基礎(chǔ)物理剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

1、目錄目錄5.1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述5.2 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算5.4 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用5.5 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒5.6 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能5.7 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)第第5章章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) Rotation of a Rigid Body本章作業(yè)：本章作業(yè)：5.2，5.8，5.11，5.16，5.20，5.23一、剛體一、剛體 平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)1、剛體、剛體 定義定義: 在外力作用下，形狀和大小保持不變的的物體稱為在外力作用下，形狀和大小保持不變的的物體稱為 剛體；剛體；是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系。特點(diǎn)：特點(diǎn)：剛體上

2、的任兩點(diǎn)間的距離始終保持不變。剛體上的任兩點(diǎn)間的距離始終保持不變。 剛體是實(shí)際物體剛體是實(shí)際物體的理想模型。的理想模型。 剛體上剛體上任意任意兩點(diǎn)的連線在運(yùn)動(dòng)中保持平行，這種運(yùn)動(dòng)兩點(diǎn)的連線在運(yùn)動(dòng)中保持平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平動(dòng)。稱為剛體的平動(dòng)。 特征：特征：剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度相等剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度相等。剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律代表剛體的平動(dòng)規(guī)律。剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律代表剛體的平動(dòng)規(guī)律。2、剛體的平動(dòng)、剛體的平動(dòng)5.1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體上的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞同一直線做剛體上的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞同一直線做圓周圓周運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸在空間的位置固定不

3、動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。：轉(zhuǎn)軸在空間的位置固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。1）各點(diǎn)的角位移、角速度、角加速度相同各點(diǎn)的角位移、角速度、角加速度相同。2）各點(diǎn)的線位移、線速度、線加速度不同各點(diǎn)的線位移、線速度、線加速度不同。特征：特征：平面運(yùn)動(dòng)：也稱為滾動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)：也稱為滾動(dòng) 。剛體上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律。剛體上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律。視為車輪軸在垂直軸方向的平動(dòng)和繞車輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。視為車輪軸在垂直軸方向的平動(dòng)和繞車輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。2、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述 22ddddttt ddt 平均角速度：平均角速度：角速度

4、：角速度：（矢量）（矢量）角加速度：角加速度：（矢量）（矢量）角位移角位移:12 規(guī)定沿規(guī)定沿 ox 軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向，反之為負(fù)方向軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向，反之為負(fù)方向。)(t 角位置：角位置：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。 SPP rO xyAA 剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)公式如下：剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)公式如下：2000220012 2()ttt 角量與線量的關(guān)系：角量與線量的關(guān)系：224,tnsrrarararv線速度與角速度之間的矢量關(guān)系為線速度與角速度之間的矢量關(guān)系為:vr 由于在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)由于在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中軸的

5、位置中軸的位置不變，故不變，故 只有沿軸的只有沿軸的正負(fù)兩個(gè)方向，可以用正負(fù)兩個(gè)方向，可以用代數(shù)值代數(shù)值代替。代替。, vro SPP rO xyAA 【例例5.1】一一半徑為半徑為R = 0.1m 的砂輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角位置隨時(shí)間的砂輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角位置隨時(shí)間t 的變化關(guān)系的變化關(guān)系為為 = ( 2 + 4 t 3 ) rad ，式中式中 t 以以秒秒計(jì)。試求：計(jì)。試求：1）在）在 t = 2s 時(shí)時(shí),砂輪邊緣上一質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度的大砂輪邊緣上一質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度的大小。小。2）當(dāng)）當(dāng)角角 為為多大時(shí)多大時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的加速度與半徑成該質(zhì)點(diǎn)的加速度與半徑成 45 o。 解

6、解 1）212ddtt d24dtt42224 .14)12(1 .0ttRan 0.1242.4taRtts55.0 t( 舍去舍去 t = 0 和和 t = - 0.55 )此時(shí)砂輪的角此時(shí)砂輪的角位置位置：(rad)67. 255. 042)42(33 t o )(8 .42241 .02m/s ta)(4 .230)212(1 . 0222m/s na當(dāng)當(dāng)t = 2s 時(shí)時(shí)2）加速度與半徑成加速度與半徑成450時(shí)有時(shí)有 1/45 ntaatgtt4 . 24 .144 即即【例例5.2】一一飛輪從靜止開(kāi)始加速，在飛輪從靜止開(kāi)始加速，在6s內(nèi)其角速度均勻地增加內(nèi)其角速度均勻地增加到到20

7、0rad/min，然后以這個(gè)速度勻速旋轉(zhuǎn)一段時(shí)間，再予以制，然后以這個(gè)速度勻速旋轉(zhuǎn)一段時(shí)間，再予以制動(dòng)，其角速度均勻減小。又過(guò)了動(dòng)，其角速度均勻減小。又過(guò)了5s后，飛輪停止了轉(zhuǎn)動(dòng)。若飛后，飛輪停止了轉(zhuǎn)動(dòng)。若飛輪總共轉(zhuǎn)了輪總共轉(zhuǎn)了100轉(zhuǎn)，求共運(yùn)轉(zhuǎn)了多少時(shí)間？轉(zhuǎn)，求共運(yùn)轉(zhuǎn)了多少時(shí)間？解解：整個(gè)過(guò)程分為三個(gè)階段：整個(gè)過(guò)程分為三個(gè)階段加速階段加速階段11 1t211 102 211 11122t勻速階段勻速階段212t 制動(dòng)階段制動(dòng)階段13 3t21332 21 313322t 2100321 而而 20022312111 tttsttttt91822200220031113112./ )(/ )(

8、 s.tttt9193321 d3cosd2gtL dcos23dLg 解：解：1） 棒做變加速運(yùn)動(dòng)：棒做變加速運(yùn)動(dòng)：例題例題補(bǔ)充補(bǔ)充 一細(xì)棒繞一細(xì)棒繞O 點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并知知 , , L 為棒長(zhǎng)。為棒長(zhǎng)。求求: 1: 1）棒）棒自水平靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，自水平靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)， = = / 3 時(shí)時(shí), , 角速度角速度 ? ? 2 2）此時(shí)端點(diǎn)）此時(shí)端點(diǎn)A A 和中點(diǎn)和中點(diǎn)B B 的線速度為多大的線速度為多大? ?3cos2gL 030dcos23dLggLLg2333sin32 Lg233 2)rv由得 ：3 32AgLLv3 328BLgLvddddddt A BO 5.2 剛體的定軸

9、轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律The Law of Rotation About a Fixed Axis觀點(diǎn)：把剛體看作無(wú)限多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。觀點(diǎn)：把剛體看作無(wú)限多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。) ( dd點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)外外OtLM) ( dd軸軸對(duì)對(duì)外外ztLMzziFimivO O定軸定軸剛體剛體irirz z, 一、一、對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩MrF zFPord 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用在作用在剛體上點(diǎn)剛體上點(diǎn) P ，且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi), 為為由點(diǎn)由點(diǎn)O 到力的作用點(diǎn)到力的作用點(diǎn) P 的徑矢。的徑矢。 FrrFFdrFMt sin大大小?。河捎沂致菪▌t確定由右手螺

10、旋法則確定MzFPord tFnFrFo0 MrFo0 M方向：方向：MzFPOr tFnFzFF面面MFzM1）若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)）若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)tFttMrFe 將力將力分解為分解為徑向、橫向徑向、橫向和沿轉(zhuǎn)軸方向的和沿轉(zhuǎn)軸方向的三個(gè)分量。三個(gè)分量。 zF產(chǎn)生的力矩垂直于轉(zhuǎn)軸，它在轉(zhuǎn)軸上的投影為零。產(chǎn)生的力矩垂直于轉(zhuǎn)軸，它在轉(zhuǎn)軸上的投影為零。0FnnnMrF e 2） 當(dāng)有當(dāng)有n 個(gè)力作用于剛體，則個(gè)力作用于剛體，則12nMMMM 對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于各力對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩的代數(shù)和。對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于各力對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩的代數(shù)和。 3） 剛體的內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩剛體的內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩 剛體的內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)

11、軸的剛體的內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的矢量和等于零。力矩的矢量和等于零。2r12f21f12dO1r討論討論13二、剛體二、剛體角動(dòng)量角動(dòng)量元角動(dòng)量元角動(dòng)量()iiiRm v質(zhì)元質(zhì)元im 剛體對(duì)某點(diǎn)剛體對(duì)某點(diǎn)O的角動(dòng)量的角動(dòng)量剛體對(duì)剛體對(duì)z軸的角動(dòng)量軸的角動(dòng)量()iiim R voiLL viiiiLm R 2i im r zizLL |cos|iLk (|) cosviiimRk (cos )iiim Rkvi iimr kvkrrmiii2zi iJm r 令剛體剛體對(duì)對(duì)z軸軸的的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量OLiRo iriL izL z zL 上式可寫為：上式可寫為：zzLJ剛體剛體對(duì)對(duì)z軸軸的的角動(dòng)量角動(dòng)

12、量六、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律六、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律dd()ddzzzLJMJttzzMJ即，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律與牛頓第二定律相比：與牛頓第二定律相比：M F，J m， a注意：注意：1、轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用條件：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，固定軸為慣性系。、轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用條件：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，固定軸為慣性系。2、M 一定：作用不同剛體上，一定：作用不同剛體上，J 大時(shí)大時(shí)，小時(shí)小時(shí)， 轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速不易不易 改變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大。反之，改變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大。反之，J 小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性小。小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性小。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。二、二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：2i iJm r 若質(zhì)量

13、離散分布：若質(zhì)量離散分布： （質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系）（質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系） mrJd2 若質(zhì)量連續(xù)分布：若質(zhì)量連續(xù)分布：lmdd smdd Vmdd 其中：其中： 一、一、定義定義： 剛體對(duì)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體中每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)剛體中每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離的平方的乘積的總和。量與該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離的平方的乘積的總和。 5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算的計(jì)算（描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量）（描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量）SI單位：?jiǎn)挝唬簁g m 2mrJVd2 niiirmJ12【例例5.3】求求質(zhì)量為質(zhì)量為m，半徑為半徑為R 的均勻圓環(huán)的對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)的均勻圓環(huán)的對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。動(dòng)慣量

14、。解：解： 設(shè)線密度為設(shè)線密度為； RlRmRJ 2022dd【例例5.4】求求質(zhì)量為質(zhì)量為m、半徑為半徑為R 的均勻薄的均勻薄圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。動(dòng)慣量。 取半徑為取半徑為 r 寬為寬為d r 的的細(xì)細(xì)圓環(huán)圓環(huán),rrsmd2dd lmdd RrrrmrJ0222d2d 222mRRR 解：解： 設(shè)面密度為設(shè)面密度為。242121mRR oRmdRorrd【例例5.5】求求長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。動(dòng)慣量。解解 1）?。┤ 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。在距點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。在距A 點(diǎn)為點(diǎn)為x 處取處取dm= dx 。222221

15、dd12LLCJxmxxmL 2201d3LAJxxmL ALBxAC2Lmd2LxxB2）?。┤ 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。 在距在距C 點(diǎn)為點(diǎn)為x 處取處取dm 。2) 同一剛體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，同一剛體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同， 凡提到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量凡提到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 必須指明它是對(duì)哪個(gè)軸的。必須指明它是對(duì)哪個(gè)軸的。1) 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是由剛體的剛體的總總質(zhì)量、質(zhì)量分布、質(zhì)量、質(zhì)量分布、 轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置三個(gè)因素共同決定三個(gè)因素共同決定;xmdxxmxJddd22 說(shuō)明說(shuō)明三、三、平行軸定理平行軸定理 若有任一軸與過(guò)若有任一軸與過(guò)質(zhì)心質(zhì)心的軸平行，且兩軸相距為的軸

16、平行，且兩軸相距為d，剛體剛體對(duì)該軸的對(duì)該軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則有：則有：兩軸平行；兩軸平行；JC 為剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量d 為兩平行軸間距離。為兩平行軸間距離。2212OJmRmd 2mdJJC 例例 均勻圓盤對(duì)均勻圓盤對(duì)O 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。221mRJC oCd說(shuō)明說(shuō)明四、四、垂直軸定理垂直軸定理xyzOimixiyir 設(shè)一薄板，過(guò)其上一點(diǎn)作設(shè)一薄板，過(guò)其上一點(diǎn)作 z 軸垂直軸垂直于板面，于板面，x、y軸在平板面內(nèi)，若取一質(zhì)軸在平板面內(nèi)，若取一質(zhì)元元mi ，則有，則有2iizrmJ )(22iiiyxm 22iiiiyxm xm yJJyx

17、zJJJ 薄板形剛體對(duì)于板面內(nèi)的兩條正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和薄板形剛體對(duì)于板面內(nèi)的兩條正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和等于這個(gè)物體對(duì)過(guò)該二軸交點(diǎn)并垂直于板面的那條轉(zhuǎn)軸的等于這個(gè)物體對(duì)過(guò)該二軸交點(diǎn)并垂直于板面的那條轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 - 垂直軸定理垂直軸定理1、轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用條件：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，固定軸為、轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用條件：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，固定軸為慣性系慣性系（質(zhì)心系亦可）。（質(zhì)心系亦可）。2、M 一定：作用不同剛體上，一定：作用不同剛體上，J 大時(shí)大時(shí)，小，小， 轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速不易不易 改變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大。反之，改變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大。反之，J 小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性小。小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性小。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

18、是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。3、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律是解決剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題的重要定律。、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律是解決剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題的重要定律。 應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意以下問(wèn)題：應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意以下問(wèn)題： 力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量必須對(duì)力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量必須對(duì)同一轉(zhuǎn)軸同一轉(zhuǎn)軸而言。而言。 選定轉(zhuǎn)軸的正方向，以確定力矩或角加速度選定轉(zhuǎn)軸的正方向，以確定力矩或角加速度、角速度、角速度的正負(fù)。的正負(fù)。Fma 類比類比 當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動(dòng)物體，又有平動(dòng)物體時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動(dòng)物體，又有平動(dòng)物體時(shí)，用用隔離法隔離法解題。解題。 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律建立對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律建立方方 程，程， 對(duì)平動(dòng)物體則用牛頓對(duì)平動(dòng)物體則用牛頓第二定律建立方程。第二定律建立

19、方程。zzMJ5.4 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用【例例5.6】質(zhì)量質(zhì)量為為m 1、半徑為半徑為R 的定滑輪可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一的定滑輪可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為質(zhì)量為m 2 的物體懸掛于繞過(guò)滑輪的細(xì)繩上。求：物體的物體懸掛于繞過(guò)滑輪的細(xì)繩上。求：物體m 2 的下的下落加速度落加速度a 和和 滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度角加速度。2122(2)m gR mm21222mmgma 聯(lián)合解得：聯(lián)合解得： aR1)T RJ)222amTgm 關(guān)聯(lián)方程關(guān)聯(lián)方程 解解: : 對(duì)對(duì)m 1 分析力矩；取滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎较颉７治隽?；取滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎较颉?121RmJ MJgm2T對(duì)對(duì)m2 2分析受力。取向

20、下為正方向。分析受力。取向下為正方向。R1mT TT 2mR1m由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由牛頓運(yùn)動(dòng)定律由牛頓運(yùn)動(dòng)定律【例例5.7】一一輕繩跨過(guò)定滑輪，輕繩跨過(guò)定滑輪， 滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為有質(zhì)量為m1 和和m2 的物體的物體, m1 m2 。 設(shè)滑輪的質(zhì)量為設(shè)滑輪的質(zhì)量為m ， 半徑為半徑為r , 忽略摩擦。忽略摩擦。 繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。 求物體的加速度。求物體的加速度。 解：解：由于由于m1 m2 ，則，則m1 向下加速運(yùn)動(dòng)，向下加速運(yùn)動(dòng)，m2 向上加速運(yùn)向上加速運(yùn)動(dòng)，滑輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。規(guī)定物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?。?dòng)，滑輪逆時(shí)

21、針轉(zhuǎn)動(dòng)。規(guī)定物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?。?duì)對(duì)m 1 、m 2 分析受力。由牛頓第二定律：分析受力。由牛頓第二定律：1m1Tgm11a2mgm22T2a11111:amTgmm 22222:amgmTm 對(duì)滑輪分析力矩；由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：對(duì)滑輪分析力矩；由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：2mm1m21212T rT rJmr m2T 1T 關(guān)聯(lián)方程關(guān)聯(lián)方程12aar 2211TTTT 聯(lián)立解得聯(lián)立解得gmmmmmaa)(2)(2212121 【例例5.8】一一剛體由長(zhǎng)為剛體由長(zhǎng)為 l ，質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻細(xì)桿和質(zhì)量為的均勻細(xì)桿和質(zhì)量為m 的的小球組成小球組成，且可繞且可繞O 軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)， 且且 軸

22、處無(wú)摩擦。求軸處無(wú)摩擦。求: 1） 剛體繞軸剛體繞軸O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2）若桿自水平靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)桿與）若桿自水平靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)桿與豎直方向成豎直方向成角時(shí)角時(shí), 小球的角速度。小球的角速度。Om m，lgm2223431mlmlmlJ 解解 1）2mlJ 球球231mlJ 桿桿 2）取逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向，桿與豎直方向成）取逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向，桿與豎直方向成角時(shí)，角時(shí)，合外力矩合外力矩: sin23mglMMM 桿桿球球gm sinmglM 球球 sin2lmgM 桿桿ddddddddtt又 dd8sin9 lg分離變量積分得分離變量積分得: : 02dd8sin9lglg cos23

23、 小球的小球的法向加速度：法向加速度： cos492glan 9sin8MgJl 得：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律: :MJ25補(bǔ)充：補(bǔ)充：如圖所示如圖所示m1 m2 試由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫出系統(tǒng)的試由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，求出運(yùn)動(dòng)方程，求出m2的加速度和張力的加速度和張力T1 ,T2, T31m2m1T2T3T1M2M1R2R解：設(shè)解：設(shè)m2的加速度為的加速度為a，方向向上，則方向向上，則m1的加速的加速度也為度也為a，方向向下，方向向下，滑輪與繩不打滑，則滑滑輪與繩不打滑，則滑輪與繩的加速度為：輪與繩的加速度為：1212aaRR:1111mm gTm a對(duì):2222mTm gm

24、a對(duì)M :()211311111TT RM R2對(duì):()223222221MTT RM R2對(duì)11311a1TTM aR2對(duì)：23222a1TTM aR2對(duì)：26兩端相加：兩端相加：()1212122 mm ga2 mmMM（）()()1211211112124m mm MMTm gm ag2 mmMM()3221TmgaM a2 本題中本題中123TTT當(dāng)當(dāng)M1 1, ,M2 2質(zhì)量可以忽略時(shí)質(zhì)量可以忽略時(shí)T1 1= =T2 2= =T3 3222Tm gm a5.5 剛體剛體的的角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律ddzzLMt 作用在剛體上沿轉(zhuǎn)軸方向的合外力矩等于剛體繞此軸

25、的作用在剛體上沿轉(zhuǎn)軸方向的合外力矩等于剛體繞此軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。2121dtzztMtLJJ 作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。將質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理應(yīng)用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體：將質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理應(yīng)用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體：ddzzMtL 微分形式微分形式21dtzztMtL 積分形式積分形式一、一、剛體的剛體的角動(dòng)量角動(dòng)量定理定理二、二、剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律zZzM0LJC時(shí)，1) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，若定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，若 J = C，角動(dòng)量守恒即剛體保角動(dòng)量守恒即剛體保持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)

26、。2）若若J 不為恒量時(shí)，角動(dòng)量守恒即不為恒量時(shí)，角動(dòng)量守恒即 J = 恒量。這時(shí)，剛體恒量。這時(shí)，剛體 的角速度隨轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化而變化，但乘積保持不變的角速度隨轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化而變化，但乘積保持不變 當(dāng)剛體所受的外力對(duì)某固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，當(dāng)剛體所受的外力對(duì)某固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量保持不變。剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量保持不變。3）角動(dòng)量守恒定律中的）角動(dòng)量守恒定律中的 都是相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸的都是相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸的、J4）守恒條件：守恒條件：iiF0M0不等價(jià)iF0iM0例例:1F2FiF0iM01F2FiM0說(shuō)明說(shuō)明30 角動(dòng)量守恒現(xiàn)象舉例22487MlMdJJCO 2

27、 2）取）取細(xì)棒為研究對(duì)象，碰前細(xì)棒作平動(dòng)，可按質(zhì)點(diǎn)處理。細(xì)棒為研究對(duì)象，碰前細(xì)棒作平動(dòng)，可按質(zhì)點(diǎn)處理。144OClLrMMM lvvv解：解： 1 1）14JMlv127lv方向：方向：3 3）碰撞過(guò)程中，細(xì)棒所受的外力矩為零，角動(dòng)量守恒。）碰撞過(guò)程中，細(xì)棒所受的外力矩為零，角動(dòng)量守恒。vlo4lldMlJC411212 已已知知：方向：方向：cr由平行軸定理：由平行軸定理：【例例5.9】光滑光滑的水平桌面上有一個(gè)長(zhǎng)為的水平桌面上有一個(gè)長(zhǎng)為l，質(zhì)量為質(zhì)量為M 的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒，以以 速度速度v 運(yùn)動(dòng)，與一固定于桌面上的釘子運(yùn)動(dòng)，與一固定于桌面上的釘子O 相碰，碰后細(xì)棒繞相碰，碰后細(xì)棒繞

28、O轉(zhuǎn)動(dòng)，試求轉(zhuǎn)動(dòng)，試求 1）細(xì)棒繞）細(xì)棒繞O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； 2）碰前棒對(duì)）碰前棒對(duì)O 點(diǎn)的點(diǎn)的角動(dòng)量；角動(dòng)量；3 ）碰后棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度）碰后棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 ?！纠?.10】一一質(zhì)量為質(zhì)量為m的子彈以水平速度的子彈以水平速度v0射穿靜止懸于頂端射穿靜止懸于頂端的均質(zhì)長(zhǎng)棒的下端。子彈穿出后其速度損失了的均質(zhì)長(zhǎng)棒的下端。子彈穿出后其速度損失了3/4，求子彈穿出，求子彈穿出后棒的角速度后棒的角速度。已知棒的長(zhǎng)度為。已知棒的長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M。 0vvmmlM、 解：解：取取細(xì)棒和子彈為系統(tǒng)，在碰撞過(guò)程中，細(xì)棒和子彈為系統(tǒng)，在碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)受到的外力：重力和軸的作用力，它系統(tǒng)

29、受到的外力：重力和軸的作用力，它們對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零。所以系統(tǒng)的角動(dòng)量們對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零。所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。守恒。 1320mlmlMlvv311-4400vvv094mMlv設(shè)設(shè)m射穿前為初態(tài)，射穿前為初態(tài)， m射穿后為末態(tài)。射穿后為末態(tài)。初態(tài)初態(tài)10Lmlv末態(tài)末態(tài)2213LmlMlv由角動(dòng)量守恒定律，得由角動(dòng)量守恒定律，得Fo0vmLM NgMgmm0vmgffgMNOMl 2【例例5.11】如如圖所示，一長(zhǎng)為圖所示，一長(zhǎng)為2l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的均勻細(xì)棒，可繞的均勻細(xì)棒，可繞中點(diǎn)的水平中點(diǎn)的水平軸軸O在在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)棒靜止在水平位置，豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)棒靜止在水平位置，一

30、質(zhì)量為一質(zhì)量為m的小球以速度的小球以速度v0垂直下落在棒的端點(diǎn)，設(shè)小球與棒垂直下落在棒的端點(diǎn)，設(shè)小球與棒作彈性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度作彈性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度v及棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度及棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度各為多少？各為多少？解解: 以小球和棒組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。以小球和棒組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。取小球和棒碰撞中間的任意狀態(tài)分析受取小球和棒碰撞中間的任意狀態(tài)分析受力力，則系統(tǒng)對(duì)，則系統(tǒng)對(duì)軸軸O的的角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒。 取垂直紙面向里為角動(dòng)量正向。取垂直紙面向里為角動(dòng)量正向。 0mlJm lvv2231)2(121MllMJ 對(duì)彈性碰撞對(duì)彈性碰撞，機(jī)械能機(jī)械能守恒守恒2220111222mm

31、Jvv聯(lián)立可解得聯(lián)立可解得033MmMmvv06(3 )mMm lv【例例5.12】一一質(zhì)量為質(zhì)量為M半徑為半徑為R的水平轉(zhuǎn)臺(tái)（可看作勻質(zhì)圓盤）的水平轉(zhuǎn)臺(tái)（可看作勻質(zhì)圓盤）可繞可繞通過(guò)中心的豎直光滑軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)質(zhì)量為通過(guò)中心的豎直光滑軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)質(zhì)量為m的人站在的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣邊緣。人和轉(zhuǎn)臺(tái)最初相對(duì)地面靜止。求當(dāng)人在轉(zhuǎn)臺(tái)上邊緣。人和轉(zhuǎn)臺(tái)最初相對(duì)地面靜止。求當(dāng)人在轉(zhuǎn)臺(tái)上邊緣走一周時(shí)走一周時(shí)，人和，人和轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)地面各轉(zhuǎn)過(guò)的角度是多少？轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)地面各轉(zhuǎn)過(guò)的角度是多少？OMmRx解解:對(duì)盤和人組成的系統(tǒng)，當(dāng)人走動(dòng)時(shí)系統(tǒng)所受到的對(duì)轉(zhuǎn)軸的合對(duì)盤和人組成的系統(tǒng)，當(dāng)人走動(dòng)時(shí)系統(tǒng)所受到的對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外

32、力矩為零，因此外力矩為零，因此系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣相對(duì)地面。設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣相對(duì)地面以以角速度角速度逆時(shí)針逆時(shí)針?lè)较蚶@軸走動(dòng)，人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為方向繞軸走動(dòng)，人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1。轉(zhuǎn)臺(tái)以角。轉(zhuǎn)臺(tái)以角速度速度相對(duì)地面順時(shí)針?lè)较蚶@軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為相對(duì)地面順時(shí)針?lè)较蚶@軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2。起。起始狀態(tài)系統(tǒng)的角動(dòng)量為零。則有始狀態(tài)系統(tǒng)的角動(dòng)量為零。則有021 JJ 2221MRmR即即令令tdd tdd tMRtmRdd21dd22 00d21dMm Mm21 當(dāng)人在盤上走完一周時(shí)，應(yīng)有當(dāng)人在盤上走完一周時(shí)，應(yīng)有 2 22mMM 2222222mMmmMM 37【例

33、例5.13】一一棒長(zhǎng)棒長(zhǎng)l,質(zhì)量質(zhì)量m,其質(zhì)量分布與其質(zhì)量分布與O點(diǎn)成正比，將細(xì)棒點(diǎn)成正比，將細(xì)棒放在粗糙的水平面上，棒可繞放在粗糙的水平面上，棒可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖，棒的初始角速點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖，棒的初始角速度為度為0,棒與桌面的摩擦系數(shù)為棒與桌面的摩擦系數(shù)為。求求:(1)細(xì)棒對(duì)細(xì)棒對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(2)細(xì)棒繞細(xì)棒繞O點(diǎn)的摩擦力矩。點(diǎn)的摩擦力矩。(3)細(xì)棒從以細(xì)棒從以0 開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止所經(jīng)歷的時(shí)間。開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止所經(jīng)歷的時(shí)間。O0 Z解：解：(1)dd?mrkr設(shè)則：20021dd22llrkr rklmmrl3842320022021dd22llmmmrJrmrrmlll細(xì)棒上距

34、細(xì)棒上距O點(diǎn)點(diǎn)r處長(zhǎng)處長(zhǎng)dr的線元所受的摩擦力和對(duì)的線元所受的摩擦力和對(duì)O點(diǎn)的摩擦力矩：點(diǎn)的摩擦力矩：2222dddd2ddd (mfm ggrgr rlmgMr frrzl 選 方向?yàn)檎?02022dd3lMmgMMrrmgll （3）由角動(dòng)量原理由角動(dòng)量原理0020d2132tM tJJmgltml glt 430 39R186 9610 .)(102 . 23600243 .2561sT 自轉(zhuǎn)角速度自轉(zhuǎn)角速度 112 T 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JmR11225 設(shè)縮后的角速度為設(shè)縮后的角速度為 ，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2JmR22225 解解: :已知已知由角動(dòng)量守恒得由角動(dòng)量守恒得 J

35、J1122 12212212115 110 JJRR.)(1022.1151212sTT 【例例5.14】太陽(yáng)半徑為太陽(yáng)半徑為6.96108m，自轉(zhuǎn)周期為，自轉(zhuǎn)周期為25.3天，若在天，若在演化過(guò)程演化過(guò)程中最后縮為半徑中最后縮為半徑5km中子星，而無(wú)質(zhì)量損失，試估中子星，而無(wú)質(zhì)量損失，試估算新的自轉(zhuǎn)周期。算新的自轉(zhuǎn)周期。5.6 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能一、一、 剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能222111222iiikiiEmmmvvv平22221)(21 Jrmiii 2222111()222iiii ii ikiiiEmmrmrv轉(zhuǎn)平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能 ：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 ：即：即：221 JEk

36、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)JLJJJEk2)(2121222 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)用角動(dòng)量表示為：用角動(dòng)量表示為：注意：注意：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能實(shí)質(zhì)與平動(dòng)動(dòng)能相同，表達(dá)式不同。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能實(shí)質(zhì)與平動(dòng)動(dòng)能相同，表達(dá)式不同。221122vkcckkEEEmJ平轉(zhuǎn)一般剛體動(dòng)能一般剛體動(dòng)能 ：二、二、 力矩的功和功率力矩的功和功率MFr sin？外力矩外力矩剛體剛體角位移角位移 d 21d MA力矩功的表達(dá)式力矩功的表達(dá)式由功的定義式由功的定義式: dcosFr ddMA ddsAFr位移質(zhì)點(diǎn)外力ddcosdAFrFs dsinFr F rz doPsddr1） M 恒定時(shí)恒定時(shí)2） 內(nèi)力矩做功為零。內(nèi)力矩做功為零。)(d1221 MMA說(shuō)明說(shuō)明 如果

37、有幾個(gè)外力矩對(duì)剛體做功，則各外力矩做功之和為如果有幾個(gè)外力矩對(duì)剛體做功，則各外力矩做功之和為 21212121 1 2 11d ddd niinniiMMMMAAiMM令令- 合外力矩合外力矩各外力矩做功所做的總功為合外力矩對(duì)剛體所做的功。各外力矩做功所做的總功為合外力矩對(duì)剛體所做的功。 21d MA根據(jù)功率的定義，力矩的功率可表示為根據(jù)功率的定義，力矩的功率可表示為 tAPddtMdd M MP PFv對(duì)比對(duì)比三、三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理 dddtJ ddAMJ 21 dJ21222121 JJ 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受到的合外力矩為設(shè)定

38、軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受到的合外力矩為M，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 ddMJJt21222121 JJA 合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。iiipgzmE 剛體剛體的重力勢(shì)能等于全部質(zhì)量集中于質(zhì)心處的質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能的重力勢(shì)能等于全部質(zhì)量集中于質(zhì)心處的質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能 。四、四、剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能五、五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理和機(jī)械能守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理和機(jī)械能守恒定律CpmgzE 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能iiizmg iiimzmmg 剛體中各質(zhì)元的重力勢(shì)能的總和稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的重力勢(shì)能。剛體中各質(zhì)元的重力勢(shì)能的總和

39、稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的重力勢(shì)能。 若若剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中受重力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中受重力矩M重重 及其它外力矩及其它外力矩M外外的的作用，則作用，則 2211222111dd22MMJJ 重重外外根據(jù)勢(shì)能定理根據(jù)勢(shì)能定理PEM 21d 重重)(12CCmgzmgzEJmgzJmgzMCC )(21122221)21d21 外外即即為為剛剛體體的的機(jī)機(jī)械械能能定定義義)212 JmgzEC (剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)功能原理的積分形式剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)功能原理的積分形式 EM 21d 外外EMd d外外剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)功能原理的微分形式剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)功能原理的微分形式 如果如果在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，除重力矩以外的其它外在剛體定軸

40、轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，除重力矩以外的其它外力矩對(duì)剛體做的功始終為零，力矩對(duì)剛體做的功始終為零，0d21 外外MCEEpk0E 如果如果在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，除重力矩以外的其它在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，除重力矩以外的其它外力矩對(duì)剛體做的功始終為零，則定軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)外力矩對(duì)剛體做的功始終為零，則定軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。械能守恒。46【例例5.15】已知已知滑輪的質(zhì)量為滑輪的質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R ，物體的質(zhì)量為，物體的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為，彈簧的勁度系數(shù)為k，斜面的傾角為，斜面的傾角為，物體與斜面間光滑，物體與斜面間光滑，物體從靜止釋放，釋放時(shí)彈簧無(wú)形變。設(shè)細(xì)繩不伸長(zhǎng)且與滑輪物體從靜

41、止釋放，釋放時(shí)彈簧無(wú)形變。設(shè)細(xì)繩不伸長(zhǎng)且與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，忽略軸間摩擦阻力矩。求物體沿斜面下滑間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，忽略軸間摩擦阻力矩。求物體沿斜面下滑x米米時(shí)的速度為多大？（滑輪視作薄圓盤）時(shí)的速度為多大？（滑輪視作薄圓盤）解：解： 選取定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的滑輪、彈簧、物體選取定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的滑輪、彈簧、物體和地球?yàn)橄到y(tǒng)，重力、彈性力均為系統(tǒng)和地球?yàn)橄到y(tǒng)，重力、彈性力均為系統(tǒng)內(nèi)保守力，而其它外力和非保守內(nèi)力均內(nèi)保守力，而其它外力和非保守內(nèi)力均不做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。不做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)設(shè)m未釋放時(shí)為初態(tài)，取此時(shí)重力勢(shì)能未釋放時(shí)為初態(tài)，取此時(shí)重力勢(shì)能為零。當(dāng)為零。當(dāng)m下滑下滑x 后為末態(tài)。后為末態(tài)。初

42、態(tài)：初態(tài)：00p0k EE末態(tài)：末態(tài)：222111(-sin )()222vEkx mgxmJ由機(jī)械能守恒定律，角量與線量的關(guān)系由機(jī)械能守恒定律，角量與線量的關(guān)系OMRmkmx聯(lián)立得聯(lián)立得222111(-sin )()0222vkx mgxmJRv221MRJ 24sin2mgxkxmMv48一一. 剛體角動(dòng)量和角速度的關(guān)系剛體角動(dòng)量和角速度的關(guān)系 5.7 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量 和角速度和角速度 方向一定相同嗎？方向一定相同嗎？ LO例：例：如圖由于繩的約束，如圖由于繩的約束， 固連球的輕桿只能固連球的輕桿只能 繞繞 Oz 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸轉(zhuǎn)動(dòng)，O 是是 桿的中點(diǎn)，但是：桿的中點(diǎn)，但是：

43、 OLz O prrpOLLL49繞繞 OO 軸轉(zhuǎn)，軸轉(zhuǎn)，因?yàn)榇藭r(shí)因?yàn)榇藭r(shí) 守恒。守恒。OL答：答：一般一般情況下，剛體的角動(dòng)量情況下，剛體的角動(dòng)量 和和角速度角速度 的方向不一定相同。的方向不一定相同。 L質(zhì)量均勻、幾何對(duì)稱的剛體，繞幾何對(duì)稱軸質(zhì)量均勻、幾何對(duì)稱的剛體，繞幾何對(duì)稱軸自轉(zhuǎn)時(shí)，自轉(zhuǎn)角動(dòng)量自轉(zhuǎn)時(shí)，自轉(zhuǎn)角動(dòng)量 / 自轉(zhuǎn)角速度自轉(zhuǎn)角速度 。L 【思考思考】剪斷繩瞬間如何運(yùn)動(dòng)？剪斷繩瞬間如何運(yùn)動(dòng)？OLOz O 50二二. 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng) 高速自轉(zhuǎn)物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)高速自轉(zhuǎn)物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象，如玩具陀螺：的現(xiàn)象，如玩具陀螺：PrecessionSpin52OCtLMdd

44、 d MLLM LL d 每一瞬時(shí)，角動(dòng)量每一瞬時(shí)，角動(dòng)量 只只改變方向而不改變改變方向而不改變大小大小，而同時(shí)，使，而同時(shí)，使角動(dòng)量角動(dòng)量 產(chǎn)生變化的力矩產(chǎn)生變化的力矩 也也隨之改變方向，使上面關(guān)系在隨之改變方向，使上面關(guān)系在每一瞬間每一瞬間總保持總保持成立，這就意味著剛體在作進(jìn)動(dòng)。成立，這就意味著剛體在作進(jìn)動(dòng)。MLL對(duì)對(duì)O點(diǎn)，分析對(duì)稱陀螺點(diǎn)，分析對(duì)稱陀螺自轉(zhuǎn)角動(dòng)量自轉(zhuǎn)角動(dòng)量 的變化：的變化：LrMgmLdL/ LLL 53O L sinsin JMLM進(jìn)動(dòng)角速度：進(jìn)動(dòng)角速度：tddLLdsind sinLtM ddLd進(jìn)動(dòng)穩(wěn)定后，總角速度：進(jìn)動(dòng)穩(wěn)定后，總角速度： 總總當(dāng)剛體高速自轉(zhuǎn)時(shí)有：當(dāng)

45、剛體高速自轉(zhuǎn)時(shí)有： 總總對(duì)非對(duì)稱剛體，自轉(zhuǎn)軸在進(jìn)動(dòng)中會(huì)出現(xiàn)對(duì)非對(duì)稱剛體，自轉(zhuǎn)軸在進(jìn)動(dòng)中會(huì)出現(xiàn)微小的微小的上下周期性的上下周期性的擺動(dòng)擺動(dòng) 章動(dòng)。章動(dòng)。 54三三. 自由度自由度自由度是確定力學(xué)體系空間幾何位形所需的自由度是確定力學(xué)體系空間幾何位形所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，與幾何約束條件直接相關(guān)。獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，與幾何約束條件直接相關(guān)。1. 質(zhì)點(diǎn)的自由度質(zhì)點(diǎn)的自由度 不受約束（自由）的質(zhì)點(diǎn)，不受約束（自由）的質(zhì)點(diǎn)， 約束在曲面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，約束在曲面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)， 約束在曲線上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，約束在曲線上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)， x, y, z 相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；自由度為自由度為 3，x, y, z 中有中有1個(gè)不獨(dú)立，

46、如個(gè)不獨(dú)立，如 z = z(x, y)；自由度為自由度為 2，x, y, z 有有2個(gè)不獨(dú)立，如個(gè)不獨(dú)立，如 z = z(x)，y = y(x)自由度為自由度為 1，55轉(zhuǎn)動(dòng)用轉(zhuǎn)動(dòng)用 3 個(gè)歐勒角描述：個(gè)歐勒角描述：6 = 3（基點(diǎn)平動(dòng)）（基點(diǎn)平動(dòng)）+ 3（繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）（繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）剛體最大自由度：剛體最大自由度： 進(jìn)動(dòng)角進(jìn)動(dòng)角 章動(dòng)角章動(dòng)角 自轉(zhuǎn)角自轉(zhuǎn)角56 例題例題11、在一個(gè)較大無(wú)摩擦的平均半徑為、在一個(gè)較大無(wú)摩擦的平均半徑為R的水平圓槽內(nèi)，的水平圓槽內(nèi)，放有兩個(gè)小球。質(zhì)量分別為放有兩個(gè)小球。質(zhì)量分別為m和和M。兩球可在圓槽內(nèi)自由滑兩球可在圓槽內(nèi)自由滑動(dòng)?，F(xiàn)將一不計(jì)長(zhǎng)度的壓縮的輕彈簧置于

47、兩球之間，如圖：動(dòng)?，F(xiàn)將一不計(jì)長(zhǎng)度的壓縮的輕彈簧置于兩球之間，如圖：(1)(1)將彈簧壓縮釋放后，兩球沿相反方向被射出，而彈簧本將彈簧壓縮釋放后，兩球沿相反方向被射出，而彈簧本身仍留在原處不動(dòng)。問(wèn)小球?qū)⒃诓蹆?nèi)何處發(fā)生碰撞？身仍留在原處不動(dòng)。問(wèn)小球?qū)⒃诓蹆?nèi)何處發(fā)生碰撞？(2)(2)設(shè)壓縮彈簧具有彈性勢(shì)能設(shè)壓縮彈簧具有彈性勢(shì)能E0 0，問(wèn)小球問(wèn)小球射出后，經(jīng)多少時(shí)間發(fā)生碰撞？射出后，經(jīng)多少時(shí)間發(fā)生碰撞？R解：解：(1)(1)設(shè)兩小球被射出后的速度分別為設(shè)兩小球被射出后的速度分別為 m和和 M，根據(jù)角動(dòng)量守恒有：根據(jù)角動(dòng)量守恒有：MmMmMmttmMMmMRmR22572 MmMmmM(2)由機(jī)械能

48、守恒定律得：由機(jī)械能守恒定律得：02)(2mEMmMMmmRtMM2 2MmmMmMMm解得：022)(21)(21ERMRmMm)(210MmMmERM58解：飛輪制動(dòng)時(shí)有角加速度解：飛輪制動(dòng)時(shí)有角加速度t0 20rad/s9 .20s5 0 rad/s7 .104min/r1000 t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。 2mRJNRRfMr 2mRNR N784 mRN 0Nfr 例題例題22一個(gè)飛輪的質(zhì)量為一個(gè)飛輪的質(zhì)量為69kg69kg，半徑為半徑為0.250.25m,m,正在以每分正在以每分10001000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)在要制動(dòng)飛

49、輪，要求在現(xiàn)在要制動(dòng)飛輪，要求在5.05.0秒內(nèi)使它均秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來(lái)。求閘瓦對(duì)輪子的勻減速而最后停下來(lái)。求閘瓦對(duì)輪子的壓力壓力N N為多大？為多大？(已知）已知）F059 例題例題44如圖所示如圖所示, ,一質(zhì)量為一質(zhì)量為m m的子彈以水平速度射入一靜止懸的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長(zhǎng)棒的下端于頂端長(zhǎng)棒的下端, ,穿出后速度損失穿出后速度損失3/4,3/4,求子彈穿出后棒的角求子彈穿出后棒的角速度速度 。已知棒長(zhǎng)為。已知棒長(zhǎng)為l, ,質(zhì)量為質(zhì)量為M. .v0vmM解解: :以以f f代表棒對(duì)子彈的阻力代表棒對(duì)子彈的阻力, ,對(duì)子彈有對(duì)子彈有: :003()4fdtmm vv

50、v子彈對(duì)棒的反作用力對(duì)棒的沖量子彈對(duì)棒的反作用力對(duì)棒的沖量矩為：矩為：Jdtflldtf因因, , 由兩式得由兩式得ff60v0vmM200391443mlmJM lJM lvv這 里請(qǐng)問(wèn)請(qǐng)問(wèn): :子彈和棒的總動(dòng)量守恒嗎子彈和棒的總動(dòng)量守恒嗎? ?為為什么什么? ?總角動(dòng)量守恒嗎總角動(dòng)量守恒嗎? ?若守恒若守恒, ,其方程其方程應(yīng)如何寫應(yīng)如何寫? ? 例題例題55質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為M1、M2, ,半半徑分別為徑分別為R1 、R2的兩均勻圓柱的兩均勻圓柱, ,可分別繞它們本身的軸轉(zhuǎn)動(dòng)可分別繞它們本身的軸轉(zhuǎn)動(dòng), ,二軸平行。二軸平行。R2M2R1M161R1M1R2M2原來(lái)它們沿同一轉(zhuǎn)向分別以原

51、來(lái)它們沿同一轉(zhuǎn)向分別以 10， 20的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng),然后平移二然后平移二軸使它們的邊緣相接觸軸使它們的邊緣相接觸,如圖所示如圖所示.求最后在接觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)求最后在接觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí),每每個(gè)圓柱的角速度個(gè)圓柱的角速度 1， 2。2211RR二圓柱系統(tǒng)角動(dòng)量守恒故有二圓柱系統(tǒng)角動(dòng)量守恒故有對(duì)上述問(wèn)題有以下的解法對(duì)上述問(wèn)題有以下的解法: :在接觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)在接觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí), ,二圓柱邊緣的二圓柱邊緣的線速度一樣線速度一樣, ,故有故有2211220110JJJJ622222211121,21RMJRMJ其中由以上二式就可解出由以上二式就可解出 1 1， 2 2。這種解法

52、對(duì)嗎。這種解法對(duì)嗎? ?答：原解認(rèn)為系統(tǒng)的總角動(dòng)量為二圓柱各自對(duì)自己的答：原解認(rèn)為系統(tǒng)的總角動(dòng)量為二圓柱各自對(duì)自己的軸的角動(dòng)量之和是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄到y(tǒng)的總角動(dòng)量只能軸的角動(dòng)量之和是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄到y(tǒng)的總角動(dòng)量只能對(duì)某一個(gè)軸進(jìn)行計(jì)算。另當(dāng)兩柱體邊緣沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)對(duì)某一個(gè)軸進(jìn)行計(jì)算。另當(dāng)兩柱體邊緣沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)時(shí) 1 1， 2 2方向相反，所以應(yīng)為方向相反，所以應(yīng)為2211RR正確的解法應(yīng)對(duì)兩圓柱分別使用角動(dòng)量定理，由于兩正確的解法應(yīng)對(duì)兩圓柱分別使用角動(dòng)量定理，由于兩柱接觸時(shí)摩擦力大小相等、方向相反柱接觸時(shí)摩擦力大小相等、方向相反, ,力矩和沖量矩的力矩和沖量矩的大小正比于半徑大小正比于半徑, ,方向相同方向相同: :)()(202222101111JfdtRfdtRJfdtRfdtR63得消去,fdt)()(2022101121JJRR1221RR從前已知由此可解得由此可解得:)( )(21222211121222112221111MMRRMRMRJR