第六講相關(guān)性與Copula函數(shù)

1、第六講第六講相關(guān)性與相關(guān)性與Copula函數(shù)函數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)n變量V1 和 V2 的相關(guān)系數(shù)被定義為n變量V1 和 V2 的相關(guān)系數(shù)被定義為121212()() ()()()E VVE V E VSD V SD V121212cov( ,)()() ()V VE VVE V E V獨立性獨立性n兩個變量中，其中任意一個變量的信息（觀測值）不會影響另一個變量的分布，那么兩個變量在統(tǒng)計上被定義為獨立n精確地講，變量V1 和 V2 在統(tǒng)計上被定義為相互獨立，如果對于所有的x，下列等式成立nf ()代表變量的概率密度函數(shù)212()()f V Vxf V獨立性并不等同于獨立性并不等同

2、于零零相關(guān)相關(guān)n假定變量 V1 的值有三種均等的可能：1，0，或 +1 n如果 V1 = -1 或 V1 = +1 ，那么 V2 = 1n如果 V1 = 0 ，那么 V2 = 0n可以清楚地看到 V1 和 V2 有某種關(guān)聯(lián)性，但它們的相關(guān)系數(shù)為0幾種不同的關(guān)聯(lián)形式幾種不同的關(guān)聯(lián)形式1V1V1V2E V2E V2E V)a)b)c監(jiān)測相關(guān)系數(shù)監(jiān)測相關(guān)系數(shù)n定義 xi=(XiXi-1)/Xi-1 和 yi=(YiYi-1)/Yi-1nvarx,n ：以第n-1天估計的X的日方差nvary,n ：以第n-1天估計的Y的日方差ncovn ： 以第n-1天估計的協(xié)方差n相關(guān)系數(shù)為,covvarvarnx

3、 ny n協(xié)方差協(xié)方差n第n天的協(xié)方差為n經(jīng)常被簡化為()nnnnE x yE xE y()nnE x y監(jiān)測相關(guān)系數(shù)（續(xù)）監(jiān)測相關(guān)系數(shù)（續(xù)）nEWMA：nGARCH（1，1）：111covcov(1)nnnnxy111covcovnnnnxy協(xié)方差的一致性條件協(xié)方差的一致性條件n方差-協(xié)方差矩陣滿足內(nèi)部一致性條件的不等式為：對于所有的向量w，滿足0Tww二元正態(tài)分布二元正態(tài)分布n假定兩個變量V1 和 V2 服從二元正態(tài)分布，假定變量變量V1 的某個觀察值為v1，V2 在V1 = v1條件下為正態(tài)分布，期望值為n標準差為nm1 和 m2 分別為 V1 和 V2 的（無條件）期望值，s1和s2分

4、別為 V1 和 V2 的（無條件）標準差， 為 V1 和 V2 的相關(guān)系數(shù)11221Vmmss221s多元正態(tài)分布多元正態(tài)分布n很容易處理n方差-協(xié)方差矩陣定義了方差和變量間的相關(guān)系數(shù)n要滿足內(nèi)部一致性條件，方差-協(xié)方差矩陣就必須是半正定的生成隨機樣本生成隨機樣本：模特卡洛模擬：模特卡洛模擬n在Excel中，采用指令=NORMSINV（RAND（）來生成服從正態(tài)分布隨機數(shù)n對于產(chǎn)生多元聯(lián)合正態(tài)分布的隨機抽樣要采用Cholesky分解的方法因子模型因子模型n對N個變量之間的相關(guān)性進行估計，我們需要估計N(N-1)/2個參數(shù)n采用因子模型進行估計，我們就可以減少估計參數(shù)的數(shù)量單因子模型單因子模型n

5、假設(shè) Ui 服從標準正態(tài)分布，可設(shè)n其中，共同因子 F 和特異因子 Zi 均服從標準正態(tài)分布nUi 和 Uj 的相關(guān)系數(shù)為 ai aj21iiiiUa Fa Z高斯高斯Copula函數(shù)函數(shù)n假設(shè)我們希望在不服從正態(tài)分布的兩個變量V1 和 V2 之間定義一種相關(guān)結(jié)構(gòu)n我們將變量V1 和 V2 映射到U1 和 U2 上，這里的U1 和 U2 均服從標準正態(tài)分布n這種映射為分位數(shù)與分位數(shù)之間的一一映射n假定U1 和 U2 的聯(lián)合分布為二元正態(tài)分布V之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)是通過之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)是通過U之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)定義的之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)定義的-0.200.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60

6、.811.2V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2相關(guān)性假設(shè)V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2一對一映射例例V1V2V1 到到 U1 的映射的映射V1分布的分位數(shù)分布的分位數(shù)U10.220-0.840.4550.130.6800.840.8951.64V2 到到 U2 的映射的映射V2分布的分位數(shù)分布的分位數(shù)U20.281.410.4320.470.6680.470.8921.41例：計算聯(lián)合概率分布例：計算聯(lián)合概率分布nV1 and V2 都小于0.2的概率，等于 U1 0.84 和 U2 1.41 的概率n當Copula相關(guān)系數(shù)等于0.5時nM（0.

7、84, 1.41, 0.5）= 0.043nM是二元正態(tài)分布的累積分布函數(shù)其他其他Copula函數(shù)函數(shù)n還有許多其它Copula函數(shù)可以用于描述相關(guān)結(jié)構(gòu)n一種可能是二元學(xué)生t-分布二元正態(tài)分布的二元正態(tài)分布的5000個隨機樣本個隨機樣本-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-1012345二元學(xué)生二元學(xué)生t-分布的分布的5000個隨機樣本個隨機樣本-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-1012345多元多元Copula函數(shù)函數(shù)n類似地，決定我們已知N個變量V1，V2，Vn 的邊際分布n我們將 Vi 映射到 Ui ，其中 Ui 服從標準正態(tài)分布（這里的映射是分位數(shù)之間的一一

8、對應(yīng)）n假定 Ui 服從多元正態(tài)分布因子因子Copula模型模型n在因子Copula模型中，變量 Ui 之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)通常被假定由一個或多個因子來決定貸款組合模型貸款組合模型n定義Ti 為公司i的違約時間，將變量Ti 的分位數(shù)與Ui 的分位數(shù)之間進行一一對應(yīng)的映射，假定Ui 滿足式nF 及Zi 為相互獨立的正態(tài)分布n定義Qi 為Ti 的累積概率分布n當N(U)=Qi(T)時，Prob(UiU)=Prob(TiT)21iiiiUa Fa Z2Prob()1iiiUa FUU FNa12( )Prob()1iiiiNQ Ta FTT FNa貸款組合模型（續(xù)）貸款組合模型（續(xù)）n假設(shè)所有公司之間的Copula相關(guān)系數(shù)均等同，此量被記為n對應(yīng)一個期限為T，置信水平為X的投資組合，違約率的最壞情況為n假定，某交