地震反應時程分析方法

1、地震反應時程分析方法信春雷(西南交通大學 土木工程學院 ,四川 成都 610031)摘 要 :分析地震工程中動力方程求解逐步積分方法中的線性加速度法 、new mar k - 法 、wil so n - 法和中心差分法 ,明確指出這 4 種分析方法的優(yōu)點和缺點以及它們各自的適用范圍 ,并在此基礎上合理選用數(shù)值逐步積分方法問 題給出建議 ,為求解地震反應和結構抗震設計提供非常重要的參考依據 。關鍵詞 :時程分析法 ;線性加速度法 ; new ma r k - 法 ; wil so n - 法 ;中心差分法中圖分類號 : p631 . 4 + 1文獻標志碼 : a文章編號 :100825696 (

2、2010) 0320050204analysis method of time2history earthqua ke responsexin chun2lei( civil engineering school , so ut hwe st j iao to ng u niver sit y ,chengdu 610031 , china)abstract :it si mp l y i nt ro duce d t he st ep2by2st ep i nt e gratio n met ho d s fo r solvi ng dyna mic equatio n s i n ea r

3、 t h2qua ke e ngi nee ri ng , i ncl udi ng li nea r accelerat e d met ho d , new ma r k2met ho d , wil so n2met ho d a nd ce nt ral diff e re nce met ho d ,it poi nt s o ut t he merit s a nd sho r t co mi ngs a nd t he app licatio n fiel d of t he se fo ur met ho ds a nd give s a ref ere nce to sol

4、ve t he ea r t hquack re spo n se a nd sei smic de si gn .key words :ti me2hi sto r y a nal ysi s met ho d ; li nea r accelerat ed met ho d ; new ma r k2 met ho d ; wil so n2met ho d ;ce nt ral diff ere nce met ho d結構抗震計算的主要方法是對多遇地震地區(qū)采用振型分解反應譜方法進行分析 ,這種方法是一種 靜力分析法 ,它將地震剪力等效為水平力作用在結 構上 ,然后按照靜力學的方法進行分

5、析計算 。這種 計算方法同實際地震反應尚有一定的差距 ,計算精 度不夠 ,不一定能夠 保證 地 震作 用下 的 結構 安全 。 時程分析法是一種動力分析法 ,它是將結構物視為 一個彈性振動體 ,將地震時地面運動產生的位移 、速 度 、加速度作用在結構物上 ,然后用動力學的方法研 究其振動情況 。顯然 ,時程分析法比振型分解反應譜法能更準確地反映地震是結構物的反應 2 。多自由度體系地震反應方程為 m u + c u m i x g .+ k u= -( 1)在式 ( 1) 中 , 地面振動加速度是復雜的隨機函 數(shù) 。同時 , 在彈塑性反應中剛度矩陣與阻尼矩陣亦 隨時間變化 。因此 , 不可能求

6、出解析解 , 只能采取數(shù) 值分析方法求解 。常用的地震反應計算數(shù)值方法有 線性加速度法 、new ma r k - 法 、wil so n - 法和中 心差分法 1 24 , 將式 ( 1) 轉化為增量方程為 m u + c u + k x = - m u g .( 2) 再逐步積分求解 , 即將時間轉化分成一系列微小時 間段 , 在時間內可采 取 一些 假設 , 從 而 能對 增量 式 ( 2) 直接積分 , 得出地震反應增量 , 以該步的終態(tài)值 , 作為下一時間段的初始值 。這樣逐步積分 , 即可得 出結構在地震作用下振動反應的全過程 。下面簡單介紹這幾種方法 。概述1結構動力理論是直接通

7、過動力方程求解地震反應 , 起源于 20 世紀 60 年代 。由于地震波為復雜的 隨機振動 , 對于多自由度體系振動不可能直接得出 解析解 , 只可采用逐步積分法 , 而這種方法計算工作量大 , 只有在計算機 應用 發(fā) 展的 前提 下 才能 實現(xiàn) 。線性加速度法2收稿日期 :2009211220作者簡介 :信春雷 ( 1986 - ) , 男 ,碩士研究生 ,研究方向 : 地下結構抗震.2 . 1基本思想1) 假 定在 時 間 t , t + t 內 , 加 速 度按 線 性 變化 。2) 結構體系的特征在時間 t , t +t 內保持為 常量 。2 . 2公式推導將式 ( 1) 在時刻 t

8、j 和 t j + 1 應滿足的方程相減可 得到如下增量方程性動力分析中有重要的意義 。同時 , 擬靜力荷載向量 p 不僅取決于地震地面運動加速度的增量 , 而 且取決于前一時刻的計算反應值 。這使得動力反應計算的誤差逐漸積 累 , 嚴重 時甚 至 導致 結果 發(fā)散 。為了盡可能減少這種誤差 , 提出了加速度平衡校正算法 , 即根據增量動力平衡方程式求得- 1 ( m u j + c u j + k u ju j= - ix g , j - m c u j k u j ) .+= m ix g , j .( 3)( 12)-式中 :u j = u j + 1 - u j , 其余以此類推 。由

9、于線性加速度法假定 , 在時段 t 內 , 結構的 加速度反應是關于時間的線性函數(shù) ?；谶@一假 定 , 可以將式 ( 3) 化為關于位移增量 u 的線性代數(shù) 方程 。為此 , 首先將 u 按 taylo r 級數(shù)在 t j 附近展開上述推導過程是以增量方程為目的 , 這樣推導出來的結果不僅能用于結構的彈性地震反應分析 , 而且也能夠用于結 構的 彈塑 性地 震 反應 分析 。當 然 , 也可以全量方程為目的來推導相應于方程式的代數(shù)方程 。事實上 , 式 ( 6) 和式 ( 8) 可以改寫為66- 6 u j - 2 u j , u j +1= u j +1- u jt2t2t u j u j

10、2 u ( t j +) = u j + + +( 13)1 !2 != 3 u j +1 - 3 u j2 u j - 1 ut. u j3 u j +1j-+ .( 4)tt23 !對時間求導 , 可得 u ( t j +) = u j + u j + 1 u j( 14)將式 ( 13) 和式 ( 14) 代入動力平衡方程可得 k u j +1 = p j +1 .其中2+ .2( 15)( 5)當=t 時 , 由于 u ( t j +) = u j + 1 和 u ( t j +) = u j + 1 , 并結合線性函數(shù)的假定 , 在求解過程 中取為增量形式 , 則式 ( 4) 和式

11、( 5) 可變?yōu)? m + 3 c + k ,6 k= k j2tt( 16) 6 666 u ju j(u) j u j + 2 u j3 u j ,( 6) p j +1= m 2 u j+=-ttt2t 3 1u j = u jt + 1 u jt. c u j + 2 u j u jt -+( 7) m i x g , j +1 .t22( 17)將式 ( 6) 代入式 ( 7) 可得稱式 ( 15) 為擬靜力全量方程 。對線性加速度算法而言 , 用增量方程與全量方 程求解得到的結果 , 其計算精度是一樣的 。2 . 3特點及評價線性加速度法在選取時間步長時 , 應滿足t 1 。與線性

12、加速度法的區(qū)別在于 , 線性加速度法在時刻t +t 使用動力平衡方程 , 而 wil so n - 法則將動力t 。平衡方程應用于更后一點的時刻 t +u j =u j - u j - 1 u j , ( 20)11t2t1 u j214 . 2公式推導 u ( t +t) = u ( t) +t u ( t) +(t) 2 u ( t) / 3 + (t) 2 u ( t +t) / 6 , ( 28) u ( t +t) = u ( t) +t u ( t) / 2 +1u ju jt u j .1 -=-+42t2( 21)將上述兩式代入增量方程 , 可得t u ( t +t) / 2

13、.在 t +t 時刻的運動方程為 m u ( t +t) + c u ( t +t) + k u ( t +t) = - m i x g ( t +t) .( 29) k u j= p j ,( 22)其中11 k = m + c + k ,( 23)t22t u j + 1 u j( 30)由式 ( 28) 和 式 ( 29 ) 導 出 的 u ( t + t) 和 u ( t +t) 代入式 ( 30) 可得1 p j= m +t21 c 1 u j -1 -t u j - m ix g , j .24 k u ( t +t) = p ( t +t) .( 31)( 24)其中同樣 , 也

14、可以推導出全量方程的遞推格式63 k = m + c + k ,( 32)(t) 2t k( 25)= u j +1= p j +1 .其中 p ( t +t) = m i x g ( t +t) +1166 k = k = m + c + k , u ( t) + u ( t) + 2 u ( t) m +t22t(t) 2t( 26) 3 1 u ( t) + 2 u ( t) +t u ( t) c .t2 p j +1 = - m i x g , j +1 +( 33)將 u ( t +t) 代入式 ( 29) 求得 u ( t +t) ,則 t +t 時刻的加速度可按下式內插求得11

15、1 u j1 - u j m u j+-+2t2t1111 - u j1 -t u j c u j -.2t2411 u ( t +t) u ( t +t) .1 - u ( t) + =( 27)3 . 3特點及評價new ma r k - 法是線性加速度法的推廣 。當 0 . 5 ,( 0 . 5 +) 2 / 4 , new ma r k - 法就無條件( 34)4 . 3特點及評價wil so n - 法的實質是線性加速度法推廣 。當1 . 37 時 , 此 法 是 無 條 件 穩(wěn) 定 的 , 但 隨 著 的 增大 , 計算誤差也增大 , 所以通常取 = 1 . 4 。在地震 作用下

16、, 對于一般阻尼比 5 %的鋼筋混凝土結構 , 時 間步長t 0 . 04 t ( t 為地震波的卓越周期) 可以取得較好的結果 5 。由度方程的求解過程 。5 . 3特點及評價由于不需要計算總體的剛度矩陣和質量矩陣 , 采 用中心差分法基本上可以在單元一級進行求解 。如 果所有相繼單元的剛度矩陣和質量矩陣相同 , 只需計算或從輔助存儲器連續(xù)讀出對應于第一個單元的矩中心差分法5陣即可求解 。此法可以有效地解出階數(shù)很高的系統(tǒng) 。5 . 1基本思想中心差分法的基本思想是 : 在計算函數(shù)的中心 點差分 , 并與初始點函數(shù)值進行比較 , 若兩者之差足 夠小則結束 , 則以中 心點 差 分函 數(shù)值 作

17、為結 果 ; 否 則 , 步長減半 , 并將中心點差分函數(shù)值送給初始點函 數(shù)值 , 繼續(xù)迭代 , 直到滿足誤差要求為止 。5 . 2公式推導將位移增量函數(shù)按 taylo r 級數(shù)展開得同時 ,該方法的效率取決于能否采用對角線質量矩陣和能否忽略通常與速度有關的阻尼力 。若只包含一 個對角線阻尼矩陣 ,則仍可保持在單元一級求解 。實 際上可以通過采用足夠細密的有限元離散化來提高 解的精度 ,從而濾掉對角線質量矩陣的缺點 4 。6結束語1) 選擇適當?shù)牡卣鸩?。應根據設防烈度 、震中距及場地類別選取適當?shù)牡卣鹩涗浕蛉斯つM地震波 。對于復雜結構 , 應采用不少于 4 條能反映當?shù)?特征的地震波 ,

18、其中應包括一條本地區(qū)歷史上發(fā)生 地震時的實測記錄波 。2) 合理簡化結構的力學模型 。由于時程分析法需要逐步積分 , 對于復雜的結構 , 計算量巨大 。由于1 u ( t)t2u ( t +t)= u ( t) + u ( t)t +21u ( t)t3+ ,( 35)6u ( t - t) = un - 1 , u ( t) = un , u ( t +t) = un + 1 .速度和加速度也有同樣的關系 , 由式 ( 35) 得前差分 式為計算條件的限制 , 目 前 在實 際工 程 中還 比較 少用 。un+1 = un + unt + 1 unt21u t3.+迄今在國內采用較多的是簡化

19、的層模型 。3) 正確選擇構件的恢復力模型與破壞準則 。根據 所選擇的計算模型來確定恢復力模型與破壞準則 。采 用三維桿系模型時 , 梁恢復力模型的骨架曲線可采用 雙折線形式 。而采用層模型時 , 可采用靜力彈塑性方法計算層恢復力模型的骨架曲線等 。n26( 36)同樣可得后差分公式為un- 1 = un - unt + 1 unt21u t3.-+n26( 37)把以上兩式分別相減或相加可得參考文獻unt = 1 ( un+1- un- 1 ) + o (t3 ) ,( 38)2 1 陳國興 ,陳忠漢 . 工程結構抗震設計原理 m . 北京 :中國水利水電出版社 ,2002 . 2 孫鈞 . 地下結構有限元法解析 m . 上海 : 同濟大學出版 社 ,1988 . 3 薛禹群 ,謝春紅 . 水文地質學的數(shù)值法 m . 北京 :煤炭工 業(yè)出版社 ,1980 . 4 k. j . 巴斯 . 工程分析中的有限元法 m . 北京 : 機械工業(yè) 出