計(jì)算機(jī)圖形學(xué)_第三章-5(形體表示)

1、清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)3.2形體在計(jì)算機(jī)內(nèi)的表示清華大學(xué) 3.2.1 引言 計(jì)算機(jī)中表示形體，通常用線框、表面和實(shí)體三種模型。 對(duì)于任一形體，如果它是3維歐氏空間中非空、有界的封閉子集，且其邊界是二維流形（即該形體是連通的），我們稱該形體為正則形體，否則稱為非正則形體。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 些非正則形體的實(shí)例(a)有懸面(b)有懸邊（c）一條邊有兩個(gè)以上 的鄰面（不連通）圖3.2.1 非正則形體實(shí)例清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算

2、機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 集合運(yùn)算（并、交、差）是構(gòu)造形體的基本方法。正則形體經(jīng)過(guò)集合運(yùn)算后，可能會(huì)產(chǎn)生懸邊、懸面等低于三維的形體。 Requicha在引入正則形體概念的同時(shí)，還定義了正則集合運(yùn)算正則集合運(yùn)算的概念。正則集合運(yùn)算保證集合運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)正則形體，即丟棄懸邊、懸面等。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)ABabab圖3.2.2 二個(gè)二維圖形的交產(chǎn) 生一個(gè)退化的結(jié)果懸邊ABABC=AB集合論的求交計(jì)算正則集合下的求交運(yùn)算*C=A*B圖3.2.3 集合和正則的交運(yùn)算清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基

3、礎(chǔ) 為了能夠處理非正則形體，產(chǎn)生了非正則造型技術(shù)。 九十年代以來(lái)，基于約束的參數(shù)化、變量化造型和支持線框、曲面、實(shí)體統(tǒng)一表示的非正則形體造型技術(shù)已成為幾何造型技術(shù)的主流。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)3.2.2 形體表示模型在實(shí)體模型的表示中，基本上可以分為分分解表示、構(gòu)造表示和邊界表示解表示、構(gòu)造表示和邊界表示三大類。1、分解表示將形體按某種規(guī)則分解為小的更易于描述的部分，每一小部分又可分為更小的部分，這種分解過(guò)程直至每一小部分都能夠直接描述為止。(a)將形體空間細(xì)分為小的立方體單元。這種表示方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)形體的交、并、差計(jì)算

4、，但是占用的存儲(chǔ)量太大，物體的邊界面沒(méi)有顯式的解析表達(dá)式，不便于運(yùn)算。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)(b)八叉樹(shù)法表示形體.首先對(duì)形體定義一個(gè)外接立方體，再把它分解成八個(gè)子立方體，并對(duì)立方體依次編號(hào)為0，1，2，7。如果子立方體單元已經(jīng)一致，即為滿（該立方體充滿形體）或?yàn)榭眨](méi)有形體在其中），則該子立方體可停止分解；否則，需要對(duì)該立方體作進(jìn)一步分解，再一分為八個(gè)子立方體。在八叉樹(shù)中，非葉結(jié)點(diǎn)的每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有八個(gè)分支。優(yōu)點(diǎn)主要是：（1）形體表示的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

5、（2）簡(jiǎn)化了形體的集合運(yùn)算。只需同時(shí)遍歷參加集合運(yùn)算的兩形體相應(yīng)的八叉樹(shù)，無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的求交運(yùn)算。 （3）簡(jiǎn)化了隱藏線（或面）的消除，因?yàn)樵诎瞬鏄?shù)表示中，形體上各元素已按空間位置排成了一定的順序。 （4）分析算法適合于并行處理。八叉樹(shù)表示的缺點(diǎn)：占用的存儲(chǔ)多，只能近似表示形體，以及不易獲取形體的邊界信息等。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)012356712337（a）（b）（c）具有子孫的節(jié)點(diǎn)空節(jié)點(diǎn)實(shí)節(jié)點(diǎn)圖3.2.4 用八叉樹(shù)表示形體清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 2構(gòu)造表示。通常有掃描表

6、示、構(gòu)造實(shí)體幾何表示和特征表示三種。(a)掃描表示?；谝粋€(gè)基體（一般是一個(gè)封閉的平面輪廓）沿某一路徑運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生形體。 掃描是生成三維形體的有效方法 用掃描變換產(chǎn)生的形體可能出現(xiàn)維數(shù)不一致的問(wèn)題。 掃描方法不能直接獲取形體的邊界信息，表示形體的覆蓋域非常有限。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)掃描方向基面回轉(zhuǎn)軸基面基面基面（a）（b）（c）（d）圖3.2.5 生成掃描形體的例子清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)（a）（b）（c）（d）圖3.2.6 生成掃描體時(shí)維數(shù)不 一致的情況清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)

7、與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)(b)構(gòu)造實(shí)體幾何表示(CSG).通過(guò)對(duì)體素定義運(yùn)算而得到新的形體的一種表示方法。體素可以是立方體、圓柱、圓錐等，也可以是半空間，其運(yùn)算為變換或正則集合運(yùn)算并、交、差。CSG表示可以看成是一棵有序的二叉樹(shù)。 其終端節(jié)點(diǎn)或是體素、或是形體變換參數(shù)。 非終端結(jié)點(diǎn)或是正則的集合運(yùn)算，或是變換（平移和/或旋轉(zhuǎn)）操作，這種運(yùn)算或變換只對(duì)其緊接著的子結(jié)點(diǎn)（子形體）起作用。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)差（-）差（-）212平移xxx=體素圖3.2.7 CSG表示清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系

8、清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) CSG樹(shù)是無(wú)二義性的，但不是唯一的.CSG表示的優(yōu)點(diǎn)： 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，數(shù)據(jù)量比較小，內(nèi)部數(shù)據(jù)的管理比較容易； CSG表示可方便地轉(zhuǎn)換成邊界（Brep）表示； CSG方法表示的形體的形狀，比較容易修改。CSG表示的缺點(diǎn)： 對(duì)形體的表示受體素的種類和對(duì)體素操作的種類的限制，也就是說(shuō)，CSG方法表示形體的覆蓋域有較大的局限性。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 對(duì)形體的局部操作不易實(shí)現(xiàn)，例如，不能對(duì)基本體素的交線倒圓角； 由于形體的邊界幾何元素（點(diǎn)、邊、面）是隱含地表示在CSG中，故顯示

9、與繪制CSG表示的形體需要較長(zhǎng)的時(shí)間。 (c)特征表示從應(yīng)用層來(lái)定義形體，因而可以較好的表達(dá)設(shè)計(jì)者的意圖。從功能上可分為形狀、精度、材料和技術(shù)特征。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)特征是面向應(yīng)用、面向用戶的。特征模型的表示仍然要通過(guò)傳統(tǒng)的幾何造型系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。不同的應(yīng)用領(lǐng)域，具有不同的應(yīng)用特征。在幾何造型系統(tǒng)中，根據(jù)特征的參數(shù)我們并不能直接得到特征的幾何元素信息，而在對(duì)特征及在特征之間進(jìn)行操作時(shí)需要這些信息。特征方法表示形體的覆蓋域受限于特征的種類。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)特征造型器幾

10、何造型器特征模型幾何模型用戶應(yīng)用系統(tǒng)圖3.2.8 基于特征的造型系統(tǒng)WLHHRHR（a）方塊（b）圓柱（c）圓錐圖3.2.9 特征形狀表示清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 構(gòu)造表示的特點(diǎn)：構(gòu)造表示通常具有不便于直接獲取形體幾何元素的信息、覆蓋域有限等缺點(diǎn)，但是，便于用戶輸入形體，在CAD/CAM系統(tǒng)中，通常作為輔助表示方法。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 3邊界表示（BR表示或BRep表示）按照體面環(huán)邊點(diǎn)的層次，詳細(xì)記錄了構(gòu)成形體的所有幾何元素的幾何信息及其相互連接的拓?fù)潢P(guān)系。邊界表示的一

11、個(gè)重要特點(diǎn)是在該表示法中，描述形體的信息包括幾何信息（Geometry）和拓?fù)湫畔ⅲ═opology）兩個(gè)方面。 拓?fù)湫畔⒚枋鲂误w上的頂點(diǎn)、邊、面的連接關(guān)系，拓?fù)湫畔⑿纬晌矬w邊界表示的“骨架”。 形體的幾何信息猶如附著在“骨架”上的肌肉。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)U圖3.2.10 邊界表示清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) Brep表示的優(yōu)點(diǎn)是：表示形體的點(diǎn)、邊、面等幾何元素是顯式表示的，使得繪制Brep表示的形體的速度較快，而且比較容易確定幾何元素間的連接關(guān)系；容易支持對(duì)物體的各種局部

12、操作，比如進(jìn)行倒角。便于在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上附加各種非幾何信息，如精度、表面粗糙度等。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) Brep表示的缺點(diǎn)是：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需要大量的存儲(chǔ)空間，維護(hù)內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的程序比較復(fù)雜；Brep表示不一定對(duì)應(yīng)一個(gè)有效形體，通常運(yùn)用歐拉操作來(lái)保證Brep表示形體的有效性、正則性等。 Brep表示覆蓋域大，原則上能表示所有的形體，而且易于支持形體的特征表示等，Brep表示已成為當(dāng)前CAD/CAM系統(tǒng)的主要表示方法。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)3.2.3 形體的邊界表示模型 3.

13、2.3.1 邊界表示的基本實(shí)體邊界表示的基本實(shí)體 邊界模型表達(dá)形體的基本拓?fù)鋵?shí)體包括：1. 頂點(diǎn)2. 邊。邊有方向，它由起始頂點(diǎn)和終止頂點(diǎn)來(lái)界定。邊的形狀（Curve）由邊的幾何信息來(lái)表示，可以是直線或曲線，曲線邊可用一系列控制點(diǎn)或型值點(diǎn)來(lái)描述，也可用顯式、隱式或參數(shù)方程來(lái)描述。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)3. 環(huán)。環(huán)（Loop）是有序、有向邊（Edge）組成的封閉邊界。環(huán)有方向、內(nèi)外之分，外環(huán)邊通常按逆時(shí)針?lè)较蚺判?，?nèi)環(huán)邊通常按順時(shí)針?lè)较蚺判颉?.面。面（Face）由一個(gè)外環(huán)和若干個(gè)內(nèi)環(huán)（可以沒(méi)有內(nèi)環(huán)）來(lái)表示，內(nèi)環(huán)完全在外環(huán)之內(nèi)。 若一

14、個(gè)面的外法矢向外，稱為正向面；反之，稱為反向面。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 面的形狀可以是平面或曲面。平面可用平面方程來(lái)描述，曲面可用控制多邊形或型值點(diǎn)來(lái)描述，也可用曲面方程（隱式、顯式或參數(shù)形式）來(lái)描述。對(duì)于參數(shù)曲面，通常在其二維參數(shù)域上定義環(huán)，這樣就可由一些二維的有向邊來(lái)表示環(huán)，集合運(yùn)算中對(duì)面的分割也可在二維參數(shù)域上進(jìn)行。5.體。體（Body）是面的并集。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)3.2.3.2 邊界表示的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 翼邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：在1972年，由美國(guó)斯坦福大學(xué)Baumgart

15、作為多面體的表示模式提出。 它用指針記錄了每一邊的兩個(gè)鄰面（即左外環(huán)和右外環(huán)）、兩個(gè)頂點(diǎn)、兩側(cè)各自相鄰的兩個(gè)鄰邊（即左上邊、左下邊、右上邊和右下邊），用這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示多面體模型是完備的，但它不能表示帶有精確曲面邊界的實(shí)體。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)左下邊右下邊 右上邊左上邊邊左外環(huán)右外環(huán)圖3.2.11 翼邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 輻射邊：為了表示非正則形體，1986年，Weiler提出了輻射邊（Radial Edge）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。 輻射邊結(jié)構(gòu)的形體模型由幾何信息和拓?fù)?/p>

16、信息兩部分組成。 幾何信息有面（face）、環(huán)（loop）、邊（edge）和點(diǎn)（vertex） 拓?fù)湫畔⒂心Ｐ停╩odel）、區(qū)域（region）、外殼（shell）、面引用（face use）、環(huán)引用（loop use）、邊引用（edge use）和點(diǎn)引用（vertex use）。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 點(diǎn)是三維空間的一個(gè)位置 邊可以是直線邊或曲線邊，邊的端點(diǎn)可以重合。 環(huán)是由首尾相接的一些邊組成，而且最后一條邊的終點(diǎn)與第一條邊的起點(diǎn)重合；環(huán)也可以是一個(gè)孤立點(diǎn)。外殼是一些點(diǎn)、邊、環(huán)、面的集合； 外殼是一些點(diǎn)、邊、環(huán)、面的集合。 區(qū)

17、域由一組外殼組成。 模型由區(qū)域組成。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)modelregionface useloop useedge usevertex usefaceloopedgevertex圖3.2.12 輻射邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)shellgeometrytopology剖切平面中心線中心線實(shí)體圖3.2.13 一個(gè)用輻射邊結(jié)構(gòu)表示的非正則形體模型清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)清華大學(xué)國(guó)家CAD工程中心開(kāi)發(fā)的幾何造型系統(tǒng)GEMS5.0中，采用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如圖體組特征表示單體(零件)面組面線框環(huán)環(huán)邊邊

18、頂點(diǎn)曲 面曲 線點(diǎn)實(shí)體幾何數(shù)據(jù)實(shí)體拓?fù)鋽?shù)據(jù)參數(shù)域曲線清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)基于線框、表面、實(shí)體和特征統(tǒng)一表示，且具有以下特點(diǎn)：（1）采用自頂向下的設(shè)計(jì)思想。在形體的表示上，遵循了從大到小，分解表示的原則；（2）支持非流形形體的表示；（3）實(shí)體拓?fù)鋽?shù)據(jù)與幾何數(shù)據(jù)雙鏈表連接，存放緊湊；（4）能夠支持特征造型。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)3.2.3.3 歐拉操作 對(duì)于任意的簡(jiǎn)單多面體，其面(f)、邊(e)、頂點(diǎn)(v)的數(shù)目滿足 歐拉公式 v - e + f = 2 對(duì)于任

19、意的正則形體，引入形體的其它幾個(gè)參數(shù)：形體所有面上的內(nèi)孔總數(shù)(r)、穿透形體的孔洞數(shù)(h)和形體非連通部分總數(shù)(s)，則形體滿足公式： v - e + f = 2(s-h) + r 清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 修改過(guò)程中保證各幾何元素的數(shù)目保持這個(gè)關(guān)系式不變，這一套操作就是歐拉操作。 最為常用的幾種歐拉操作有：(1)mvsf(v,f)，生成含有一個(gè)點(diǎn)的面，并且構(gòu)成一個(gè)新的體。(2)kvsf，刪除一個(gè)體，該體僅含有一個(gè)點(diǎn)的面。(3)mev(v1,v2,e)，生成一個(gè)新的點(diǎn)v2，連接該點(diǎn)到已有的點(diǎn)v1，構(gòu)成一條新的邊。(4)kev(e,v)

20、，刪除一條邊e和該邊的一個(gè)端點(diǎn)v。(5)mef(v1,v2,f1,f2,e)，連接面f1上的兩個(gè)點(diǎn)v1、v2，生成一條新的邊e，并產(chǎn)生一個(gè)新的面。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)(6)kef(e)，刪除一條邊e和該邊的一個(gè)鄰面f。(7)kemr(e)，刪除一條邊e，生成該邊某一鄰面上的一新的內(nèi)環(huán)。(8)mekr(v1,v2,e)，連接兩個(gè)點(diǎn)v1、v2，生成一條新的邊e，并刪除掉v1和v2所在面上的一個(gè)內(nèi)環(huán)。(9)kfmrh(f1,f2)，刪除與面f1相接觸的一個(gè)面f2，生成面f1上的一個(gè)內(nèi)環(huán)，并形成體上的一個(gè)通孔。(10)mfkrh(f1,f

21、2)，刪除面f1上的一個(gè)內(nèi)環(huán)，生成一個(gè)新的面f2，由此也刪除了體上的一個(gè)通孔。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)為了方便對(duì)形體的修改，還定義了兩個(gè)輔助的操作：公共端點(diǎn)。(11)semv(e1,v,e2)，將邊e1分割成兩段，生成一個(gè)新的點(diǎn)v和一條新的邊e2。(12)jekv(e1,e2)，合并兩條相鄰的邊e1、e2，刪除它們的公共端點(diǎn)。 以上十種歐拉操作和兩個(gè)輔助操作，每?jī)蓚€(gè)一組，構(gòu)成了六組互為可逆的操作。 可以證明：歐拉操作是有效的，即用歐拉操作對(duì)形體操作的結(jié)果在物理上是可實(shí)現(xiàn)的；歐拉操作是完備的，即任何形體都可用有限步驟的歐拉操作構(gòu)造出來(lái)。

22、清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)3.2.3.4 集合運(yùn)算 正則集與正則集合運(yùn)算算子 規(guī)定正則形體是三維歐氏空間中的正則集合，因此可以將正則幾何形體描述如下： 設(shè)G是三維歐氏空間中的一個(gè)有界區(qū)域，且GbGiG，其中bG是G的n1維邊界，iG是G的內(nèi)部。G的補(bǔ)空間cG稱為G的外部，此時(shí)正則形體G需滿足：（1）bG將iG和cG分為兩個(gè)互不連通的子空間；（2）bG中的任意一點(diǎn)可以使iG和bG連通；（3）bG中任一點(diǎn)存在切平面，其法矢指向cG子空間（4）bG是二維流形。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) 設(shè)是集合運(yùn)算算子（交、并或差），R3中任意兩個(gè)正則形體A、B作集合運(yùn)算：R=AB 運(yùn)算結(jié)果R仍是R3中的正則形體，則稱為正則集合算子。 正則并、正則交、正則差分別記為*，*、-*。 分類