matlab實現(xiàn)數(shù)值分析報告插值及積分(共19頁)

1、 Matlab實現(xiàn)數(shù)值分析插值及積分摘要： (numerical analysis)是研究分析用求解計算問題的及其理論的學(xué)科，是的一個分支，它以求解數(shù)學(xué)問題的理論和方法為研究對象。在實際生產(chǎn)實踐中，常常將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型來解決，這個過程就是數(shù)學(xué)建模。學(xué)習(xí)數(shù)值分析這門課程可以讓我們學(xué)到很多的數(shù)學(xué)建模方法。分別運用matlab數(shù)學(xué)軟件編程來解決插值問題和數(shù)值積分問題。題目中的要求是計算差值和積分，對于問題一，可以分別利用朗格朗日插值公式，牛頓插值公式，埃特金逐次線性插值公式來進行編程求解，具體matlab代碼見正文。編程求解出來的結(jié)果為：=+。其中Aitken插值計算的結(jié)果圖如下： 對于問題

2、二，可以分別利用復(fù)化梯形公式，復(fù)化的辛卜生公式，復(fù)化的柯特斯公式編寫程序來進行求解，具體matlab代碼見正文。編程求解出來的結(jié)果為： 0.6932其中復(fù)化梯形公式計算的結(jié)果圖如下： 問題重述問題一：已知列表函數(shù)表格 101234121782257分別用拉格朗日，牛頓，埃特金插值方法計算。問題二：用復(fù)化的梯形公式，復(fù)化的辛卜生公式，復(fù)化的柯特斯公式計算積分，使精度小于5。問題解決問題一：插值方法對于問題一，用三種差值方法：拉格朗日，牛頓，埃特金差值方法來解決。一、拉格朗日插值法：拉格朗日插值多項式如下：首先構(gòu)造個插值節(jié)點上的插值基函數(shù)，對任一點所對應(yīng)的插值基函數(shù)，由于在所有取零值，因此有因子。

3、又因是一個次數(shù)不超過的多項式，所以只可能相差一個常數(shù)因子，固可表示成：利用得：于是因此滿足 的插值多項式可表示為：從而次拉格朗日插值多項式為：matlab編程：編程思想：主要從上述朗格朗日公式入手：依靠循環(huán)，運用poly（）函數(shù)和conv（）函數(shù)表示拉格朗日公式，其中的poly（i）函數(shù)表示以i作為根的多項式的系數(shù)，例如poly（1）表示x-1的系數(shù)，輸出為1 -1，而poly（poly（1）表示（x-1）*（x-1）=x2-2*x+1的系數(shù)，輸出為1 -2 1；而conv（）表示多項式系數(shù)乘積的結(jié)果，例如conv（poly（1），poly（1）輸出為1 -2 1；所以程序最后結(jié)果為xn+xn

4、-1+x2+x+1（n的值據(jù)結(jié)果的長度為準）的對應(yīng)系數(shù)。在命令窗口輸入edit lagran來建立lagran.m文件，文件中的程序如下：function c,l=lagran(x,y)w=length(x);n=w-1;l=zeros(w,w);for k=1:n+1 v=1; for j=1:n+1 if k=j v=conv(v,poly(x(j)/(x(k)-x(j); end end l(k,:)=v;endc=y*l;輸入： x=0 1 2 3 4; y=1 2 17 82 257; lagran(x,y)運行結(jié)果為ans =1.0000 -0.0000 -0.0000 0 1.0

5、000結(jié)果為：=+。如圖表1：圖表 1二牛頓插值法newton插值多項式的表達式如下：其中每一項的系數(shù)ci的表達式如下：即為f (x)在點處的i階差商，（，），由差商的性質(zhì)可知：matlab編程：編程思想：主要從上述牛頓插值公式入手：依靠循環(huán)，運用poly（）函數(shù)和conv（）函數(shù)表示拉格朗日公式，其中的poly（i）函數(shù)表示以i作為根的多項式的系數(shù)，例如poly（1）表示x-1的系數(shù)，輸出為1 -1，而poly（poly（1）表示（x-1）*（x-1）=x2-2*x+1的系數(shù)，輸出為1 -2 1；而conv（）表示多項式系數(shù)乘積的結(jié)果，例如conv（poly（1），poly（1）輸出為1 -

6、2 1；所以程序最后結(jié)果為xn+xn-1+x2+x+1（n的值據(jù)結(jié)果的長度為準）的對應(yīng)系數(shù)。在命令窗口輸入edit nowpoly來建立newpoly.m文件，文件中的程序如下：function c,d=newpoly(x,y)n=length(x);d=zeros(n,n);d(:,1)=y;for j=2:n for k=j:n d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1)/(x(k)-x(k-j+1); endendc=d(n,n);for k=(n-1):-1:1 c=conv(c,poly(x(k); m=length(c); c(m)=c(m)+d(k,k);end輸入：

7、 x=0 1 2 3 4; y=1 2 17 82 257; newpoly(x,y)運行結(jié)果為ans =1 0 0 0 1所以=+。如圖表2：圖表 2三埃特金插值法：Aitken插值公式如下： 遞推表達式為： = + 當n=1時， = + 當n=2時， = + 其中的帶入遞推表達式求得。由此遞推下去，最終得到的結(jié)果。matlab編程：編程思想：埃特金插值多項式又稱作Aitken逐次線性插值多項式， 根據(jù)公式的特點，可以利用2次嵌套循環(huán)將公式表示出來。在命令窗口輸入edit Aitken 來建立Aitken.m文件，文件中的程序如下：function f = Aitken(x,y) syms

8、z; n = length(x); y1(1:n) = z; for i=1:n-1 for j=i+1:n y1(j) = y(j)*(z-x(i)/(x(j)-x(i)+y(i)*(z-x(j)/(x(i)-x(j); end y = y1; simplify(y1);end simplify(y1(n); f = collect(y1(n); 輸入： x=0 1 2 3 4; y=1 2 17 82 257; Aitken(x,y)運行結(jié)果為ans = z4 + 1所以=+。如圖表3：圖表 3問題二：復(fù)化積分對于問題二來說，用復(fù)化的梯形公式，復(fù)化的辛卜生公式，復(fù)化的柯特斯公式結(jié)局問題（計

9、算積分，使精度小于5）。一 復(fù)化的梯形公式：復(fù)化梯形的迭代公式為：;matlab編程：程序1（求f（x）的n階導(dǎo)數(shù)：）在命令窗口輸入edit qiudao 來建立qiudao.m文件，文件中的程序如下：function d=qiudao(x,n)syms x;f=1/x; n=input(輸入導(dǎo)數(shù)階數(shù)： ); d=diff(f,x,n);輸入:qiudao（x,n）輸入所求導(dǎo)數(shù)階數(shù):2顯示：n = 2ans = 2/x3結(jié)果為：f2 =2/x3如圖表4：圖表 4程序2：在命令窗口輸入edit tixing 來建立tixing.m文件，文件中的程序如下：function y=tixing()sy

10、ms x ； %定義自變量xf=inline(1/x,x)； %定義函數(shù)f(x)= 1/x f2=inline(2/x3,x) ； %定義f(x)的二階導(dǎo)數(shù),輸入程序1里求出的f2即可。f3=-2/x3； %因fminbnd（）函數(shù)求的是表達式的最小值，且要求表達式帶引號，故取負號，以便求最大值e=5*10(-5)； %精度要求值 a=1； %積分下限b=2； %積分上限x1=fminbnd(f3,1,2)； %求負的二階導(dǎo)數(shù)的最小值點，也就是求二階導(dǎo)數(shù)的最大值點對應(yīng)的x值for n=2:1000000； %求等分數(shù)n Rn=-(b-a)/12*(b-a)/n)2*f2(x1)； %計算余項

11、if abs(Rn)e %用余項進行判斷 break % 符合要求時結(jié)束 endendh=(b-a)/n； %求hTn1=0； for k=1:n-1 %求連加和 xk=a+k*h； Tn1=Tn1+f(xk)；endTn=h/2*(f(a)+2*Tn1+f(b)；fprintf(用復(fù)化梯形算法計算的結(jié)果 Tn=)disp(Tn)fprintf(等分數(shù) n=)disp(n) %輸出等分數(shù)輸入：tixing()運行結(jié)果為:用復(fù)化梯形計算的結(jié)果 Tn= 0.6932等分數(shù) n= 58結(jié)果如圖表:5圖表 5二 復(fù)化的辛卜生公式：復(fù)化simpson迭代公式為：;matlab編程：程序1（求f（x）的n

12、階導(dǎo)數(shù)：）在命令窗口輸入edit qiudao 來建立qiudao.m文件，文件中的程序如下：function d=qiudao(x,n)syms x;f=1/x; n=input(輸入導(dǎo)數(shù)階數(shù)： ); d=diff(f,x,n);輸入:qiudao（x,n）輸入所求導(dǎo)數(shù)階數(shù):4顯示：n = 4ans =24/x5結(jié)果為：f2 = 24/x5如圖表6：圖表 6程序2：在命令窗口輸入edit xinpusheng 來建立xinpusheng.m文件，文件中的程序如下：function y=xinpusheng()syms x ; f=inline(1/x,x); f2=inline(24/x5,

13、x); f3=-24/x5; e=5*10(-5); a=1; b=2; x1=fminbnd(f3,1,2); for n=2:1000000 Rn=-(b-a)/180*(b-a)/(2*n)4*f2(x1); if abs(Rn) clear xinpusheng()運行結(jié)果為用Simpson公式計算的結(jié)果 Sn= 0.6932等分數(shù) n= 4結(jié)果如圖表7圖表 7三 復(fù)化的柯特斯公式：牛頓-柯特斯公式如下：matlab編程：(1)在命令窗口輸入edit NewtonCotes 來建立NewtonCotes.m文件，文件中的程序如下：function y,Ck,Ak=NewtonCotes

14、(fun,a,b,n) if nargin=1 mm,nn=size(fun); if mm=8 error(為了保證NewtonCotes積分的穩(wěn)定性，最多只能有9個等距節(jié)點！) elseif nn=2 error(fun構(gòu)成應(yīng)為：第一列為x，第二列為y，并且個數(shù)為小于10的等距節(jié)點！) end xk=fun(1,:); fk=fun(2,:); a=min(xk); b=max(xk); n=mm-1; elseif nargin=4 xk=linspace(a,b,n+1); if isa(fun,function_handle) fx=fun(xk); else error(fun積分

15、函數(shù)的句柄，且必須能夠接受矢量輸入！) end else error(輸入?yún)?shù)錯誤，請參考函數(shù)幫助！) end Ck=cotescoeff(n); Ak=(b-a)*Ck; y=Ak*fx; （2）在命令窗口輸入edit cotescoeff來建立cotescoeff.m文件，文件中的程序如下：function Ck=cotescoeff(n) for i=1:n+1 k=i-1; Ck(i)=(-1)(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(t)intfun(t,n,k),0,n); end （3）在命令窗口輸入edit intfun來建立intfun.m文件，文件中的程序如下：function f=intfun(t,n,k) f=1; for i=0:k-1,k+1:n f=f.*(t-i); end% fun，積分表達式，這里有兩種選擇 %(1)積分函數(shù)句柄，必須能夠接受矢量輸入，比如fun=(x)1./x % (2)x,y坐標的離散點， 第一列為x， 第二列為y， 必須等距， 且節(jié)點的個數(shù)小于9， 比如： fun