光波場的時(shí)域頻率譜精編版

1、1. 復(fù)色波復(fù)色波實(shí)際上，嚴(yán)格的實(shí)際上，嚴(yán)格的單色光波是不存在單色光波是不存在的，所能得到的的，所能得到的各種光波均為復(fù)色波。各種光波均為復(fù)色波。00cos()EEtkz前面，我們討論了頻率為前面，我們討論了頻率為 的單色平面光波的單色平面光波所謂復(fù)色波，是指某光波由所謂復(fù)色波，是指某光波由若干單色光波若干單色光波組合而成，組合而成，或者說它包含有多種頻率成分，它在時(shí)間上是有限或者說它包含有多種頻率成分，它在時(shí)間上是有限的。的。1. 復(fù)色波復(fù)色波復(fù)色波的電場可表示為各個(gè)單色光波電場的疊加，即復(fù)色波的電場可表示為各個(gè)單色光波電場的疊加，即01cos()(49)NlllEEtk z在一般情況下，若

2、只考慮光波場在時(shí)間域內(nèi)的變化，在一般情況下，若只考慮光波場在時(shí)間域內(nèi)的變化，可以表示為時(shí)間的函數(shù)可以表示為時(shí)間的函數(shù) E(t)。根據(jù)博里葉變換，它可以展成如下形式：根據(jù)博里葉變換，它可以展成如下形式：1i2( ) ( )( )d(50)vtE tFE vE v evexp(-i2vt) 為傅氏空間為傅氏空間（或頻率域）（或頻率域）中頻率為中頻率為v 的一的一個(gè)基元成分，取實(shí)部后得個(gè)基元成分，取實(shí)部后得cos(2vt )。因此，可將。因此，可將 exp(-i2vt) 視為頻率為視為頻率為 v 的的單位振幅簡諧振蕩單位振幅簡諧振蕩。2. 頻率譜頻率譜E(v) 隨隨 v 的變化稱為的變化稱為 E(t

3、) 的頻譜分布，的頻譜分布，或簡稱頻譜?；蚝喎Q頻譜。上式可理解為上式可理解為:一個(gè)隨時(shí)間變化的光波場振一個(gè)隨時(shí)間變化的光波場振 動(dòng)動(dòng) E(t)，可以視為許多單頻成分簡諧振蕩的疊加，各成分相應(yīng)可以視為許多單頻成分簡諧振蕩的疊加，各成分相應(yīng)的振幅為的振幅為 E(v)，并且并且 E(v) 按下式計(jì)算：按下式計(jì)算：2. 頻率譜頻率譜i2( ) ( )( )d (51)vtE vF E tE t et1i2( ) ( )( )d(50)vtE tFE vE v evi2( ) ( )( )d (51)vtE vF E tE t et一般情況下，由上式計(jì)算出來的一般情況下，由上式計(jì)算出來的 E(v) 為復(fù)

4、數(shù)，它為復(fù)數(shù)，它就是就是 v 頻率分量的復(fù)振幅，可表示為頻率分量的復(fù)振幅，可表示為i ( )( )( ) (52)vE vE v eE(v) 模，模，(v)為輻角。因而，為輻角。因而， E (v) 2 就表征了就表征了 v 頻率分量的功率，稱頻率分量的功率，稱E (v) 2為光波場的為光波場的功率譜功率譜。2. 頻率譜頻率譜一個(gè)時(shí)域光波場一個(gè)時(shí)域光波場 E(t) 可以在頻率域內(nèi)通過它的頻譜可以在頻率域內(nèi)通過它的頻譜描述。下面，對(duì)于幾種經(jīng)常運(yùn)用的光波場描述。下面，對(duì)于幾種經(jīng)常運(yùn)用的光波場E(t)，給出給出其頻譜分布。其頻譜分布。（1）無限長時(shí)間的等幅振蕩）無限長時(shí)間的等幅振蕩 其表達(dá)式為其表達(dá)式

5、為0i20( ) 53 v tE tE et （）式中，式中，E0、v0為常數(shù)，且為常數(shù)，且 E0 可以取復(fù)數(shù)值?？梢匀?fù)數(shù)值。2. 頻率譜頻率譜00i2i20i2()000( )d d () (54)v tvtv vE vE eetEetEvv由（由（51）式，它的頻譜為）式，它的頻譜為（1）無限長時(shí)間的等幅振蕩）無限長時(shí)間的等幅振蕩i2( ) ( )( )d (51)vtE vF E tE t et0i20( ) 53 v tE tE et （）等幅振蕩光場對(duì)應(yīng)的等幅振蕩光場對(duì)應(yīng)的頻諧只含有一個(gè)頻率頻諧只含有一個(gè)頻率成分成分 v0，我們稱其為，我們稱其為理想單色振動(dòng)。其功理想單色振動(dòng)。其功

6、率譜為率譜為E (v) 2 ，如圖所示。如圖所示。（1）無限長時(shí)間的等幅振蕩）無限長時(shí)間的等幅振蕩tE(t)E0vv0E02E(v)20i2i2000( )d() (54)v tvtE vE eetEvv000)() )vvvvvv1(=0(（2）持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩）持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩 i20 /2/20 ( ) (55)v teTt TE t 其他這時(shí)這時(shí)0T/2i2i2T/2( )ee (56)v tvtE vT vvTT vv00sin()()其表達(dá)式為（設(shè)振幅等于其表達(dá)式為（設(shè)振幅等于1）（2）持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩）持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩 或表示成或表示成( )=c (57)

7、E vTT vv0sin ()相應(yīng)的功率譜為相應(yīng)的功率譜為22( ) =c (58)E vTT vv20sin () )sinc( )xxxsin(可見，這種光場頻譜的主要部分集中在從可見，這種光場頻譜的主要部分集中在從 v1 、到、到 v2 的頻率范圍之內(nèi)，主峰中心位于的頻率范圍之內(nèi)，主峰中心位于 v0 處，處，v0 是振蕩的是振蕩的表觀頻率，或稱為表觀頻率，或稱為中心頻率中心頻率。（2）持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩）持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩TtE(t)1T2E(v)2vvv1v0v2為表征頻譜分布特性，定義最靠近為表征頻譜分布特性，定義最靠近 v0 的兩個(gè)強(qiáng)度為的兩個(gè)強(qiáng)度為零的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率零的點(diǎn)

8、所對(duì)應(yīng)的頻率 v2 和和 v1 之差的一半為這個(gè)有限之差的一半為這個(gè)有限正弦波的正弦波的頻譜寬度頻譜寬度 v。（2）持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩）持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩T2E(v)2vvv1v0v21 = (59)vT由（由（58）式，當(dāng)）式，當(dāng) vv0 時(shí)，時(shí)，E (v0) 2 T2；當(dāng)；當(dāng) v v0 1 / T 時(shí)，時(shí)，E (v) 0，所以有，所以有因此，振蕩持續(xù)的時(shí)間越長，頻譜寬度愈窄。因此，振蕩持續(xù)的時(shí)間越長，頻譜寬度愈窄。（2）持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩）持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩22( ) =c (58)E vTT vv20sin ()0limsin( )/ 1xxx（3）衰減振蕩）衰減振蕩i2

9、0 00 0( ) ()v tteettE t60相應(yīng)的相應(yīng)的 E(v) 為為00i2ti2)i i2 (0( )eeedi ed (61) 2()iv tvtvtvE vttvv其表達(dá)式可寫為其表達(dá)式可寫為功率譜為功率譜為*22201( ) = ( ) ( ) (62)4 ()E vE v E vvv2（3）衰減振蕩）衰減振蕩v1v2v0vE(v)2v1/2t01E(t)可見，這個(gè)衰減振蕩也可視為無限多個(gè)振幅不同、頻可見，這個(gè)衰減振蕩也可視為無限多個(gè)振幅不同、頻率連續(xù)變化的簡諧振蕩的疊加，率連續(xù)變化的簡諧振蕩的疊加，v0 為其中心頻率。為其中心頻率。這時(shí)，把最大強(qiáng)度一半所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頻率這時(shí)，

10、把最大強(qiáng)度一半所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頻率 v2 和和 v1 之之差差 v，定義為這個(gè)衰減振蕩的，定義為這個(gè)衰減振蕩的頻譜寬度頻譜寬度。（3）衰減振蕩）衰減振蕩v1v2v0vE(v)2v1/2由于由于 vv2（或（或v1）時(shí)）時(shí),E (v2) 2 = E (v0) 2/2 ，即，即22220111 = 24 ()vv化簡后得化簡后得20 () 2vv所以所以2 1 2 0 0 1 ()() (63)vvvvvvv （3）衰減振蕩）衰減振蕩22220111 = 24 ()vv20 () 2vv2 1 2 0 0 1 ()() (63)vvvvvvv E (v2) 2 = E (v0) 2/2*22201(

11、) = ( ) ( ) (62)4 ()E vE v E vvv22. 頻率譜頻率譜再次強(qiáng)調(diào)指出，在上面的再次強(qiáng)調(diào)指出，在上面的有限正弦振蕩和衰減振蕩中有限正弦振蕩和衰減振蕩中，盡管表達(dá)式中含有盡管表達(dá)式中含有exp(i2v0t) 的因子，但的因子，但 E(t) 已不已不再是單頻振蕩了。換言之，我們只能說這種振蕩的再是單頻振蕩了。換言之，我們只能說這種振蕩的表表觀頻率為觀頻率為v0，而不能簡單地說振蕩頻率為，而不能簡單地說振蕩頻率為v0。只有以。只有以某一頻率作無限長時(shí)間的等幅振蕩，才可以說是嚴(yán)格某一頻率作無限長時(shí)間的等幅振蕩，才可以說是嚴(yán)格的單色光。的單色光。v1v2v0vE(v)2v1/2

12、前面已經(jīng)指出，理想的單色光是不存在的，實(shí)際上能前面已經(jīng)指出，理想的單色光是不存在的，實(shí)際上能夠得到的只是接近于單色光。例如，上面討論的持續(xù)夠得到的只是接近于單色光。例如，上面討論的持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩，如果其振蕩持續(xù)時(shí)間很長，以有限時(shí)間的等幅振蕩，如果其振蕩持續(xù)時(shí)間很長，以致于致于1T v0，則，則 E(v) 的主值區(qū)間的主值區(qū)間 很窄，可認(rèn)為很窄，可認(rèn)為接近于單色光接近于單色光。3. 準(zhǔn)單色光準(zhǔn)單色光001/1/vTvvT1 = (59)vTT2E(v)2vvv1v0v2對(duì)于衰減振蕩，若對(duì)于衰減振蕩，若 很小很?。ㄏ喈?dāng)于振蕩持續(xù)時(shí)間很（相當(dāng)于振蕩持續(xù)時(shí)間很長），則頻譜寬度很窄，也接近于單色

13、光。長），則頻譜寬度很窄，也接近于單色光。3. 準(zhǔn)單色光準(zhǔn)單色光2 1 2 0 0 1 ()() (63)vvvvvvv v1v2v0vE(v)2v1/2i20 00 0( ) ( )v tteettE t600i20( )=( )e (64)v tE tE t對(duì)于一個(gè)實(shí)際的表觀頻率為對(duì)于一個(gè)實(shí)際的表觀頻率為 v0 的振蕩，若其的振蕩，若其振幅振幅隨時(shí)間的變化比振蕩本身緩慢得多隨時(shí)間的變化比振蕩本身緩慢得多，則這種振蕩的則這種振蕩的頻譜就集中于頻譜就集中于 v0 附近的一個(gè)很窄的頻段內(nèi)，可認(rèn)為附近的一個(gè)很窄的頻段內(nèi)，可認(rèn)為是中心頻率為是中心頻率為 v0 的的準(zhǔn)單色光準(zhǔn)單色光，其場振動(dòng)表達(dá)式，其

14、場振動(dòng)表達(dá)式3. 準(zhǔn)單色光準(zhǔn)單色光3. 準(zhǔn)單色光準(zhǔn)單色光現(xiàn)在考察一個(gè)在空間某點(diǎn)以表觀頻率現(xiàn)在考察一個(gè)在空間某點(diǎn)以表觀頻率 v0 振動(dòng)、振幅振動(dòng)、振幅為高斯函數(shù)的準(zhǔn)單色光波為高斯函數(shù)的準(zhǔn)單色光波202004()i(2)( )= ee (65)t tv ttE tA其振動(dòng)曲線如圖所示。其振動(dòng)曲線如圖所示。ttAE(t)在在 tt0 時(shí)，振幅最大，且為時(shí)，振幅最大，且為 A；當(dāng)；當(dāng)tt0 =t / 2 時(shí)，振幅降為時(shí)，振幅降為 A / e。由此可見，參數(shù)。由此可見，參數(shù) t 表征著振蕩表征著振蕩持續(xù)的有效時(shí)間。持續(xù)的有效時(shí)間。3. 準(zhǔn)單色光準(zhǔn)單色光ttAE(t)202004()i(2)i2( )=e

15、ee t tv tvttE vA對(duì)于這種高斯函數(shù)準(zhǔn)單色光波的頻譜分布，可由傅對(duì)于這種高斯函數(shù)準(zhǔn)單色光波的頻譜分布，可由傅氏變換確定：氏變換確定：對(duì)該積分作自變量代換，將被積函數(shù)分為對(duì)該積分作自變量代換，將被積函數(shù)分為實(shí)部和實(shí)部和虛部分別進(jìn)行積分虛部分別進(jìn)行積分，得到，得到2220000() /4i2()1( )=e (66)2tv vvv tE vtAe3. 準(zhǔn)單色光準(zhǔn)單色光22202() /2221( ) =e (67)4tvvE vt A相應(yīng)的功率譜為相應(yīng)的功率譜為其頻譜圖如圖所示。其頻譜圖如圖所示。3. 準(zhǔn)單色光準(zhǔn)單色光v1v2v0vE(v)2v由上式可見，高斯型準(zhǔn)單色光的頻譜也是由上式可見，高斯型準(zhǔn)單色光的頻譜也是高斯型高斯型，其，其中心頻率為中心頻率為 v0。這時(shí)，定義最大強(qiáng)度。這時(shí)，定義最大強(qiáng)度 1/e 處所對(duì)應(yīng)的處所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頻率兩個(gè)頻率 v2 和和 v1 之差之差 v 為這個(gè)波列的為這個(gè)波列的頻譜寬度頻譜寬度。3. 準(zhǔn)單色光準(zhǔn)單色光v1v2v0vE(v)2v3. 準(zhǔn)單色光準(zhǔn)單色光21 2 2= (68)