線性空間試題

1、向量空間一 判斷題 平面上全體向量對于通常的向量加法和數(shù)量乘法: 作成實數(shù)域上的向量空間. ( ) . 平面上全體向量對于通常的向量加法和數(shù)量乘法: 作成實數(shù)域上的向量空間. ( ). 一個過原點的平面上所有向量的集合是的子空間. ( ). 所有階非可逆矩陣的集合為全矩陣空間的子空間. ( ). 為的子空間. ( ).所有階實反對稱矩陣的集合為全矩陣空間的子空間. ( ). 為的子空間. ( ).若是數(shù)域上的維向量空間的一組基, 那么是的一組基. ( ).維向量空間的任意個線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成的一個基. ( ).設(shè)是向量空間中個向量, 且中每一個向量都可由線性表示, 則是的一組基. ( ).

2、 設(shè)是向量空間的一個基, 如果與等價, 則也是的一個基. ( ). 關(guān)于基的坐標為. ( ).設(shè)為維空間的子空間, 且.若, 則為直和. ( ).設(shè)為維空間的子空間, 且. 若 則為直和. ( ). 設(shè)為維空間的子空間, 且. 若 則為直和. ( ).設(shè)為維空間的子空間, 且. 若則為直和. ( ). 設(shè)為維空間的子空間, 且. 零向量表法是唯一的, 則為直和. ( ). 設(shè)是向量空間的一個基, 是到的一個同構(gòu)映射, 則的一個基是. ( ). 設(shè)是數(shù)域上的維向量空間, 若向量空間與同構(gòu), 那么也是數(shù)域上的維向量空間. ( ). 把同構(gòu)的子空間算作一類, 維向量空間的子空間能分成類. ( ).答

3、案 錯誤 錯誤 正確 錯誤 錯誤 正確 正確 正確 正確 錯誤 正確 錯誤 正確 正確 正確 錯誤 正確正確 正確 錯誤二 填空題 全體實對稱矩陣, 對矩陣的_作成實數(shù)域上的向量空間. 全體正實數(shù)的集合,對加法和純量乘法構(gòu)成上的向量空間.則此空間的零向量為_. 全體正實數(shù)的集合,對加法和純量乘法構(gòu)成上的向量空間.則的負向量為_. 全體實二元數(shù)組對于如下定義的運算: 構(gòu)成實數(shù)域上的向量空間. 則此空間的零向量為_. 全體實二元數(shù)組對于如下定義的運算: 構(gòu)成實數(shù)域上的向量空間. 則的負向量為_. 數(shù)域上一切次數(shù)的多項式添加零多項式構(gòu)成的向量空間維數(shù)等于_. 任一個有限維的向量空間的基_的, 但任兩

4、個基所含向量個數(shù)是_. 復數(shù)域作為實數(shù)域上的向量空間, 維數(shù)等于_, 它的一個基為_. 復數(shù)域看成它本身上的向量空間, 維數(shù)等于_, 它的一個基為_. 實數(shù)域上的全體階上三角形矩陣, 對矩陣的加法和純量乘法作成向量空間, 它的維數(shù)等于_. 向量關(guān)于基的坐標為_. 關(guān)于的一個基的坐標為_. 三維向量空間的基 則向量在此基下的坐標為 _. 和是數(shù)域上的兩個向量空間, 到的映射滿足條件_, 就叫做一個同構(gòu)映射. 數(shù)域上任一維向量空間都與向量空間_同構(gòu). 設(shè)的子空間有, 則_直和.答案加法和數(shù)量乘法 1 不唯一, 相等 是到的雙射; 對任意; 對任意 不一定是三 簡答題 設(shè) 問下列集合是否為的子空間,

5、 為什么? 所有行列式等于零的實階矩陣的集合; 所有可逆的實階矩陣的集合; 設(shè)是實數(shù)域上所有實函數(shù)的集合, 對任意 定義對于上述運算構(gòu)成實數(shù)域上向量空間. 下列子集是否是的子空間? 為什么? 所有連續(xù)函數(shù)的集合; 所有奇函數(shù)的集合; 下列集合是否為的子空間? 為什么? 其中為實數(shù)域. ; ; 每個分量是整數(shù);設(shè)分別為數(shù)域上矩陣, 問的所有解向量是上的向量空間嗎? 說明理由. 下列子空間的維數(shù)是幾? ; 實數(shù)域上矩陣所成的向量空間的維數(shù)等于多少? 寫出它的一個基. 實數(shù)域上, 全體階對稱矩陣構(gòu)成的向量空間的維數(shù)是多少？ 若是數(shù)域上維向量空間的一個基， 也是的一個基嗎？ 是向量空間的一個基嗎？ 取

6、的兩個向量.求的一個含的基. 在中求基到基的過渡矩陣. 在中求向量關(guān)于基的坐標. 設(shè)表示幾何空間中過原點之某平面的全體向量所構(gòu)成的子空間, 為過原點之某平面上的全體向量所構(gòu)成的子空間, 則與是什么? 能不能是直和? 設(shè)求和. 其中 ; 證明 數(shù)域上兩個有限維向量空間同構(gòu)的充分必要條件是它們維數(shù)相等.設(shè)都是實數(shù)域的向量空間.問與是否同構(gòu)? 說明理由. 設(shè)為向量空間的一個基, 令且.證明 .答案不是的子空間. 若若未必等于零, 對加法不封閉.不是的子空間. 因為, 則, 但, 對加法不封閉. 是的子空間. 因為兩個連續(xù)函數(shù)的和及數(shù)乘連續(xù)函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù). 是的子空間. 因為兩個奇函數(shù)的和及數(shù)乘奇函

7、數(shù)仍為奇函數(shù). 是的子空間. 因為非空, 且對任意有故 是. 因是齊次方程組的全體解向量. 不是的子空間. 因?qū)臃ú环忾]. 不是子空間. 因?qū)?shù)乘運算不封閉.當時, 的所有解向量不能構(gòu)成上的向量空間. 因維零向量不是的解向量. 當時,的所有解向量能構(gòu)成上的向量空間. 維數(shù)是2. 因線性無關(guān), 而. 維數(shù)是2. 因易證線性無關(guān), 但. 解 令表示行列位置元素是其余是零的矩陣. 那么易證這個矩陣是線性無關(guān)的. 它們作成的一個基, 故的維數(shù)是. 為全體階對稱矩陣構(gòu)成的向量空間的一個基,其中共有個向量, 故此向量空間的維數(shù). 解 由 .得. 當為偶數(shù)時, , 故線性相關(guān), 它不構(gòu)成基. 當為奇數(shù)時,

8、 故線性無關(guān), 它構(gòu)成一個基. 解 在基之下有 .因上式右方的階矩陣為可逆, 所以線性無關(guān), 它是的一個基. 解 取向量,由于 因此線性無關(guān), 所以向量組是的一個基. 解 由 推出 因此所求過渡矩陣為 . 解 取的標準基. 由到的過渡矩陣為 于是關(guān)于基的坐標為 . 解 由于,皆過原點, 它們必相交, 因此或重合, 或不重合. 若與重合, 則. 若與不重合, 則為一條過原點的直線, 而, 但不能是直和. 解 設(shè)為交空間的任意向量.由 得齊次線性方程組由行初等變換知方程組的系數(shù)矩陣的秩為, 解空間的維數(shù)為, 且求得方程組的一般解為因此維, 維.取,令便有, 另外顯然. 證明 設(shè)數(shù)域上兩個有限維向量

9、空間與的維數(shù)均為, 因所以. 反之, 若, 設(shè) 且是到的同構(gòu)映射. 取的一個基, 易證是的一個基, 故. 與不同構(gòu). 因, 與的維數(shù)不相等. 證明 任取, 若, 那么因此, 并且中向量依諸表示唯一, 故 四 計算題 設(shè)由, 生成的子空間 試從向量組中找出的生成元. 解 以及為列做成矩陣, 在對的行施行初等變換. 由于行初等變換不改變列向量間的線性關(guān)系. 由矩陣知, 從而但由還知線性無關(guān), 故為的一組生成元. 在向量空間中, 求由向量生成的子空間的一個基和維數(shù). 解 對下述矩陣施行行的初等變換 此變換保持列向量間的線性關(guān)系, 由右方矩陣知是一個極大無關(guān)組, 因此的維數(shù)實是,而是它的一個基. 在中

10、求出向量組的一個極大無關(guān)組,然后用它表出剩余的向量. 這里. 解 對下述矩陣施行行的初等變換 .由右方矩陣知是一個極大無關(guān)組, 并且有 . 求中與矩陣可交換的矩陣構(gòu)成的子空間的維數(shù)及一個基, 其中 解 設(shè)這個子空間為 由于, 這里 因此與可交換的階方陣, 就是與可交換的階方陣, 從而 .任取. 由, 可得,于是當且僅當?shù)脑貫辇R次線性方程組 的解. 于是我們得到如下矩陣 它們構(gòu)成的一個基, 故的維數(shù)是. 求實數(shù)域上關(guān)于矩陣的全體實系數(shù)多項式構(gòu)成的向量空間的一個基與維數(shù).其中 解 因, 所以 易證線性無關(guān). 于是任何多項式皆可由線性表示, 故為的一個基, . 設(shè)為向量關(guān)于基的坐標; 是關(guān)于基的坐

11、標, 其中,求基. 解 因且 則 于是 , 即 故所求的基為. 設(shè)是維向量空間的一個基，也是的一個基，又若向量關(guān)于前一個基的坐標為, 求關(guān)于后一個基的坐標. 解 基到后一個基的過渡矩陣為 .那么 故關(guān)于后一個基的坐標為. 已知的一個基為. 求向量關(guān)于這個基的坐標. 解 設(shè), 的方程組 解得. 故關(guān)于基的坐標. 已知是的一個基.求的一個非零向量, 使它關(guān)于這個基的坐標與關(guān)于標準基的坐標相同. 解 由標準基到基的過渡矩陣為 設(shè)關(guān)于兩個基的坐標為, 則 即得齊次線性方程組 解得, 令, 則即為所求.已知的一個基.求關(guān)于基的坐標. 解 由標準基到所給基的過渡矩陣為 那么 故關(guān)于基的坐標為, 這里 .五

12、 證明題 設(shè)為向量空間的兩個子空間.證明: 是的子空間.是否構(gòu)成的子空間, 說明理由. 證明 顯然, 即, 任取, 易知, 故是的子空間. 不一定. 當或時, 是的子空間. 但當與互不包含時,不是的子空間. 因為總存在及使, 而, 因為這時, 否則與選取矛盾. 設(shè)為向量空間的兩個子空間. 證明: 是的即含又含的最小子空間. 證明 易知為的子空間, 且設(shè)為的包含與的任一子空間, 對任意,有, 即, 故是的即含又含的最小子空間. 設(shè)為向量空間的兩個子空間. 是的兩個向量, 其中, 但, 又. 證明: 對任意;至多有一個使得. 證明 任意若, 則矛盾, 故成立. 當時, 僅當時, 有; 當時, 若存

13、在使得, 則, 因此, 矛盾, 故成立. 設(shè)為向量空間的兩個子空間. 證明 若, 則或. 證明 因含與中所有向量, 含一切形如的向量, 因為, 所以或. 若, 令, 則, 故; 若, 令, 則, 故. 證明: 維向量空間中, 任意個線性無關(guān)的向量都可作為的一個基. 證明 設(shè)是中線性無關(guān)的向量, 取的單位向量, 則, 且中每一個可由線性表示. 由替換定理知與等價, 所以中每一個向量可由線性表示, 又線性無關(guān), 故可作為的一個基. 設(shè)為維向量空間, 中有組線性無關(guān)的向量, 每組含個向量, 證明: 中存在個向量與其中任一組組成的一個基. 證明 設(shè)中組線性無關(guān)的向量分別為. 令, 則. 因存在, 使線

14、性無關(guān), 若,令, 則也為的非平凡子空間, 同理存在, 而且線性無關(guān), 如此繼續(xù)下去, 可找到使得線性無關(guān), 故對每個, 它們都是的一個基. 設(shè)維向量空間的向量組的秩為, 使得全體維向量的集合為. 證明是的維子空間. 證明 顯然, 今設(shè)每個在的某個基下的坐標為 ,那么由可得.它決定了一個含個未知量個方程的齊次線性方程組, 其系數(shù)矩陣的秩為, 故解空間即的維數(shù)為. 設(shè)是數(shù)域中個不同的數(shù), 且. 證明多項式組是向量空間的一個基. 證明 因, 所以只需證線性無關(guān). 設(shè)有, 使 (*)由, 因此將帶入(*)得, 從而故線性無關(guān), 為的一個基. 設(shè)是的一個非零子空間, 而對于的每一個向量來說, 或者,

15、或者每一個都不等于零. 證明: 證明 由非零, 我們總可以取, 且, 那么每個且線性無關(guān). 今對任意, 若當然可由線性表示; 若而, 由于其第一個分量為, 由題設(shè)知. 故可作為的一個基,且 證明: 是的一個基, 并求關(guān)于這個基的坐標. 證明: 由基表示的演化矩陣為 但可逆, 故是的一個基.關(guān)于這個基的坐標,因為 若都是的子空間, 求證:. 證明: 任意, 則, 且, 因此, 但, 知, 故.反之, 任意, , 則, 且, 故. 設(shè)是維向量空間的子空間. 如果為直和.證明:. 證明: 由為直和, 有, 而 . 故 . 設(shè)分別是齊次線性方程組與的解空間.證明: . 證明 因的解空間的維數(shù)為, 且一

16、個基為, 又即方程組 的系數(shù)矩陣的秩為, 其解空間的維數(shù)為, 且一個基為, 但線性無關(guān), 它是的一個基, 且, 故. 證明 每一個維向量空間都可以表成個一維子空間的直和. 證明: 設(shè)是維向量空間的一個基, 那么都是一維子空間.顯然 于是由中向量在此基下表示唯一, 立得結(jié)論. 證明維向量空間的任意一個真子空間都是若干個維子空間的交. 證明: 設(shè)是的任一子空間, 且設(shè)為的一個基, 將其擴充為的一個基, 那么令 于是這些, 均為維子空間, 且.設(shè)是數(shù)域上向量空間到的一個同構(gòu)映射, 是的一個子空間. 證明: 是的一個子空間. 證明: 因, 所以非空. 對任意, 由于是到的滿射, 因此存在, 使, 對任

17、意, 有, 于是, 故是的一個子空間. 證明: 向量空間可以與它的一個真子空間同構(gòu). 證明: 記數(shù)域上所有常數(shù)項為零的多項式構(gòu)成的向量空間, 顯然, 且中有形式, 這里. 定義 , 顯然是到的雙射, 且對于任意 故是到的同構(gòu)映射. 從而是的一個真子空間, . 設(shè)是復數(shù), ,證明: 是上的向量空間, 并且. 證明: 易證是上的向量空間,設(shè)中次數(shù)最低的多項式為, 則對任意, 都有, 使, 因此同理, 設(shè)中次數(shù)最低的多項式為, 則.定義易證是到的同構(gòu)映射, 故. 證明 實數(shù)域作為它自身上的向量空間與全體正實數(shù)集對加法: , 與純量乘法: 構(gòu)成上的向量空間同構(gòu). 證明: 定義顯然是到的映射., 若,

18、則, 所以為單射;任意, 因, 則, 即為滿射.從而為雙射. 任. 任,于是是到的同構(gòu)映射. 故. 設(shè)是數(shù)域上無限序列的集合, 其中, 并且只有有限不是零. 的加法及中的數(shù)與中元的純量乘法同, 則構(gòu)成上的向量空間. 證明: 與同構(gòu). 證明: 取的一個基, 則中任一多項式 關(guān)于這個基有唯一確定的坐標.定義則是到的一個同構(gòu)映射, 故.向量空間自測題一、單項選擇題（每小題2分，共20分）1設(shè)n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩r n是n維向量組1 ，2 ，線性相關(guān)的（ ）條件A充分 B必要 C充分必要 D必要而不充分二、判斷說明題（先判斷正確與錯誤，再簡述理由，每小題5分，共20分）1設(shè)1，2是的基礎(chǔ)解

19、系，則也是它的基礎(chǔ)解系2若是的解，則它的任意線性組合也是的解3的維數(shù)等于24F上向量空間V若含有一個非零向量，則它必含有無窮多個向量三、簡答題（每小題5分，共10分）1設(shè)是的解其中A為54矩陣，。若 ，試寫出該方程組的全部解2已知可由1 ，2 ，線性表出，那么，在什么情況下，表示法唯一？四、計算題（每小題8分，共32分）1試將用向量組 ， ，線性表出，其中=，=，=， =，2已知,是的兩個子空間，求的一個基和維數(shù)3已知關(guān)于基的坐標為（1，0，2），由基到基的過渡矩陣為，求關(guān)于基的坐標4求非齊次線性方程組 的全部解五、證明題（每小題9分，共18分）1 .設(shè)A是任一矩陣，將A任意分塊成，證明：n元

20、齊次線性方程組的解空間V是齊線性方程組的解空間的交，2. 設(shè)向量組1 ，2 ，線性無關(guān)，向量可由它線性表示，而向量不能由它線性表示證明：m+1個向量1 ，2 ， ，+必線性無關(guān)線性空間習題一、填空題1、已知是的一個子空間，則維（）， 的一組基是_.2、在中，若線性無關(guān)，則的取值范圍是_.3、已知是數(shù)域P中的一個固定的數(shù)，而是的一個子空間，則_，而維()_.4、設(shè)是數(shù)域P上的維列向量空間，記則1、2都是的子空間，且12_，_.5、設(shè)是線性空間V的一組基，則由基到基的過渡矩陣T_，而在基下的坐標是_.二、判斷題1、 設(shè)，則是的子空間.2、已知為上的線性空間，則維(）2.3、設(shè)，是的解空間，1是的解空間，2是的解空間，則.4、設(shè)線性空間的子空間中每個向量可由中的線性無關(guān)的向量組線性表出，則維().5、設(shè)是線性空間的子空間，如果但則必有三、計算題1、 在線性空間中， 1） 求的維數(shù)與一組基.2） 求的維數(shù)與一組基.2、在線性空間中，求由基