量的數(shù)學期望e(x)是個常量，是隨機變量 x本身固有的一個數(shù)字特征.錯誤，隨機變量的均值反映隨機變量取值的平均水平.正確，由均值的性質 可知.錯誤，因為 e(x) =xp + x2p2+ xnpn.【答案】2 .已知離散型隨機變量 x的分布列為：x1p23則x的數(shù)學期望e(x)=.一一33

3、13【解析】e(x) = 1c + 2x +3x 77=；.51010 2【答案】23 .設 e(x) = 10,則 e(3x+ 5) =【導學號：】【解析】e(3x+ 5) =3e(x) +5 = 3x 10+ 5= 35.【答案】35教材整理2常見幾種分布的數(shù)學期望閱讀教材p60例1以上部分，完成下列問題.名稱二點分布二項分布超幾何分布公式e(x)=pe(x) =npnme(x)=r11.若隨機變量x服從二項分布b4,5，則e(x)的值為.31 4【解析】e( x)= np=4x-=-3 3-4【答案】-32.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，不命中得0分.已知他命中的概率為則罰球一次

4、得分x的期望是.【解析】因為rx= 1) = 0.8, p(x= 0)=0.2,所以日 x) =1x0.8 +0x0.2 = 0.8.【答案】0.8質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑： 疑問2:解惑： 疑問3:解惑： 小組合作型二點分布與二項分布的數(shù)學期望卜例口某運動員投籃命中率為 p= 0.6.(1)求投籃1次時命中次數(shù) x的數(shù)學期望；(2)求重復5次投籃時，命中次數(shù) y的數(shù)學期望.【精彩點撥】(1)利用二點分布求解.(2)利用二項分布的數(shù)學期望公式求解.【自主解答】(1)投籃1次，命中次數(shù) x的分布列如下表：x01p0.40.6則 e(x) =0.

5、6.(2)由題意，重復5次投籃，命中的次數(shù) y服從二項分布，即 yb(5,0.6),則e(y)= np= 5x0.6 = 3.1 .常見的兩種分布的均值設p為一次試驗中成功的概率，則(1)二點分布 e(x) = p；(2)二項分布 e(x) = np.熟練應用上述公式可大大減少運算量，提高解題速度2 .二點分布與二項分布辨析(1)相同點：一次試驗中要么發(fā)生要么不發(fā)生.(2)不同點：隨機變量的取值不同，二點分布隨機變量的取值為0,1 ,二項分布中隨機變量的取值x= 0,1,2 ,，n.試驗次數(shù)不同，二點分布一般只有一次試驗；二項分布則進行n次試驗.再練一題1.(1)某種種子每粒發(fā)芽的概率為0.9

6、,現(xiàn)播種了 1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，每個坑至多補種一次，補種的種子數(shù)記為x,則x的數(shù)學期望為()a.100b.200c.300d.400(2)已知某離散型隨機變量x服從的分布列如下，則隨機變量x的數(shù)學期望e(x)等于()x01pm2m12a. 9b. 91 2c-d.33【解析】(1)由題意可知，補種的種子數(shù)記為 x, x服從二項分布，即xb(1 000,0.1), 所以不發(fā)芽種子的數(shù)學期望為 1 000 x 0.1 = 100.所以補種的種子數(shù)的數(shù)學期望為 2x 100= 200.(2)由題意可知 mh2m 1,所以 m；,所以 e(x) =0x1+1 x |=

7、2. 333 3【答案】 (1)b(2)d求離散型隨機變量的數(shù)學期望卜例 在甲、乙等6個單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動中，每個單位的節(jié)目集中安排在一起，若采用抽簽的方式隨機確定各單位的演出順序(序號為1,2,，6),求:(1)甲、乙兩單位的演出序號至少有一個為奇數(shù)的概率；(2)甲、乙兩單位之間的演出單位個數(shù)己的分布列與均值.【精彩點撥】(1)可先求“甲乙兩單位的演出序號至少有一個為奇數(shù)”的對立事件的概率；(2)先求出己的取值及每個取值的概率，然后求其分布列和均值【自主解答】只考慮甲、乙兩單位的相對位置，故可用組合計算基本事件數(shù).(1)設a表示“甲、乙的演出序號至少有一個為奇數(shù)”，則 表示“

8、甲、乙的演出序號c31 4均為偶數(shù)”，由等可能性事件的概率計算公式得ra) = 1 r a) = 1d=15=5.5 1o)=cr3，r(2)七的所有可能取值為0,1,2,3,4 ,且= 1)= c6=存，re=2)=c6=5, p=3)=d=而，p-=4)=ct記從而知己的分布列為01234p121443行+ 2x5 + 3x 行+ ”行=一,1所以 e( e ) =0x-+1x3求離散型隨機變量士的數(shù)學期望的步驟1 .根據(jù)己的實際意義，寫出 己的全部取值.2 .求出e的每個值的概率.3 .寫出己的分布列.4 .利用定義求出數(shù)學期望.其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關鍵， 在求解過程

9、中應注重分析概率的相關知識再練一題2.盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池.現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)x的分布列及數(shù)學期望.【解】 x可取的值為1,2,3 ,則 p(x= 1) =3, rx= 2)52 33=-x-=,5 4 10p(x= 3) =2x1x1 =5 41 行.抽取次數(shù)x的分布列為x123p日x)=1x3+2x +3x 上=3e(x)51010 2探究共研型離散型隨機變量的均值實際應用探究1某籃球明星罰球命中率為0.7,罰球命中得1分，不中得。分，則他罰球一次的得分x可以取哪些值？ x取每個值時的概率是多少？【提示】隨機變量x可能

10、取值為0,1. x取每個值的概率分別為 rx= 0)=0.3, rx=1) = 07探究2 在探究1中，若該球星在一場比賽中共罰球10次，命中8次，那么他平均每次罰球得分是多少？【提示】每次平均得分為180=0.8.探究3在探究1中，你能求出在他參加的各場比賽中，罰球一次得分大約是多少嗎？ 為什么？【提示】在球星的各場比賽中，罰王一次的得分大約為0x0.3+ 1x0.7= 0.7(分).因為在該球星參加各場比賽中平均罰球一次的得分只能用隨機變量x的數(shù)學期望來描述他總體得分的平均水平.具體到每一場比賽罰球一次的平均得分應該是非常接近x的均值的一個分數(shù).卜例 隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品 200件，經(jīng)質

11、檢，其中一等品 126件，二等品50件， 三等品20件，次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為 6萬元、2萬元、 1萬元，而1件次品虧損2萬元，設1件產(chǎn)品的利潤(單位：元)為x(1)求x的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即x的數(shù)學期望)；(3)經(jīng)技術革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1% 一等品率提高為 70%如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？【精彩點撥】|根據(jù)利潤的意義寫出己的欣一 |寫出上的分布而一-求出數(shù)學 期望e x利用期望回答問題【自主解答】(1)x的所有可能取值有 6,2,1 , - 2.126rx= 6) = 200

12、= 0.63，rx= 2)=10=0.25, rx= 1)=10= 0.1， 200200rx= - 2) =-4-=0.02.200故x的分布列為:x621-2p0.630.250.10.02(2) e(x =6x0.63+2x0.25 + 1x0.1 + ( 2) x0.02 = 4.34.(3)設技術革新后的三等品率為x,則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為日x) =6x0.7+2x(1 0.7 0.01 -x) + 1xx+(-2)x 0.01= 4.76 -x(0 x4.73,即 4.76 xa4.73,解得x9) = 0.3 + 0.35 =0.65.(2)因為 e(x甲)=7x0.2+8x

13、0.15+9x0.3 + 10x0.35 =8.8 ,e(x乙)=7x0.2 +8x0.25+9x0.2 +10x0.35= 8.7 , 則有e(x甲)e(x乙)，所以估計甲的水平更高.構建體系文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持1. 一名射手每次射擊中靶的概率為0.8 ,則獨立射擊3次中靶的次數(shù) x的數(shù)學期望是()b.0.8c.2.4d.3【解析】e(x)=3x0.8= 2.4.【答案】c2. 口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形狀相同的小球,從中任取2個，則取出的a.0.1b.0.2球的最大編號x的均值為()b. 一1a. -38c.2d?3【解析】 x的取值

14、為2,3.11c2 2因為 rx= 2)=c2=3, p= (x= 3) = c2= 3.12 8所以 e(x) = 2x -+ 3x -=-33 3【答案】d3 .某射手射擊所得環(huán)數(shù) 己的分布列如下:七78910px0.10.3y已知 工 的均值e(己)=8.9 ,則y的值為.【解析】依題意得x+0.1 +0.3 +y=1,7x+0.8 +2.7 +10y=8.9 ,即x + y=0.6,7x+10y=5.4, 解得 y=0.4.【答案】0.44 .設離散型隨機變量 x可能的取值為1,2,3, p(x= k) = ak+b(k= 1,2,3).又x的均值e(x) =3,則 a+b=.【導學號

15、：】【解析】rx= 1) =a+ b,rx= 2) =2a+b,rx= 3) =3a+b,. e(x) = 1x( a+ b) +2x(2 a+b) + 3x(3 a+b) = 3, -14a+ 6b=3.又 ( a+ b) + (2 a+ b) + (3 a+ b) = 1,由可知 a= , b= ,a+ b=.2361【答案】 一765.袋中有4個黑球，3個白球，2個紅球，從中任取 2個球，每取到1個黑球記。分, 每取到1個白球記1分，每取到1個紅球記2分，用x表示取得的分數(shù).求：(1) x的分布列；(2) x的均值.【解】(1)由題意知，x可能取值為0,1,2,3,4.c41r x= 0

16、) = c2=6，c3c41rx=1)= ct=35p(x= 2)=c1c2+c2c9=1136,p(x= 3)=c2c31ct=6,c21rx= 4)=s=36. (2)我的課下提升方案： (2)學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1.設隨機變量 xb(40 , p),且e(x) =16,則p等于()文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.c.0.3d.0.4【解析】.日x） = 16, .40p=16, . p=0.4.故選 d.【答案】d2 .隨機拋擲一枚骰子，則所得骰子點數(shù)e的期望為（）a.0.6b.1c.3.5d.2123456p拋擲骰子所得點數(shù)

17、己的分布列為iiiiii=1x6+2100(人). 俱樂部不能向每一位客戶都發(fā)送領獎邀請10.(2015 重慶高考)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗.設一盤中裝有10個粽子，其中 豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同 .從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到 1個的概率;(2)設x表示取到的豆沙粽個數(shù)，求x的分布列與數(shù)學期望.【解】(1)令a表示事件“三種粽子各取到 1個”，則由古典概型的概率計算公式有 ddd 1ra)=r=4.(2) x的所有可能值為 0,1,2 ,且d 7dd 7rx= 0)=歹i? rx=展=丘c2c81rx= 2) = c3r=i5.故 e(x)=0

18、x綜上知，x的分布列為x012p13人 =5(個).能力提升y表示乙車床生產(chǎn) 1 0001.甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標準件，x表示甲車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù),件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)一段時間考察，x, y的分布列分別是:x0123p0.70.10.10.1x0123p0.50.30.20據(jù)此判定()a.甲比乙質量好b.乙比甲質量好d.無法判定c.甲與乙質量相同【解析】e(x) =0x0.7 + 1x0.1 +2x0.1 +3x0.1 = 0.6 ,e( y) =0x0.5 + 1x0.3 +2x0.2 +3x0= 0.7.由于 e(y)e(x),故甲比乙質量好.【答案】 a2 .某船隊

19、若出海后天氣好，可獲得 5 000元；若出海后天氣壞，將損失 2 000元；若不 出海也要損失1 000元.根據(jù)預測知天氣好的概率為0.6 ,則出海的期望效益是()a.2 000 元b.2 200 元c.2 400 元d.2 600 元【解析】出海的期望效益 e(己)=5 000 x 0.6 + (1 0.6) x ( 2 000) =3 000 800=2 200(元).【答案】 b3 .某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷.假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為 |,得到乙、丙兩公司面試的概率均為p,且三個公司是否讓其31面試是相互獨立的.記x為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)，若p(x= 0)=不，則隨機變量 x的數(shù)學