中考數(shù)學(xué)規(guī)律探索型

1、中考數(shù)學(xué)規(guī)律探索型（幾何類）問題解決淺見湖北竹溪城關(guān)中學(xué) 明道銀中考數(shù)學(xué)規(guī)律探索型問題的解決體現(xiàn)了新課程下數(shù)學(xué)中考命題的新嘗試，是近幾年來中考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要敏銳的觀察力、嚴(yán)密的邏輯推理能力和一定的計(jì)算能力。為培養(yǎng)這方面的能力，本人以幾何圖形的問題為例，從哪些方面來觀察思考，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用規(guī)律從特殊到一般和從一般到特殊的辦法來解決幾何類規(guī)律探索型問題。一、 規(guī)律明顯 數(shù)數(shù)看看定有發(fā)現(xiàn)例1、如圖，每一幅圖中有若干個(gè)大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)，第2幅圖中有3個(gè)，第3幅圖中有5個(gè)，則第n幅圖中共有 個(gè)。第1幅第2幅第3幅第n幅解析：方法 ：一數(shù)。在數(shù)字中發(fā)現(xiàn)。在開始的幾幅圖中把所

2、要的問題分別數(shù)字記載，如1、3、5、7 、 ，發(fā)現(xiàn)奇數(shù)規(guī)律排列，猜想最終結(jié)果為2n-1 ；二看。發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律和結(jié)果數(shù)字規(guī)律。直接由圖序排列發(fā)現(xiàn)大小菱形逐次各自多1，得出所要的結(jié)果是：1、1+2、1+2+2、1+2+2+2、 ，再發(fā)現(xiàn)是1加上若干個(gè)2 組成，2的多少與序列號少1，于是得1+2（n-1）即2n-1 。例2、觀察下列圖形及圖形所對應(yīng)的算式，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算1+8+16+24+8n（n是正整數(shù)）的結(jié)果為 （ ）。1+8=?1+8+16=?1+8+16+24=?解析：是圖形規(guī)律與數(shù)字規(guī)律結(jié)合的問題，與上述比較多了個(gè)數(shù)字條件規(guī)律，探究數(shù)字規(guī)律結(jié)果。方法：在開始的幾幅圖中發(fā)現(xiàn)圖形及圖形所

3、對應(yīng)的算式之間的關(guān)系，即：圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是圖形所對應(yīng)的算式的數(shù)值結(jié)果；然后可直接由圖形的規(guī)律發(fā)現(xiàn)結(jié)果或在數(shù)字形式（原式或變形式或運(yùn)算結(jié)果）發(fā)現(xiàn)結(jié)果。如在圖形的規(guī)律發(fā)現(xiàn)結(jié)果為3、5、7、的平方；在原式數(shù)字形式發(fā)現(xiàn)結(jié)果為1加上若干個(gè)含8的倍數(shù)的項(xiàng)的和，于是變形為1+8（1+2+3+ + n ）;在運(yùn)算結(jié)果數(shù)字規(guī)律9、25、47、81 中發(fā)現(xiàn)為3、5、7、 、的平方。歸納方法：這類給定的圖形或數(shù)字規(guī)律及尋找的數(shù)字規(guī)律容易發(fā)現(xiàn)，通過一看二數(shù)三變的方法即可解決問題。練習(xí)1、用正三角形、正四邊形和正六四邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，即從第二個(gè)圖案開始，每個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)都比上一個(gè)圖案中正三角形的

4、個(gè)數(shù)多4個(gè)則第n個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)為 。 第一個(gè)圖案第二個(gè)圖案第三個(gè)圖案練習(xí)2、如圖9，在銳角內(nèi)部，畫1條射線，可得3個(gè)銳角；畫2條不同射線，可得6個(gè)銳角；畫3條不同射線，可得10個(gè)銳角；照此規(guī)律，畫n條不同射線，可得銳角 個(gè)練習(xí)3、在圖（1）中，a1、b1、c1分別是abc的邊bc、ca、ab的中點(diǎn)，在圖（2）中，a2、b2、c2分別是a1b1c1的邊b1c1、c1 a1、 a1b1的中點(diǎn)，按此規(guī)律，則第n個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)共有 個(gè)。練習(xí)4、在abc中，d為bc邊的中點(diǎn)，e為ac邊上的任意一點(diǎn)，be交ad于點(diǎn)o某學(xué)生在研究這一問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如下的事實(shí)：(1)當(dāng)時(shí)，有 (如圖1)；(

5、2)當(dāng)時(shí)，有 (如圖2)；圖1 圖2 圖3 圖4(3)當(dāng)時(shí)，有 (如圖3)；在圖4中，當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用n表示的一般結(jié)論，并給出證明(其中n是正整數(shù))。說明：證明時(shí)按照幾何的探究思路和方法。adbadcfebada1a2a3b1b2b3練習(xí)5、如圖，abc的面積為1，分別取ac、bc兩邊的中點(diǎn)a1、b1，則四邊形a1abb1的面積為，再分別取a1c、b1c的中點(diǎn)a2、b2，a2c、b2c的中點(diǎn)a3、b3，依次取下去利用這一圖形，能直觀地計(jì)算出_ 二、 規(guī)律隱含 算算數(shù)量待發(fā)現(xiàn)bacda1a2例3、如圖，在abc中，aabc與acd的平分線交于點(diǎn)a1，得a1；a1bc與a1cd的

6、平分線相交于點(diǎn)a2，得a2； ；a2009bc與a2009cd的平分線相交于點(diǎn)a2010，得a2010，則a2010 解析：（一）a1 = a1cd - a1bd ，a1bc = abca1cd = acd = （a +abc ） a1 = a又a2 = a2cd - a2bd ，a2cd =acd = （a +abc ） ，a2bc = abca2 = a同理，得a3 = a ；a4 = a ；a5 = anan = a2010a2010 = a歸納方法：利用三角形的內(nèi)角和或外角和的性質(zhì)及角平分線性質(zhì)，采取從特殊到一般解決問題的數(shù)學(xué)思想，逐次探究出a1 ；a2 ；a3 ； ；an 的結(jié)果，發(fā)

7、現(xiàn)一定的數(shù)量規(guī)律，猜測結(jié)論。解析：（二）nan = ancd - anbd ，anbd = abcnnancd = acd = （a +abc ） nan = a2010a2010 = a歸納方法：利用三角形的內(nèi)角和或外角和的性質(zhì)及角平分線性質(zhì)，采取從一般到特殊解決問題的數(shù)學(xué)思想，先探究出一般情況下的的結(jié)果：nanbd = abcnnancd = acd = （a +abc ） 再利用外角和的性質(zhì)探究出一般情況下的的結(jié)果：an = ancd - anbd最后進(jìn)行代入計(jì)算，即得規(guī)律性的結(jié)果。練習(xí)1如圖，n+1個(gè)上底、兩腰長皆為1，下底長為2的等腰梯形的下底均在同一直線上，設(shè)四邊形p1m1n1n2

8、面積為s1，四邊形p2m2n2n3的面積為s2，四邊形pnmnnnnn+1的面積記為sn，通過逐一計(jì)算s1，s2，可得sn = .an1n2n3n4n5p4p1p2p3m1m2m3m4abca1a2a3a4a5c1c2c3c4c5練習(xí)2、如圖，已知rtabc中，ac=3，bc= 4，過直角頂點(diǎn)c作ca1ab，垂足為a1，再過a1作a1c1bc，垂足為c1，過c1作c1a2ab，垂足為a2，再過a2作a2c2bc，垂足為c2，這樣一直做下去，得到了一組線段ca1，a1c1，c1a2，a2c2，ancn，則ancn 。 練習(xí)ns3、如圖，如果以正方形abcd的對角線ac為邊作第二個(gè)正方形 acef

9、，再以對角線ae為邊作第三個(gè)正方形aegh，如此下去，已知正方形abcd的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為，（n為正整數(shù)），那么第8個(gè)正方形的面積 . oab135791113151s2s3s4練習(xí)4、如圖，過上到點(diǎn)的距離為1，3，5，7，的點(diǎn)作的垂線，分別與相交，得到圖所示的陰影梯形，它們的面積依次記為則 abcdbedac（第19題圖）三、 坐標(biāo)規(guī)律 數(shù)形貫穿 龐雜難發(fā)現(xiàn)例4、如圖，p1是反比例函數(shù)在第一象限圖像上的一點(diǎn)，點(diǎn)a1 的坐標(biāo)為(2，0)，若p1o a1 、p2 a1 a2 、pn an-1 an均為等邊三角形，則an點(diǎn)的坐標(biāo)是 解答思路：1、在等邊三角形p1o a1

10、中，易得點(diǎn)p1（1 ，3） 從而求的其反比例函數(shù) 2、在等邊三角形pn an-1 an中，記an的坐標(biāo)為（an ,0）過點(diǎn)pn做pnhx軸于點(diǎn)h，則pnh =3an-1 an = 3（an - an-1 ）oh = oan-1 + an-1 an = an-1+ （an - an-1 ）= （an + an-1 ）3、寫出點(diǎn)pn的坐標(biāo)為（an + an-1 ） ，3（an - an-1 ） 22代入其反比例函數(shù)得 an - an-1 = 44、作賦值計(jì)算2222a0 = 0 ；a1 = 222a1 = 4 ；a2 = 8 ；a3 = 12 ；a4 = 16 ；a5 = 20 ；a6 = 24；

11、a1 = 2= 21 ；a2 = 22 ；a3 = 23 ；a4 = 2 4；a5 = 25 ；a6 = 26； ；an = 2n an點(diǎn)的坐標(biāo)是(2n , 0 ) 歸納方法：這個(gè)問題如果采取從特殊到一般辦法來解決，至少要求得a2、a3、a4、這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，方可發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，這樣雖然思維量小些，但運(yùn)算量大；于是采取從一般到特殊的辦法來解決，雖然思維量大一些，但運(yùn)算量小，能準(zhǔn)確得出最終規(guī)律。但是要根據(jù)問題的情形而定。練習(xí)1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得，第個(gè)點(diǎn)的坐

12、標(biāo)為 。 練習(xí)2、如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形abcd是正方形，a（1，-1）、b（-1，-1）、c（-1，1）、d（1， 1）.曲線aaaa叫做“正方形的漸開線”，其中aa、aa、aa的圓心依次是點(diǎn)b、c、d、a循環(huán)，則點(diǎn)a的坐標(biāo)是 。 練習(xí)3、如圖15，p1oa1，p2a1a2，p3a2a3pnan1an都是等腰直角三角形，點(diǎn)p1、p2、p3pn都在函數(shù)(x 0)的圖象上，斜邊oa1、a1a2、a2a3an1an都在x軸上。則點(diǎn)an的坐標(biāo)是 。練習(xí)4、如圖7所示，p1（x1，y1）、p2（x2，y2），pn（xn，yn）在函數(shù)y=（x0）的圖象上，op1a1，p2a1a2，p3a2a3pn

13、an1an都是等腰直角三角形，斜邊oa1，a1a2an-1an，都在x軸上，則y1+y2+yn= 。練習(xí)5、如圖11，若第一個(gè)正方形oabc的頂點(diǎn)b，第二個(gè)正方形adef 的頂點(diǎn)e，.第n個(gè)正方形的頂點(diǎn)p都在函數(shù)（）的圖象上，則點(diǎn)p的坐標(biāo)是（ ， ）. 練習(xí)6、如圖15，點(diǎn)a、a、a、a、a為x軸的正半軸上的點(diǎn)，o a= aa= aa=aa=1，分別以a、a、a、a、a為直角頂點(diǎn)作rtoab、rtaab、rtaab、rta ab，它們的面積分別記為s、s、s、s，且s=1；雙曲線恰好經(jīng)過點(diǎn)b、b、b、b。（1）求雙曲線和直線ab對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）填空：s=_，s=_；（3）若直線bo交雙

14、曲線于另一點(diǎn)p，有三位同學(xué)在研究直線ab、直線ab、直線ab這系列直線時(shí)，有如下發(fā)現(xiàn)：小明說：“我發(fā)現(xiàn)直線ab經(jīng)過p點(diǎn)”小亮說：“我發(fā)現(xiàn)直線ab和直線ab都經(jīng)過p點(diǎn)”小王說：“我發(fā)現(xiàn)直線ab和直線ab、直線ab都經(jīng)過p點(diǎn)”請問：上述三位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，誰的發(fā)現(xiàn)更準(zhǔn)確？并給予說明。oyx(a)a1c112ba2a3b3b2b1練習(xí)7、正方形a1b1c1o，a2b2c2c1，a3b3c3c2，按如圖所示的方式放置點(diǎn)a1，a2，a3，和點(diǎn)c1，c2，c3，分別在直線(k0)和x軸上，已知點(diǎn)b1(1，1)，b2(3，2)， 則bn的坐標(biāo)是 yxoc1b2a2c3b1a3b3a1c2練習(xí)8、如圖所示，已知：點(diǎn)， 在內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在邊上，作出的等邊三角形分別是第1個(gè)，第2個(gè)，第3個(gè)，則第個(gè)等邊三角形的邊長