理論力學(xué)3力系的平衡

1、理論力學(xué)課堂教學(xué)軟件（3）Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology第一篇第一篇 靜力學(xué)靜力學(xué)第第3章章 力系的平衡力系的平衡 第一篇第一篇 靜力學(xué)靜力學(xué) 3.1 3.1 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 3.7 3.7 結(jié)論與討論結(jié)論與討論 3.4 3.4 平衡方程的應(yīng)用平衡方程的應(yīng)用 3.5 3.5 靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 第第3章章 力系

2、的平衡力系的平衡 3.1 3.1 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 平衡：平衡：物體相對慣性參考系物體相對慣性參考系靜止靜止或作或作等速直線等速直線運(yùn)動(dòng)的狀運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。態(tài)。平衡是運(yùn)動(dòng)的一種特殊情形。平衡是運(yùn)動(dòng)的一種特殊情形。平衡是相對于確定的參考系而言的平衡是相對于確定的參考系而言的。剛體系統(tǒng)：剛體系統(tǒng)：由若干個(gè)剛體組成的系統(tǒng)。由若干個(gè)剛體組成的系統(tǒng)。1. 1.平衡的概念平衡的概念 3.1 3.1 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 慣性參考系：慣性參考系：固聯(lián)地球上的參考系。固聯(lián)地球上的參考系。剛體或剛體系統(tǒng)的平衡與否，取決于作用在其上的力系。剛體或剛體系統(tǒng)的平衡與否

3、，取決于作用在其上的力系。 力系的平衡力系的平衡是剛體和剛體系統(tǒng)平衡剛體和剛體系統(tǒng)平衡的充要條件。“力系平衡力系平衡”條件：條件：力系的力系的主矢主矢和力系和力系對任對任一點(diǎn)一點(diǎn)的的主矩主矩都都等于零。等于零。2. 2.平衡的充要條件平衡的充要條件 3.1 3.1 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 力系的平衡：力系的平衡：對剛體不產(chǎn)生任何作用效應(yīng)的力系。對剛體不產(chǎn)生任何作用效應(yīng)的力系。如果剛體或剛體系統(tǒng)保持平衡如果剛體或剛體系統(tǒng)保持平衡，則作用在剛體或剛體系統(tǒng)，則作用在剛體或剛體系統(tǒng)的力系如何？的力系如何？FR主矢主矢 MO 對任一點(diǎn)的主矩對任一點(diǎn)的主矩R10FFnii 10FnOOiiMM 3.

4、1 3.1 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 平衡方程的一般形式平衡方程的一般形式 空間力系的特殊情形空間力系的特殊情形 在直角坐標(biāo)系中的投影形式為在直角坐標(biāo)系中的投影形式為 niixRxFF10niiyRyFF10niizRzFF100)(1oinioFxxMM0)(1oinioFyyMM0)(1oinioFzzMM略去下標(biāo) i，空間任意力系空間任意力系平衡方程為：平衡方程為：000 xyzFFF000FFFxyzMMM1. 1.平衡方程的一般形式平衡方程的一般形式 3.

5、2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 R10FFnii 10FnOOiiMM即：即：力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，且力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，且各力對三個(gè)軸的矩的代數(shù)和也等于零。各力對三個(gè)軸的矩的代數(shù)和也等于零。上述上述6 6個(gè)平衡方程都是互相獨(dú)立的。個(gè)平衡方程都是互相獨(dú)立的。按力的作用線分布：按力的作用線分布：平面力系平面力系和和空間力系空間力系；按力的作用線關(guān)系：按力的作用線關(guān)系：匯交力系匯交力系、平行力系平行力系和和任意力系任意力系。力系的分類力系的分類2. 2.空間力系的特殊情形空間力系的特殊情形 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 空間匯

6、交力系：空間匯交力系：所有力的作所有力的作用線都相交于一點(diǎn)的力系。用線都相交于一點(diǎn)的力系。000 xyzFFF 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 由于三個(gè)力的投影方程滿足，由于三個(gè)力的投影方程滿足，則三個(gè)力矩方程自然滿足，則三個(gè)力矩方程自然滿足，平衡方程減少為：平衡方程減少為： 空間力偶系：空間力偶系：力偶作用面位于力偶作用面位于不同平面的力偶系。不同平面的力偶系。000FFFxyzMMM 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 平衡方程中的三個(gè)力的投影式平衡方程中的三個(gè)力的投影式自然滿足，其平衡方程為：自然滿足，其平衡方程為： 空間平行力系：空間平行力系：所有力的作用線所有

7、力的作用線相互平行的力系。相互平行的力系。自然滿足。于是自然滿足。于是, ,平衡方程為：平衡方程為： 0FzM0zF 00FFxyMM00yxFF, 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 若坐標(biāo)系的軸與各力平行，則上若坐標(biāo)系的軸與各力平行，則上述述6 6個(gè)平衡方程中個(gè)平衡方程中 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 平面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的一般形式 平面力系平衡方程的其他形式平面力系平衡方程的其他形式 平面力系：平面力系：所有力的作用線所有力的作用線都位于同一平面

8、的力系。都位于同一平面的力系。自然滿足，且自然滿足，且0zF 00FFxyMM0FzM0FOMyxzO1. 1.平面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的一般形式 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 于是，平面力系平衡于是，平面力系平衡方程的一般形式為：方程的一般形式為： 其中矩心其中矩心O為力系作用面為力系作用面內(nèi)的任意點(diǎn)。內(nèi)的任意點(diǎn)。 yxzO 000FoyxMFF上述方程是三個(gè)獨(dú)立方程，最多只能解三個(gè)未知力，稱上述方程是三個(gè)獨(dú)立方程，最多只能解三個(gè)未知力，稱為為“一矩式一矩式”平面力系平衡方程。平面力系平衡方程。 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程

9、解：解：對象：對象：剛架整體剛架整體 受力受力：如圖如圖 方程：方程：求圖示剛架的約束力。求圖示剛架的約束力。APabqAPqFAyFAxMA#, 0, 0qbFqbFFAxAxx#, 0, 0PFPFFAyAyy #2, 02, 0bqbPaMbqbPaMMAAAF 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 例題例題1 1求圖示梁的支座約束力。求圖示梁的支座約束力。解：解：對象：對象：梁梁 受力：受力：如圖如圖 方程：方程：由（1）（2）解得：ABCPabqmABCPqmFBFAyFAx#cos, 0cos, 0qqPFPFFAxAxx 10sin, 0qPFFFBAyy 20s

10、in, 0mbaPaFMBAqF#sinaPbmFAyq#sinabaPmFBq 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 例題例題2 2 Fx = 0 , MA = 0 , MB = 0 。 A、B 連線不垂直于連線不垂直于x 軸軸滿足第二式？滿足第二式？滿足第三式？滿足第三式？滿足第一式？滿足第一式？BAxFR“二矩式二矩式” 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 2. 2.平面力系平衡方程的其他形式平面力系平衡方程的其他形式 BAFRBFRAFRBAxFR MA = 0， MB = 0 , MC = 0。A、B、C 三點(diǎn)不三點(diǎn)不在同一條直線上在同一條直線上CB

11、ACFR“三矩式三矩式” 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 滿足第一式？滿足第一式？滿足第二式？滿足第二式？滿足第三式？滿足第三式？BFRAFRBAFRCBAFR注注 意意1.1.平面問題三種形式的平衡方程：平面問題三種形式的平衡方程：“一矩式一矩式”、 “二二矩式矩式”、 “三矩式三矩式” 。2.2.求解時(shí)應(yīng)根據(jù)具體問題而定，只能選擇其中的一種求解時(shí)應(yīng)根據(jù)具體問題而定，只能選擇其中的一種形式，且列三個(gè)平衡方程，求解三個(gè)未知力。形式，且列三個(gè)平衡方程，求解三個(gè)未知力。3.3.若列第四個(gè)方程，它是不獨(dú)立的，是前三個(gè)的線性若列第四個(gè)方程，它是不獨(dú)立的，是前三個(gè)的線性組合。組合。

12、4.4.盡可能地使每一個(gè)方程含有一個(gè)未知力，避免聯(lián)立盡可能地使每一個(gè)方程含有一個(gè)未知力，避免聯(lián)立求解。求解。 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 1、空間任意力系的平衡條件、空間任意力系的平衡條件,R21OnMFFFF0M0FOR,平衡平衡空間任意力系簡化空間任意力系簡化0000RzyxFFFF0)(0)(0)(0FFFMzyxOMMM空間任意力系平衡的充分必要條件：空間任意力系平衡的充分必要條件：總結(jié)：各類力系的平衡條件總結(jié)：各類力系的平衡條件2、其它力系的平衡條件、其它力系的平衡條件空間問題空間問題,000zyxFFF平面問題平面問題,00yxFF,0)(0)(0)(FF

13、FzyxMMM空間問題空間問題平面問題平面問題 0M0RF匯交力系平衡的充分必要條件：匯交力系平衡的充分必要條件：力偶系平衡的充分必要條件力偶系平衡的充分必要條件：0OM總結(jié)：各類力系的平衡條件總結(jié)：各類力系的平衡條件平行力系平衡的充分必要條件平行力系平衡的充分必要條件：,0)(0)(0FFyxzMMF空間問題空間問題xyzo平面問題平面問題xyo0)(0FOyMF總結(jié)：各類力系的平衡條件總結(jié)：各類力系的平衡條件平面任意力系平衡的充分必要條件：平面任意力系平衡的充分必要條件：xyO0)(00FOyxMFF0)(0)(0FFBAxMMFA、B 連線與連線與Ox 軸不垂直軸不垂直二矩式二矩式0)(

14、0)(0)(FFFCBAMMMA、B、C三點(diǎn)不共線三點(diǎn)不共線三矩式三矩式總結(jié)：各類力系的平衡條件總結(jié)：各類力系的平衡條件 3.4 3.4 平衡方程的應(yīng)用平衡方程的應(yīng)用 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 圖示結(jié)構(gòu)中，圖示結(jié)構(gòu)中，A、B、C三處均為鉸鏈約束。橫桿三處均為鉸鏈約束。橫桿AD在在D處承受處承受集中載荷集中載荷FP，結(jié)構(gòu)各部分尺寸均示于圖中，已知，結(jié)構(gòu)各部分尺寸均示于圖中，已知FP和和l。試求。試求A、C處約束力。處約束力。FP 3.4 3.4 平衡方程的應(yīng)用平衡方程的應(yīng)用 解：解：對象：對象：整體整體 受力：受力：如圖如圖FAyFAxFPFCB 3.4 3.4 平衡方程的應(yīng)用平衡方程的

15、應(yīng)用 方程：方程： 02, 0lFdFMpCBAF 0, 0lFlFMpAyBF0cos, 0CBAxxFFF#22pCBFF#pAyFF#222pCBAxFFF 02, 0lFlFMpAxcF#2pAxFF三矩式？三矩式？ 平面剛架的所有外力的作用平面剛架的所有外力的作用線都位于剛架平面內(nèi)。線都位于剛架平面內(nèi)。A處為處為固定端約束。若圖中固定端約束。若圖中q、FP、M、l等均為已知。等均為已知。試試求：求：A處的約束力。處的約束力。 3.4 3.4 平衡方程的應(yīng)用平衡方程的應(yīng)用 解：解：對象：對象：平面剛架平面剛架 受力：受力：如圖如圖FAyMAqFAx 3.4 3.4 平衡方程的應(yīng)用平衡方

16、程的應(yīng)用 方程：方程： , 023, 0lqllFMMMpAAF#232qllFMMpA, 0, 0qlFFAxx#qlFAx, 0, 0pAyyFFF#pAyFF驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性的方法驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性的方法可以將作用在平衡對象上的所有力對平面內(nèi)可以將作用在平衡對象上的所有力對平面內(nèi)任意點(diǎn)（包括剛架上的點(diǎn)和剛架外的點(diǎn)）取任意點(diǎn)（包括剛架上的點(diǎn)和剛架外的點(diǎn)）取矩。若這些力矩的代數(shù)和為零，則表示所得矩。若這些力矩的代數(shù)和為零，則表示所得結(jié)果是正確的，否則就是不正確的。結(jié)果是正確的，否則就是不正確的。 已知：已知：塔式起重機(jī)塔式起重機(jī)FP=700kN, ,W=200kN ( (最大起重量最大

17、起重量) )，尺寸如圖。，尺寸如圖。求：求：1.保證滿載和空載時(shí)不致翻倒，平衡塊保證滿載和空載時(shí)不致翻倒，平衡塊FQ=？2.當(dāng)當(dāng)FQ=180kN時(shí)，時(shí)，求滿載時(shí)軌道求滿載時(shí)軌道A、B給起重機(jī)輪子的反力？給起重機(jī)輪子的反力？ 3.4 3.4 平衡方程的應(yīng)用平衡方程的應(yīng)用 FQFPAB0AFkN 75QF限制條件：限制條件：解：解：1.求平衡塊求平衡塊（2）空載時(shí)）空載時(shí)（W=0）0)(FAM0) 22(2) 26(BPQFFF限制條件為：限制條件為：0BF解得：解得：kN 350QF因此保證空、滿載均不倒，因此保證空、滿載均不倒，F(xiàn)Q應(yīng)滿足如下關(guān)系：應(yīng)滿足如下關(guān)系：kN 350kN 75Q解得：

18、解得： 3.4 3.4 平衡方程的應(yīng)用平衡方程的應(yīng)用 0FBM021222226QWFFFPAFQFPAB（1）滿載時(shí)滿載時(shí)FAFB對象：對象：整個(gè)塔吊；整個(gè)塔吊；受力：受力：如圖；如圖；0) 212(42) 26 (PQWFFFB0)(FAM0PQWFFFFBA2.求當(dāng)求當(dāng)FQ=180kN，滿載，滿載W=200kN時(shí)，時(shí)，F(xiàn)A ,FB為多少為多少解得：解得： 3.4 3.4 平衡方程的應(yīng)用平衡方程的應(yīng)用 0yFFQFPABFAFB由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： kN210AFkN870BFzxyOCABD4530W AB、AC、AD三桿由活動(dòng)三桿由活動(dòng)鉸連接于鉸

19、連接于A處，處，B、C、D均為均為固定球鉸支座。在固定球鉸支座。在A處懸掛重處懸掛重物，重物的重量物，重物的重量W W為已知。為已知。試求：試求：三桿的受力。三桿的受力。6045 3.4 3.4 平衡方程的應(yīng)用平衡方程的應(yīng)用 zxyOCABD4530W6045受力：受力：如圖如圖方程：方程： 1045cos60sin, 0ADABxFFF 2060cos, 0WFFADy 3045cos60sin, 0ADACzFFFzABFADFACF(1)(2)(3)(1)(2)(3)聯(lián)立，得到聯(lián)立，得到#2WFAD#26WFAC#26WFAB 3.4 3.4 平衡方程的應(yīng)用平衡方程的應(yīng)用 解：解：對象：

20、對象：A鉸鉸 水力渦輪發(fā)電機(jī)的主軸。水力推動(dòng)渦水力渦輪發(fā)電機(jī)的主軸。水力推動(dòng)渦輪轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶矩輪轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶矩Mz=1200 N.m。錐齒輪錐齒輪B處處受到的力分解為三個(gè)分力：圓周力受到的力分解為三個(gè)分力：圓周力Ft，軸，軸向力向力Fa和徑向力和徑向力Fr。三者大小的比例為。三者大小的比例為Ft : Fa : Fr=1 : 0.32 : 0.17。已知渦輪連同軸和已知渦輪連同軸和錐齒輪的總重量為錐齒輪的總重量為W=12kN，其作用線沿，其作用線沿軸軸Cz；錐齒輪的平均半徑；錐齒輪的平均半徑OB=0.6m。試求：試求：止推軸承止推軸承C和軸承和軸承A處的約束力。處的約束力。 3.4 3.4 平衡方程

21、的應(yīng)用平衡方程的應(yīng)用 解：解：對象：對象： “軸錐齒輪渦輪軸錐齒輪渦輪”組成的系統(tǒng)組成的系統(tǒng) 0)(FzM0tzMFOB得到作用在錐齒輪上的圓周力得到作用在錐齒輪上的圓周力 N2000tF受力：受力： 如圖如圖 3.4 3.4 平衡方程的應(yīng)用平衡方程的應(yīng)用 方程：方程：再由三個(gè)力的數(shù)值比，得到再由三個(gè)力的數(shù)值比，得到 N640aFN340rF最后應(yīng)用空間力系的平衡方程，可以寫出最后應(yīng)用空間力系的平衡方程，可以寫出 0zF0aFPFCz 0)(FyMt340AxFF 0)(FxM06 . 043arFFFAy 0yF0rFFFCyAy 0 xF0tFFFCxAx由此解得由此解得 N325AyFN

22、7 .14CyFkN67. 2AxF667NCxF kN6 .12CzF 3.5 3.5 靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 靜定問題：靜定問題：平衡問題中，未知力的個(gè)數(shù)正好等于獨(dú)立平平衡問題中，未知力的個(gè)數(shù)正好等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為衡方程的數(shù)目。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)。 工程上，為了提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度，或者為了滿工程上，為了提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度，或者為了滿足其他工程要求，常常在靜定結(jié)構(gòu)上再附加一個(gè)或幾個(gè)足其他工程要求，常常在靜定結(jié)構(gòu)上再附加一個(gè)或幾個(gè)約束。約束。 3.5 3.5 靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念

23、 靜不定問題靜不定問題（超靜定問題）：（超靜定問題）：平衡問題中，未知約束力平衡問題中，未知約束力的個(gè)數(shù)大于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。這類問題稱為或相應(yīng)的個(gè)數(shù)大于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。這類問題稱為或相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為的結(jié)構(gòu)稱為靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)（超靜定結(jié)構(gòu)）（超靜定結(jié)構(gòu)）。 靜不定次數(shù)：靜不定次數(shù)：靜不定問題中，未知量的個(gè)數(shù)與獨(dú)立的平靜不定問題中，未知量的個(gè)數(shù)與獨(dú)立的平衡方程數(shù)目衡方程數(shù)目之差。之差。關(guān)于靜不定問題的基本解法將在材料力學(xué)中介紹。關(guān)于靜不定問題的基本解法將在材料力學(xué)中介紹。 多余約束：多余約束：與靜不定次數(shù)對應(yīng)的約束，對于結(jié)構(gòu)保持靜與靜不定次數(shù)對應(yīng)的約束，對于結(jié)構(gòu)保持靜定是多余的，因而稱為

24、多余約束。定是多余的，因而稱為多余約束。靜定（未知數(shù)三個(gè)）靜定（未知數(shù)三個(gè)）靜不定（未知數(shù)四個(gè)）靜不定（未知數(shù)四個(gè)） 3.5 3.5 靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念 FAxFAyFB思考題思考題1：下面結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)還是靜不定結(jié)構(gòu)呢？下面結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)還是靜不定結(jié)構(gòu)呢？BBFAxFAyFAxFAyPPPPFPFPF 3.5 3.5 靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念 思考題思考題2：判斷各圖的超靜定次數(shù)。判斷各圖的超靜定次數(shù)。 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 剛體系統(tǒng)剛體系統(tǒng)（rigid multibody syste

25、m）：）： 由兩個(gè)或兩個(gè)以由兩個(gè)或兩個(gè)以上的剛體所組成的系統(tǒng)。上的剛體所組成的系統(tǒng)。剛體系統(tǒng)平衡問題的特點(diǎn)是：剛體系統(tǒng)平衡問題的特點(diǎn)是：僅僅考察系統(tǒng)的僅僅考察系統(tǒng)的整體整體或某或某個(gè)個(gè)局部局部（單個(gè)剛體或局部剛體系統(tǒng)），不能確定全部未（單個(gè)剛體或局部剛體系統(tǒng)），不能確定全部未知力。知力。 為了解決剛體系統(tǒng)的平衡問題，需將平衡的概念加為了解決剛體系統(tǒng)的平衡問題，需將平衡的概念加以擴(kuò)展，即：以擴(kuò)展，即：當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體都平當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體都平衡。衡。 根據(jù)這一重要概念，應(yīng)用平衡方程，即可求解剛體根據(jù)這一重要概念，應(yīng)用平衡方程，即可求解剛體系統(tǒng)的平衡問題。系統(tǒng)的平衡問

26、題。當(dāng)研究物體系統(tǒng)的平衡時(shí)，研究對象當(dāng)研究物體系統(tǒng)的平衡時(shí)，研究對象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個(gè)物體?？梢允钦w，也可以是局部，也可以是單個(gè)物體。 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 例題例題1 1 結(jié)構(gòu)由桿結(jié)構(gòu)由桿AB與與BC在在B處鉸接而成。結(jié)構(gòu)處鉸接而成。結(jié)構(gòu)A處為固定端，處為固定端，C處為處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在輥軸支座。結(jié)構(gòu)在DE段承受均布載荷作用，載荷集度為段承受均布載荷作用，載荷集度為q；E處作處作用有外加力偶，其力偶矩為用有外加力偶，其力偶矩為M。若。若q、l、M等均為已知，試求等均為已知，試求A、C二處的約束力。二處的約束力。 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡

27、問題剛體系統(tǒng)平衡問題 Bu u 分析：分析：靜不定問題靜不定問題? ? u 平衡條件！平衡條件！yx建立坐標(biāo)！建立坐標(biāo)！ 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 解：解：對象：對象：整體整體 受力：受力：圖圖（a） 方程：方程：（a） , 0 xF#0AxF02, 0RCAyyFlqFF 0422, 0lFMllqMMRCAAF(1)(2)(3) 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 FRCFAxFAyMA對象：對象：桿桿BC受力：受力：圖圖（b）方程：方程：（b） , 022lFMllqMRCBF#24lMqlFRC(4)將（將（4 4）代入（）代入（2 2），得：），

28、得：#247lMqlFAy(5)將（將（4 4）代入（）代入（3 3），得：），得：#32MqlMA(6) 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 , 0 xF#0AxF02, 0RCAyyFlqFF 0422, 0lFMllqMMRCAAF(1)(2)(3)FRCFBxFByB練習(xí)練習(xí)1 求圖示多跨靜定梁的支座約束力。求圖示多跨靜定梁的支座約束力。CBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBqCDCBAD解：解：對象：對象：CD梁 受力：受力：如右圖 方程：方程：對象：對象：整體受力：受力：如右圖方程：方程：#0, 0AxxFF 104, 0DBAyyFqFFFF1

29、32BFFq1122AyFFq聯(lián)立(1)(2)，得 2086442, 0DBAFqFFMF #23, 02333, 0qFqFMDDCF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束力。求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束力。CBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx對象：對象：AB梁梁受力：受力：如右圖如右圖方程：方程：解：解：對象：對象：BC梁梁 受力：受力：如右圖如右圖 方程：方程：#, 0, 0bMFFMbFMBCC 10, 0BAxxFFFF#, 0, 0qaFqaFFAyAyy 202, 0aFaqabaFMMBAAFBBFF 將將 代入代入(1)(

30、2)，得到，得到#bMFFAx#AM 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 例題例題2 2例題例題3 3圖示三鉸拱固定鉸支座水平方向有沒有約束力？圖示三鉸拱固定鉸支座水平方向有沒有約束力？解：解：對象：對象：整體整體 受力：受力：如圖如圖 方程：方程：FAxFAyFCxFCy , 0FAM#2, 02PPFPFaFbaPaFbaPcycy , 0FCM#2, 02PPFPFbaPaFbaPaFAyAy解：解：對象：對象：右半拱右半拱 受力：受力：如圖如圖 方程：方程：FBxFByFCxFCy , 0FBM#2, 0PFbaaPFaFaFPbcxcycx, 0 xF 10CxAxFF

31、#2PFbaaPFAx代入（代入（1），得），得 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 aa2a2aPbbPPPP圖示結(jié)構(gòu)，試求鉛直桿圖示結(jié)構(gòu)，試求鉛直桿AO上的鉸鏈上的鉸鏈A、C和和O所受的力。所受的力。受力：受力：如圖如圖方程：方程： , 02, 0)(OyBaFMF#0OyF（1 1） 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 解：解：aaaaF對象：整體對象：整體F解：解：對象：對象：整體整體對象：對象：桿桿CD受力：受力：如圖如圖方程：方程：0, 0)(aFFaMCyEF#CyCyFFF（2 2） 0,2, 0)(aFFaMCxOF#2CxCxFFF（3 3） 3

32、.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 #0OyF（1 1） 解：解：aaaaFO對象：桿對象：桿AB受力：圖（受力：圖（c）方程：方程：02, 0)(CxOxAaFaFMF（4） 0, 0OxCxAxxFFFF（5） 0, 0OyCyAyyFFFF（6） 將（將（3）代入（）代入（4），得：），得： #FFOx（7） 將（將（3）和（）和（7）代入（）代入（5），得：），得： #FFAx（8） 將（將（1）和（）和（2）代入（）代入（6），得：），得： #FFAy（9） 各桿各桿自重不計(jì)，自重不計(jì)，在在A、E、F、G處均為處均為鉸接，鉸接，B處為光滑接觸。在處為光滑接觸。在C、D兩處

33、分兩處分別作用力別作用力P1和和P2，且，且P1P2500 N。求：求：F處的約束力。處的約束力。2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB解：解：對象：對象：整體整體 受力：受力：如右圖如右圖 方程：方程： NFFPPMBBA1000, 0462, 012F 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 解得：解得：FFxFGyFBFGBFGxFFyFFx對象：對象：桿桿BG受力：受力：如右圖如右圖方程：方程：P1P2ADEFGBCFAxFAyFB #500, 022, 022NPFFPMFyFyEF , 0224, 0FxFyBGFFFMF#1

34、500NFFxP2DEFFEyFFyFEx對象：對象：桿桿DF受力：受力：如右圖如右圖方程：方程： 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 構(gòu)架在構(gòu)架在H，G，E處為鉸鏈連接，已知處為鉸鏈連接，已知P和和Q，不計(jì)構(gòu)件自重和摩擦。，不計(jì)構(gòu)件自重和摩擦。試求：試求：固定鉸支座固定鉸支座A和和C的約束力以及桿的約束力以及桿E F上銷釘上銷釘K的約束力。的約束力。 （a）FAxFCxFAyFCyFTFKFHxFHyHKF（b）FKFDyFDxFCxFCyCGK（c）#4)2( 3QPFCy#467QPFAy#2PFK#46QPFCx#42PQFAx0)(FAM0)(FCM0)(FHM0)(F

35、GM0 xF 10CxAxFFQ 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 練習(xí)練習(xí)2 2 兩根鉛直梁兩根鉛直梁AB、CD與水平梁與水平梁BC鉸接，鉸接，B、C、D均為光滑鉸均為光滑鉸鏈，鏈，A為固定支座，各梁的長度均為為固定支座，各梁的長度均為l2 m2 m，受力情況如圖所示。已，受力情況如圖所示。已知水平力知水平力F6 6kN，M4 4 kNm，q3 3 kN/ /m。求固定端。求固定端A及鉸鏈及鉸鏈C的約束力。的約束力。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解：解：對象：對象：BC 受力：受力：如右圖如右圖 方程：方程： #2, 0, 0kNlMFlFMM

36、CyCyBF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 FCDFCxFCyFDxFDyABCDF2l/3l/2 Mq0對象：對象：CD受力：受力：如右圖如右圖方程：方程： #432, 032, 0kNFFlFlFMCxCxDF #6, 0321, 00mkNMlFlFllqMMMACxCyAAF#1, 021, 00kNFFlqFFAxCxAxx對象：對象：ABC受力：受力：如右圖如右圖方程：方程：Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA#2, 0, 0kNFFFFFCyAyCyAyy 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 三無重桿三無重桿AC、BD、CD如圖鉸接，如圖鉸接

37、，B處處為光滑接觸，為光滑接觸，ABCD為正方形，在為正方形，在CD桿距桿距C三分之一處作用一垂直力三分之一處作用一垂直力P。求：求：鉸鏈鉸鏈 E處的約束力。處的約束力。PlDl2l/3CABEPDCABEFAxFAyFB0, 0AxxFFPFPFFFAyBAyy31, 0, 0 PFlPlFMBBA32, 032, 0F解：解：對象：對象：整體整體 受力：受力：如右圖如右圖 方程：方程： 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 方法方法1 1：分別以分別以BD和和AC為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。用用FE1、FE2表示的約束力和用表示的約束力和用FEx、FEy表表示的

38、約束反力本質(zhì)上是同一個(gè)力。示的約束反力本質(zhì)上是同一個(gè)力。CAEFAxFAyFExFEyFE2FE1DBEFDxFDyFE2FE1FB #3222, 022, 022PFFlFlFMBEBEDF #32, 022, 011PFlFlFlFMEEAyAxCF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 下面用不同的方法求鉸鏈下面用不同的方法求鉸鏈 E 的受力。的受力。PDCABEFAxFAyFBEPD2l/3CB方法方法2 2：先以先以DC為研究對象。為研究對象。再以再以BDC為研究對象。為研究對象。類似地，亦可以類似地，亦可以DC為研究對象，求為研究對象，求FDy，再以再以ACD為研究對象

39、求解。為研究對象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy#31, 0, 0PFFFPFFEyBCyEyy #32, 032, 0PFlPlFMCyCyDF #, 0322, 0PFlPlFlFMExEyExCF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 PDCABEFAxFAyFB方法方法3 3：分別以分別以ACD和和AC為研究對象。為研究對象。聯(lián)立求解以上兩方程即得同樣結(jié)果。聯(lián)立求解以上兩方程即得同樣結(jié)果。類似地，亦可以類似地，亦可以BDC和和BD為研究對象，為研究對象，進(jìn)行求解。進(jìn)行求解。P2l/3DCAEFExFEyFDxFDyFAxFAyCAEF

40、AxFAyFExFEyFCxFCy 103222, 0lPlFlFlFMEyExAxDF 2022, 0lFlFlFlFMEyExAyAxCF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 ABCD練習(xí)練習(xí)3 3 三根等長同重均質(zhì)桿三根等長同重均質(zhì)桿( (重重W) )如圖在鉛垂面內(nèi)如圖在鉛垂面內(nèi)以鉸鏈和繩以鉸鏈和繩EF構(gòu)成正方形。已知：構(gòu)成正方形。已知：E、F是是AB、BC中點(diǎn)，中點(diǎn)，AB水平，求繩水平，求繩EF的拉力。的拉力。解法解法1 1：取取AB分析，受力如圖。不妨設(shè)桿長為分析，受力如圖。不妨設(shè)桿長為l。再以整體為研究對象，受力如圖。再以整體為研究對象，受力如圖。ABCDFByFBx

41、ABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDy 1045sin22, 0lFlWlFMTAyBF 203, 0WFFFDyAyy 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 最后以最后以DC為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)得：得：42TFWFCyFCxDCFDxFDyW 302, 0lWlFMDyCF聯(lián)立求解聯(lián)立求解(4)(4)、(5)(5)、(6)(6)即可的同樣結(jié)果。即可的同樣結(jié)果。最后以整體為研究對象，受力如圖。最后以整體為研究對象，受力如圖。ABCDWWWFAxFAyFDxFDy解法解法2 2：先以先以BC

42、為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。再以再以DC為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。FCxFCyFBxFByBCWFTFCyFCxDCFDxFDyW 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 40245sin, 0lFlFMTCxBF 50, 0CxDxxFFF 6022, 0WllWlFMDxAFABEDax1234EACBD練習(xí)練習(xí)4 4 編號為編號為1 1、2 2、3 3、4 4的四根桿件組成平面結(jié)構(gòu)，的四根桿件組成平面結(jié)構(gòu)，其中其中A、C、E為光滑鉸鏈，為光滑鉸鏈，B、D為光滑接觸，為光滑接觸，E為為中點(diǎn)，各桿自重不計(jì)。在水平桿中點(diǎn)，各桿自重不計(jì)。在水平桿 2

43、2 上作用一鉛垂向上作用一鉛垂向下的力下的力 F，試證明無論力，試證明無論力 F 的位置的位置 x 如何改變，其如何改變，其豎桿豎桿 1 1 總是受到大小等于總是受到大小等于F 的壓力。的壓力。F解：解：本題為求二力桿（桿本題為求二力桿（桿1 1）的內(nèi)力）的內(nèi)力FA1或或FC1。為。為此先取桿此先取桿2 2、4 4及銷釘及銷釘A為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。FFA1FEyFExFND1NN()0:()0( )2222EABDMbbbbFFxFFaFb上式中上式中FND和和FNB為未知量，必須先求得；為此再為未知量，必須先求得；為此再分別取整體和桿分別取整體和桿2 2為研究對象。為

44、研究對象。FNB 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 ABFFAyFAxN()0:0CDMFbFxF取整體為研究對象，受力如圖。取整體為研究對象，受力如圖。FNBxa1234EACBDbNDFxFbN()0:0ABMF bFxF取水平桿取水平桿2為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。NBFxFb代入（代入（a）式得）式得1AFF FA1為負(fù)值，說明桿為負(fù)值，說明桿1 1受壓，且與受壓，且與x無關(guān)。無關(guān)。FFNDFCyFCx 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 F2F1ABCD4.54.53422練習(xí)練習(xí)5 5 構(gòu)架尺寸如圖所示構(gòu)架尺寸如圖所示( (尺寸單位為尺

45、寸單位為m) )，不計(jì)各桿件自重，載荷，不計(jì)各桿件自重，載荷F1=120 kN, F2=75 kN。求。求AC及及CD兩桿所受的力。兩桿所受的力。F2F1ABCFCDFAxFAyFAD解：解：1 1、取三角形、取三角形ABC分析，其中分析，其中A、C處應(yīng)帶有銷釘：處應(yīng)帶有銷釘：()0:AMF214327.51240:55CDCDFFFF 43145.83kNCDF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 F2F1ABCD4.54.53422F1BCFBxFByFCAFCD2 2、取、取BC分析，注意在分析，注意在C處應(yīng)帶有銷釘。處應(yīng)帶有銷釘。()0:BMF122444.5990:51

46、24CDCAFFF 179.19 kNCAF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 練習(xí)練習(xí)6 6 求圖示三鉸剛架的支座約束力。求圖示三鉸剛架的支座約束力。解：解：對象：整體對象：整體 受力：如圖受力：如圖 方程：方程：將將(3)(3)代人代人(2)(2)，得：，得：CBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy1142AyFqaF 10, 0BxAxxFFFF 20, 0qaFFFByAyy 3#4321, 0223, 0qaFFaFaqaFaMByByAF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 對象：對象：AC受力：如圖受力：如圖方程：方程：()0:0CAxAy

47、MF aF aF1142AxAyFFqaF1124BxFFqa FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF(4)將將FAy代人代人(4)，得，得將FAx代人(1)，得0:0 xAxBxFFFF(1) 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 xyzABCDE3030G均質(zhì)長方形板均質(zhì)長方形板ABCDABCD重重G=200NG=200N，用球，用球形鉸鏈形鉸鏈A A和碟形鉸鏈和碟形鉸鏈B B固定在墻上，固定在墻上，并用繩并用繩ECEC維持在水平位置，求繩的維持在水平位置，求繩的拉力和支座的反力。拉力和支座的反力。xyzABCDE3030GAXAYAZTBXBZ解：解：以板為研究對象，

48、受力如圖，以板為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。建立如圖所示的坐標(biāo)。030sin30cos:0TXXFBAx030cos:02TYFAy030sin:0GTZZFBAz 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 xyzABCDE3030GAXAYAZTBXBZ解之得：0BBZXNT200NXA6 .86NYA150NZA100030sin:0)(21ABGABZABTMBxF030sin:0)(21ADTADGMyF0:0)(ABXMBzF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 3.7 3.7 結(jié)論與討論結(jié)論與討論第第3章章 力系的平衡力系的平衡 初學(xué)者常常不習(xí)慣根

49、據(jù)約束的性質(zhì)分析約束力，而是根據(jù)不初學(xué)者常常不習(xí)慣根據(jù)約束的性質(zhì)分析約束力，而是根據(jù)不正確的正確的直觀直觀判斷確定約束力。判斷確定約束力。 錯(cuò)在哪里？錯(cuò)在哪里？ 受力分析的重要性受力分析的重要性 錯(cuò)在哪里？錯(cuò)在哪里？ 3.7 3.7 結(jié)論與討論結(jié)論與討論 認(rèn)真理解、掌握并能靈活運(yùn)用認(rèn)真理解、掌握并能靈活運(yùn)用“系統(tǒng)整體平衡，組成系統(tǒng)系統(tǒng)整體平衡，組成系統(tǒng)的每個(gè)局部必然平衡的每個(gè)局部必然平衡”的重要概念。的重要概念。 要靈活選擇研究對象要靈活選擇研究對象 注意區(qū)分內(nèi)約束力與外約束力、作用與反作用力。注意區(qū)分內(nèi)約束力與外約束力、作用與反作用力。 分析和處理剛體系統(tǒng)平衡問題要點(diǎn)分析和處理剛體系統(tǒng)平衡問

50、題要點(diǎn) 3.7 3.7 結(jié)論與討論結(jié)論與討論本章作業(yè)第第1次次P6869 ：32, 36(a)(q=20kN/m)第第2次次P7072：310，312，315（桿（桿BC的的受受力力FBC）補(bǔ)充習(xí)題：見補(bǔ)充習(xí)題：見word文檔（例題文檔（例題46）Nanjing University of Technology附錄附錄1 1： 習(xí)題解答習(xí)題解答作業(yè)中存在的問題作業(yè)中存在的問題2、受力圖問題。、受力圖問題。1）無受力圖、畫在原圖無受力圖、畫在原圖（原處打（原處打“？”）。）。2）受力圖）受力圖要完整要完整（畫上所有的力，包括不要求解的力）。（畫上所有的力，包括不要求解的力）。3）受力要）受力要符

51、合約束特點(diǎn)符合約束特點(diǎn)，不能隨意臆造（如柔索約束、滑塊滑動(dòng)的，不能隨意臆造（如柔索約束、滑塊滑動(dòng)的雙側(cè)約束）。雙側(cè)約束）。4）分布荷載要）分布荷載要畫在力的作用線上畫在力的作用線上。3、方程問題。、方程問題。1）根據(jù)受力圖列方程，對象要明確，）根據(jù)受力圖列方程，對象要明確，要讓別人能看懂要讓別人能看懂。2）根據(jù)公式列方程（）根據(jù)公式列方程（一矩式一矩式、二矩式、三矩式），要明確寫出來，每、二矩式、三矩式），要明確寫出來，每一組一組只有三個(gè)獨(dú)立方程只有三個(gè)獨(dú)立方程，然后進(jìn)一步代入數(shù)據(jù)寫出表達(dá)式。，然后進(jìn)一步代入數(shù)據(jù)寫出表達(dá)式。3）區(qū)分矢量和標(biāo)量。區(qū)分矢量和標(biāo)量。方程是方程是矢量方程矢量方程在各個(gè)坐標(biāo)軸上的在各個(gè)坐標(biāo)軸上的投影方程投影方程，為，為代數(shù)量（標(biāo)量）代數(shù)量（標(biāo)量）。4）列方程要會(huì)聯(lián)立，）列方程要會(huì)聯(lián)立，不能簡單的寫最后結(jié)果不能簡單的寫最后結(jié)果。1、對象選擇問題。、對象選擇問題。一定要一定要明確對象明確對象，根據(jù)指定的對象、畫對應(yīng)的受，根據(jù)指定的對象、畫對應(yīng)的受力圖、列對應(yīng)的方程，力圖、列對應(yīng)的方程，讓別人能看明白讓別人能看明白。EDFDDBFF32 圖示為一繩索拔樁裝置。繩索的圖