向量共線與平面向量的基本定理教師版

1、3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量課標(biāo)解讀1.掌握數(shù)乘向量的運(yùn)算及幾何意義(重點(diǎn))2理解兩個(gè)向量共線的含義，掌握向量共線的判定定理和性質(zhì)定理(難點(diǎn))3了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.數(shù)乘向量及其運(yùn)算律1數(shù)乘向量(1)定義：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a.(2)長(zhǎng)度：|a|a|.(3)方向：a的方向(4)幾何意義：將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮當(dāng)|1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(0)或反方向(0)上伸長(zhǎng)為原來(lái)的|倍；當(dāng)|1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(0)或反方向(0)上縮短為原來(lái)的|倍2運(yùn)算律向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律：設(shè)，為實(shí)數(shù)，則(1)()a a a；(2)(a) a；(3)(a

2、b) a b.共線向量定理1判定定理：a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b a，則向量b與非零向量a共線2性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b a.向量的線性運(yùn)算計(jì)算：(1)3(6ab)9(ab)；(2)(3a2b)(ab)2(ab)；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.【自主解答】(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式(2ab)ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.1向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”、“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”、“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)2對(duì)于線性運(yùn)算，把握運(yùn)算順序?yàn)椋?/p>

3、運(yùn)算律去括號(hào)數(shù)乘向量向量加減(1)化簡(jiǎn)(4a3b)b(6a7b)；(2)設(shè)向量a3i2j，b2ij，求(ab)(ab)(2ba)【解】(1)原式4a3bbab(4)a(3)b(ab)ab.(2)原式abab2ba(11)a(12)bab(3i2j)(2ij)(5)i()ji5j.共線向量定理及應(yīng)用已知兩個(gè)非零向量a、b不共線，ab，a2b，a3b.(1)證明：A、B、C三點(diǎn)共線(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab與akb共線【思路探究】(1)找出與的等量關(guān)系(2)令kab(akb)利用a與b不共線，求、k【自主解答】(1)證明由于ab，a2b，a3b，則a2babb，而a3bab2b，于是2，即與共線

4、， 又與有公共點(diǎn)A，A、B、C三點(diǎn)共線(2)解由于a、b為非零向量且不共線，akb0.若kab與akb共線，則必存在唯一實(shí)數(shù)使kab(akb)，整理得：(k)a(k1)b，因?yàn)榉橇阆蛄縜、b不共線，因此，或，即存在實(shí)數(shù)1，使kab與akb共線，此時(shí)k1.或存在實(shí)數(shù)1，使kab與akb共線，此時(shí)k1，因此，k1都滿足題意1本題中證明點(diǎn)共線的關(guān)鍵是由點(diǎn)構(gòu)成的向量要有公共點(diǎn)，并且共線2證明兩個(gè)向量a與b共線時(shí)，只需證明ab(b0)若已知a與b(b0)共線，則可利用兩向量共線的性質(zhì)，得到1a2b.利用向量共線定理可以解決點(diǎn)共線、線共點(diǎn)及兩直線平行等問(wèn)題，如要證A，B，C三點(diǎn)共線，只需證或k(，kR)等

5、；要證ABCD，只需證(R)也可解決相關(guān)求參問(wèn)題已知e10，R，ae1e2，b2e1.若a與b共線，則()A0Be20Ce1e2D0或e1e2【解析】e1e2時(shí)，顯然a與b共線；若e1，e2不共線，設(shè)akb，則有(12k)e1e20，于是，即【答案】D向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用圖231 如圖所示，已知ABCD的邊BC，CD上的中點(diǎn)分別為K，L，且e1，e2，試用e1，e2表示，.【思路探究】解答本題可先將，視為未知量，再利用已知條件找等量關(guān)系，列方程(組)，通過(guò)解方程(組)求出，.【自主解答】法一設(shè)x，則x，e1x，e1x，又x，由得xe1xe2，解方程得xe2e1，即e2e1，由，e1x，得e1

6、e2.法二設(shè)x，y，則x，y.由，得用2乘以與相減得x2xe12e2，解得x(2e2e1)，即(2e2e1)，同理得y(2e1e2)，即e1e2.1由已知向量表示未知向量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律，還應(yīng)重視平面幾何定理的應(yīng)用2當(dāng)用已知向量表示未知向量比較困難時(shí)，應(yīng)考慮方程思想，利用方程的觀點(diǎn)進(jìn)行求解(2013大連高一檢測(cè))如圖所示，D，E分別是ABC中邊AB，AC的中點(diǎn)，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，已知a，b，試用a、b分別表示、.【解】由三角形中位線定理，知DE綊BC，故，即a.abaab.abaab.數(shù)形結(jié)合思想在向量線性運(yùn)算中的應(yīng)用 (12分)如圖

7、所示，在ABC中，DEBC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N，設(shè)a，b，用a，b表示向量，.圖233【思路點(diǎn)撥】利用DEBC等條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化【規(guī)范解答】DEBC，1分b，ba.4分由ADEABC，得(ba).6分又AM是ABC底邊BC的中線，DEBC，(ba).8分aa(ba)(ab).10分ADNABM，(ab).12分建立已知向量與未知向量之間的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意結(jié)合幾何圖形，利用平面幾何中的一些結(jié)論，轉(zhuǎn)化為相等向量、相反向量、共線向量及比例關(guān)系課堂小結(jié)1學(xué)習(xí)了數(shù)乘向量的概念以及數(shù)乘的運(yùn)算律，明確了a的大小、方向以及幾何意義2學(xué)習(xí)了向量共線的判定定理和性質(zhì)定理3掌握了向量加、減、數(shù)乘的線性

8、運(yùn)算，從而進(jìn)行化簡(jiǎn)求值4能夠應(yīng)用向量共線的判定定理證明三點(diǎn)共線或兩直線平行1設(shè)a是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，則以下結(jié)論正確的有()(1)a與a的方向相反；(2)|a|a|；(3)a與2a方向相同；(4)|2a|2|a|.A1個(gè)B2個(gè) C3個(gè)D4個(gè)【解析】由向量數(shù)乘的幾何意義知(3)(4)正確【答案】B2下列各式計(jì)算正確的是()Aab(ab)2a B2(ab)c2abcC3(ab)3(ab)0 Dab(b3c)a3c【解析】A，不正確，結(jié)果應(yīng)為0；B不正確，C不正確；D正確，故選D.3(2013鄭州高一檢測(cè))在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.

9、若a，b，則()A.ab B.ab C.ab D.ab【解析】如圖所示：作 OGEF交DC于G，由于DEEO，得DFFG.又由AOOC得FGGC，于是(ba)，那么(ab)(ba)ab. 【答案】B4如果向量i2j，imj，其中向量i、j不共線，試確定實(shí)數(shù)m的值，使A、B、C三點(diǎn)共線【解】A、B、C三點(diǎn)共線，即、共線，存在實(shí)數(shù)使得，即i2j(imj)i2jimj.于是解得m2，即m2時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線.一、選擇題1已知|a|5，b與a的方向相反，且|b|7，若ab，則的值為()A.B C.D【解析】由于，且a，b反向，所以ab，故選B.【答案】B2如圖，已知AM是ABC的邊BC上的中線，若

10、a，b，則等于()A.(ab) B(ab) C.(ab) D(ab)【解析】M是BC的中點(diǎn)，(ab)【答案】C3在四邊形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，且a、b不共線，則四邊形ABCD的形狀是()A梯形B平行四邊形 C菱形D矩形【解析】a2b4ab5a3b8a2b2(4ab)2，又與不平行，所以四邊形ABCD為梯形，故選A.【答案】A4已知向量a、b，且a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點(diǎn)是()AA、B、DBA、B、CCB、C、DDA、C、D【解析】2a4b2(a2b)2，與共線，A、B、D三點(diǎn)共線【答案】A5在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若2，則等于()A. B. CD【解

11、析】如圖所示：(). 所以. 【答案】A二、填空題6設(shè)a、b是兩個(gè)非零向量，若8akb與kab共線，則實(shí)數(shù)k_.【解析】由題意知8akb(kab)，即k2. 【答案】27在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點(diǎn)，則_.(用a、b表示)【解析】由3，得433(ab)又ab，所以(ab)(ab)ab. 【答案】ab8 如圖，ABC中，若a，b，ab，則_.【解析】()babba. 0. 【答案】0三、解答題圖2369如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)角線BD上，且BNBD.求證：M、N、C三點(diǎn)共線【證明】設(shè)a，b，則()ab(ab)ab.，向量與共線又由于與有公共點(diǎn)M，故M

12、、N、C三點(diǎn)共線10設(shè)e1，e2是不共線的向量，已知向量2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值【解】證明存在實(shí)數(shù)，使得. 又e14e2，所以要使，則2e1ke2(e14e2)，所以所以k8.11在ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，若t，則t等于多少？【解】A、M、Q三點(diǎn)共線，(1)，又，所以1，t.在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)若，其中，R，求的值【解】設(shè)a，b，則ab，ba，ab，(ba)(ba)()b()aab.又a、b不共線，所以，解得，.證明向量、的終點(diǎn)A、B、C共線，則存在實(shí)數(shù)，且1，使得.【證

13、明】若向量、的終點(diǎn)A、B、C共線，則有：t，在AOB、AOC中分別利用向量的三角形法則，有：，代入得：t()，即：(1t)t，不妨令1t，t，則有：且1.32平面向量基本定理課標(biāo)解讀1.了解平面向量基本定理及其意義(重點(diǎn))2能應(yīng)用平面向量基本定理解決一些實(shí)際問(wèn)題(難點(diǎn))平面向量基本定理如果e1和e2(如圖237)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使ae12e2(如圖237)，其中不共線的向量e1和e2叫作表示這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底平面向量基本定理的理解如果e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，、是實(shí)數(shù)，判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由

14、(1)若，滿足e1e20，則0；(2)對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)向量a，使得ae1e2成立的實(shí)數(shù)，有無(wú)數(shù)對(duì)；(3)線性組合e1e2可以表示平面內(nèi)的所有向量；(4)當(dāng)，取不同的值時(shí)，向量e1e2可能表示同一向量【思路探究】根據(jù)平面向量基本定理和基底的概念加以判斷【自主解答】(1)正確若0，則e1e2，從而向量e1，e2共線，這與e1，e2不共線相矛盾，同理可說(shuō)明0.(2)不正確由平面向量基本定理可知，唯一確定(3)正確平面內(nèi)的任一向量a可表示成e1e2的形式，反之也成立(4)不正確結(jié)合向量加法的平行四邊形法則易知，當(dāng)e1和e2確定后，其和向量e1e2便唯一確定1對(duì)于平面內(nèi)任何向量都可以用兩個(gè)不共線的向量

15、來(lái)表示；反之，平面內(nèi)的任一向量也可以分解為兩個(gè)不共線的向量的和的形式2向量的基底是指平面內(nèi)不共線的向量，事實(shí)上若e1，e2是基底，則必有e10，e20，且e1與e2不共線，如0與e1、e1與2e1、e1e2與2(e1e2)等均不能構(gòu)成基底設(shè)e1、e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：e1與e1e2；e12e2與e22e1；e12e2與4e22e1；e1e2與e1e2.其中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號(hào)是_(寫(xiě)出所有滿足條件的序號(hào))【解析】中，設(shè)e1e2e1，則無(wú)解，e1e2與e1不共線，即e1與e1e2可作為一組基底；中，設(shè)e12e2(e22e1)，則(12)e1(2)e20，則

16、無(wú)解，e12e2與e22e1不共線，即e12e2與e22e1可作為一組基底；中，e12e2(4e22e1)，e12e2與4e22e1共線，即e12e2與4e22e1不可作為一組基底；設(shè)e1e2(e1e2)，則(1)e1(1)e20，無(wú)解e1e2與e1e2不共線，即e1e2與e1e2可作為一組基底【答案】用基底表示向量在平行四邊形ABCD中，設(shè)a，b，試用基底a，b表示，.【思路探究】可以利用向量加法的三角形法則將，用，表示即可；也可以用，表示，建立方程組求解，.【自主解答】法一：如圖，設(shè)AC，BD相交于點(diǎn)O，則有a，b，ab，ab.法二：設(shè)x，y，則有，即，解之可得xab，yab，即ab，ab

17、.1若題目中已給出了基底，求解此類問(wèn)題時(shí)，常利用向量加法的三角形法則或平行四邊行法則，結(jié)合數(shù)乘運(yùn)算找到所求向量與基底的關(guān)系2若題目中沒(méi)有給出基底，常結(jié)合已知條件先尋找一組從同一點(diǎn)出發(fā)的兩不共線向量作為基底，而后用上述方法求解本例條件不變，設(shè)M為DC中點(diǎn)，則用a，b表示結(jié)果如何？【解】由本例解答可知，ab，ab，ab(ab)ab.轉(zhuǎn)化思想在平面向量中的應(yīng)用如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，AF與BD交于E，求證：E為線段BD的三等分點(diǎn)【思路點(diǎn)撥】要證E為線段BD的三等分點(diǎn)，只需證BB，可設(shè)BB.選取A，A作為基底，通過(guò)ABA建立相應(yīng)的方程組，并進(jìn)行運(yùn)算，求出即可【規(guī)范解答】設(shè)Aa，A

18、b，則BAAba，AADAAba.3分因?yàn)锳、E、F與B、D、E分別共線，所以存在實(shí)數(shù)、R，使AA，BB.于是Aab，Bba.6分由ABA得，(1)abab.因?yàn)閍，b不共線，由平面向量基本定理，1且.9分解得.BB，即E為線段BD(靠近D)的一個(gè)三等分點(diǎn).12分用向量解決平面幾何問(wèn)題的一般步驟如下：(1)選取不共線的兩個(gè)平面向量作為基底；(2)將相關(guān)的向量用基向量表示，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(3)利用向量知識(shí)進(jìn)行向量運(yùn)算，得向量問(wèn)題的解；(4)再將向量問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的解課堂小結(jié)1學(xué)習(xí)了平面向量基本定理，明確了其含義及特征2學(xué)習(xí)了基底的概念，明確了基底的兩個(gè)特性：即不共線、不唯

19、一3初步掌握了平面向量基本定理的應(yīng)用，并且待定系數(shù)法解題的方法得到鞏固1已知平行四邊形ABCD，下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是()A.，B.，C.， D.，【解析】結(jié)合圖形及基底的概念知D正確，故選D. 【答案】D2下列關(guān)于基底的說(shuō)法正確的序號(hào)是()平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底；基底中的向量可以是零向量；平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是惟一確定的ABCD【解析】由基底的定義可知正確【答案】B3(2013四川高考)在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則_.【解析】由向量加法的平行四邊形法則，得.又O是AC的中點(diǎn)，AC2AO，2

20、，2.又，2. 【答案】24 如圖所示，已知梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E、F分別是DC、AB的中點(diǎn)，設(shè)a，b，試用a、b為基底表示、.【解】連接FD，DCAB，AB2CD，E、F分別是DC、AB的中點(diǎn)，DC/FB. 四邊形DCBF為平行四邊形依題意，b， ab， (ab)bba.一、選擇題1設(shè)點(diǎn)O是ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組：與；與；與；與.可作為該平面其他向量基底的是()AB CD【解析】如圖所示，與不共線，與不共線，所以它們可作為該平面其他向量的基底，故選B.【答案】B2如果e1、e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么()A若實(shí)數(shù)m、n使得me1ne20，則mn0B空間

21、任一向量a可以表示為a1e12e2，其中1、2為實(shí)數(shù)C對(duì)于實(shí)數(shù)m、n，me1ne2不一定在此平面上D對(duì)于平面內(nèi)的某一向量a，存在兩對(duì)以上的實(shí)數(shù)，m、n，使ame1ne2【解析】只有A正確【答案】A3設(shè)一直線上三點(diǎn)A，B，P滿足m(m1)，O是直線所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則用，表示為()A.m B.m(1m)C. D.【解析】由m得m()，mm，.【答案】C4如圖所示，在矩形ABCD中，若5e1，3e2，則()A.(5e13e2) B.(5e13e2) C.(3e25e1) D.(5e23e1)【解析】()()(5e13e2)【答案】A5O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足()

22、，0，)，則P的軌跡一定通過(guò)ABC的()A外心 B內(nèi)心 C重心D垂心【解析】原式可化為(e1e2)，其中e1，e2分別是，方向上的單位向量(e1e2)，(0)，因此，AP平分BAC，P必落在A的平分線上，即P的軌跡一定通過(guò)ABC的內(nèi)心，故選B. 【答案】B二、填空題6設(shè)G是ABC的重心(即三條中線的交點(diǎn))，a，b.試用a，b表示_.【解析】延長(zhǎng)AG交BC于D，()()()ab.7已知e1、e2不共線，ae12e2，b2e1e2，要使a、b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)【解析】若能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線ae12e2，b2e1e2，由akb即得4. 【答案】48如圖2311所示，在ABCD中，a，b，AN3NC，M為BC的中點(diǎn)，則_(用a，b表示)【解析】由于AN3NC，CNCA，()ba.【答案