第9章-壓桿穩(wěn)定(免費(fèi))

1、第9章 壓桿穩(wěn)定9-1 壓桿穩(wěn)定性的概念理想中心壓桿：理想中心壓桿：穩(wěn)定穩(wěn)定事物保持常態(tài)。事物保持常態(tài)。事物無(wú)法保持常態(tài)。事物無(wú)法保持常態(tài)。失穩(wěn)失穩(wěn)1. 直桿（無(wú)初曲率）直桿（無(wú)初曲率）,2. 壓力無(wú)偏心。壓力無(wú)偏心。西南交通大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系材料力學(xué)教研室西南交通大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系材料力學(xué)教研室EAFll maxAFMPa200 kN4maxAF對(duì)圖對(duì)圖a所示受壓桿件：所示受壓桿件：由強(qiáng)度計(jì)算有：由強(qiáng)度計(jì)算有：lFa) 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)壓桿，按此強(qiáng)度條件對(duì)于細(xì)長(zhǎng)壓桿，按此強(qiáng)度條件進(jìn)行計(jì)算并不能保證壓桿正常工進(jìn)行計(jì)算并不能保證壓桿正常工作。例如對(duì)圖作。例如對(duì)圖b所示鋼尺，按上述所示鋼尺，按上述強(qiáng)度

2、條件有：強(qiáng)度條件有：300mm1mm20mmFb) 而實(shí)際上，當(dāng)而實(shí)際上，當(dāng)F=40N時(shí)，鋼尺已經(jīng)明顯變時(shí)，鋼尺已經(jīng)明顯變彎，并喪失承載能力。因而對(duì)這樣的一些細(xì)長(zhǎng)彎，并喪失承載能力。因而對(duì)這樣的一些細(xì)長(zhǎng)桿件不能由強(qiáng)度條件來(lái)確定其工作條件，而應(yīng)桿件不能由強(qiáng)度條件來(lái)確定其工作條件，而應(yīng)對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性分析。對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性分析。 研究壓桿的承載能力可以采用如下兩種力研究壓桿的承載能力可以采用如下兩種力學(xué)模型：學(xué)模型：（1）由實(shí)際桿件抽象而得的理想中心壓桿；）由實(shí)際桿件抽象而得的理想中心壓桿；（2）按實(shí)際桿件的實(shí)際工作情況進(jìn)行分析。）按實(shí)際桿件的實(shí)際工作情況進(jìn)行分析。 首先回憶剛體穩(wěn)定性的概念。如下圖所

3、示的三首先回憶剛體穩(wěn)定性的概念。如下圖所示的三種情形，小球均處于平衡狀態(tài)，但平衡特征不同。種情形，小球均處于平衡狀態(tài)，但平衡特征不同。施加微小干擾，則分別有：施加微小干擾，則分別有：a) 小球擺動(dòng)后又回到原來(lái)位置，小球的平衡是穩(wěn)定小球擺動(dòng)后又回到原來(lái)位置，小球的平衡是穩(wěn)定的；的；b) 小球偏離原平衡位置，但在任一位置處平衡小球偏離原平衡位置，但在任一位置處平衡中中性性(隨遇隨遇)平衡；平衡；c) 小球偏離平衡位置，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，小球平衡是不穩(wěn)小球偏離平衡位置，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，小球平衡是不穩(wěn)定的。定的。a)b)c) 隨遇平衡是穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡的過(guò)渡狀態(tài)隨遇平衡是穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡的過(guò)渡狀態(tài)或臨界狀態(tài)

4、，理想壓桿與上述類似。或臨界狀態(tài)，理想壓桿與上述類似。F軸壓軸壓F（較?。ㄝ^?。簭潐簭滷（較?。ㄝ^?。┗謴?fù)恢復(fù)直線平衡直線平衡曲線平衡曲線平衡直線平衡直線平衡QF（特殊值）（特殊值）壓彎壓彎失穩(wěn)失穩(wěn)曲線平衡曲線平衡曲線平衡曲線平衡F（特殊值）（特殊值）保持常態(tài)、穩(wěn)定保持常態(tài)、穩(wěn)定失去常態(tài)、失穩(wěn)失去常態(tài)、失穩(wěn)QQ Q壓桿失穩(wěn)的現(xiàn)象：壓桿失穩(wěn)的現(xiàn)象：1. 軸向壓力較小時(shí)，桿件能保持穩(wěn)定的軸向壓力較小時(shí)，桿件能保持穩(wěn)定的直線直線平衡狀態(tài)；平衡狀態(tài)；2. 軸向壓力增大到某一特殊值時(shí)，軸向壓力增大到某一特殊值時(shí)，直線直線不再是桿件唯不再是桿件唯一的平衡狀態(tài)；一的平衡狀態(tài)；穩(wěn)定：穩(wěn)定： 理想中心壓桿

5、能夠保持穩(wěn)定的（唯一的）理想中心壓桿能夠保持穩(wěn)定的（唯一的）（Stable） 直線平衡狀態(tài)；直線平衡狀態(tài)；失穩(wěn)：失穩(wěn)： 理想中心壓桿喪失穩(wěn)定的（唯一的）直理想中心壓桿喪失穩(wěn)定的（唯一的）直（Unstable） 線平衡狀態(tài)；線平衡狀態(tài)；壓桿失穩(wěn)時(shí)，兩端軸向壓力的特殊值壓桿失穩(wěn)時(shí)，兩端軸向壓力的特殊值臨界力臨界力（Critical force）9-2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式思路：思路： 假設(shè)壓桿在某個(gè)壓力假設(shè)壓桿在某個(gè)壓力Fcr作用下在曲線狀態(tài)作用下在曲線狀態(tài)平衡，平衡，1）求得的撓曲函數(shù)）求得的撓曲函數(shù)0，2）求得不為零的撓曲函數(shù)，）求得不為零的撓曲函數(shù)，然后設(shè)法去求撓曲函數(shù)。然后設(shè)法

6、去求撓曲函數(shù)。 若：若：平衡狀態(tài)；平衡狀態(tài)；說(shuō)明只有直線說(shuō)明只有直線確能夠在曲線狀態(tài)下平衡，確能夠在曲線狀態(tài)下平衡，說(shuō)明壓桿的說(shuō)明壓桿的穩(wěn)現(xiàn)象。穩(wěn)現(xiàn)象。即出現(xiàn)失即出現(xiàn)失xwxyF(a)BAcrll2d x(b)BywFcrM(x)=FcrwM(x)=Fcrw0 2wkw EIw)(xMwFcrkxBkxAwcossin當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí)， w=0。kxBAcos00得：得：B=0，kxAwsin2crkEIF令令（+）1、兩端鉸支的臨界力：、兩端鉸支的臨界力：xwxyF(a)BAcrll2d x(b)BywFcrM(x)=FcrwkxAwsin又當(dāng)又當(dāng)x=l時(shí)時(shí)，w=0。得得 A sinkl =

7、0要使上式成立，要使上式成立，1）A=0w=0；代表了壓桿的直線平衡狀態(tài)。代表了壓桿的直線平衡狀態(tài)。2） sin kl = 0此時(shí)此時(shí)A可以不為零?？梢圆粸榱?。0sinkxAw失穩(wěn)失穩(wěn)!0sinklnkl nlEIFcr失穩(wěn)的條件是：失穩(wěn)的條件是：222crlEInFmincr crFF 22lEI理想中心壓桿的歐拉臨界力理想中心壓桿的歐拉臨界力22crlEIF在確定的約束條件下，歐拉臨界力在確定的約束條件下，歐拉臨界力Fcr：有關(guān)，有關(guān)，1 1）僅與材料（）僅與材料（E）、長(zhǎng)度）、長(zhǎng)度( (l) )和截面尺寸和截面尺寸( (A) )2 2）是壓桿的自身的一種力學(xué)性質(zhì)指標(biāo)，反映）是壓桿的自身的

8、一種力學(xué)性質(zhì)指標(biāo)，反映承載能力的強(qiáng)弱，承載能力的強(qiáng)弱，3）與外部軸向壓力的大小無(wú)關(guān)。與外部軸向壓力的大小無(wú)關(guān)。材料的材料的E越大，越大，截面越粗，截面越粗，短，短，桿件越桿件越臨界力臨界力Fcr越高；越高；臨界力臨界力Fcr越高，越高，越好，越好，穩(wěn)定性穩(wěn)定性承載能力越強(qiáng)；承載能力越強(qiáng)；2、其它桿端約束的臨界力、其它桿端約束的臨界力 wFxMd wFwEI ddFFwwEI EIFk 2d22kwkw 二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程（1） 求一端固定、另端自由的細(xì)長(zhǎng)桿的臨界力。求一端固定、另端自由的細(xì)長(zhǎng)桿的臨界力。以下推導(dǎo)和公式中的以下推導(dǎo)和公式中的I均表示壓桿截面的均表示壓桿截

9、面的Imin。LxwdFxyMeFdwxFM(x)F解：對(duì)解：對(duì)x截面，有截面，有即：即：從而從而令令可得：可得：dkxBkxAwcossin由位移邊界條件有：由位移邊界條件有：該方程的通解為：該方程的通解為：lx dw0coskld 0 x0w0w0A 0dB則：則：kxwcos1dklcos1dd再由再由 要使撓曲線方程成立，必須有：要使撓曲線方程成立，必須有：0coskl由此可得：由此可得：2nkl (n=1, 3, 5) llFcrFcr當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，有時(shí)，有2kl EIFlkcr2224 224lEIFcr歐拉公式歐拉公式xlw2cos1d 把撓曲線形狀延長(zhǎng)一倍如右圖所示，它與長(zhǎng)把撓

10、曲線形狀延長(zhǎng)一倍如右圖所示，它與長(zhǎng)為為2l的兩端鉸支壓桿的撓曲線形狀相同。的兩端鉸支壓桿的撓曲線形狀相同。即：即：lk2由由可得撓曲線方程為：可得撓曲線方程為：(2) 求兩端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。求兩端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。 eMFwxM eMFwxMwEI FMkwkwe22 EIFk 2FMkxBkxAwecossin解：由圖解：由圖b可見(jiàn)：可見(jiàn)： yMeFFlxwxa)FMewFM(x)b)因此，有因此，有令令則則其通解為：其通解為：kxBkxAwsincos 1coskxFMwe kxkFMwesin01coskl0sinkl而而由位移邊界條件有：由位移邊界條件有：處,0 x0w0

11、w0A FMBe 即：即：處,lx 0w0w 滿足上邊兩條件的解為：滿足上邊兩條件的解為：nkl22 , 1 , 0n222lEIFcr歐拉公式歐拉公式12cosxlFMwe0cos2 kxkFMwe 0coskx ,2lk當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，有時(shí)，有則則：從而可得微彎平衡時(shí)撓曲線方程為：從而可得微彎平衡時(shí)撓曲線方程為：下面討論撓曲線上的拐點(diǎn)，即通過(guò)下面討論撓曲線上的拐點(diǎn)，即通過(guò)可得：可得：2322xl由此可得，撓曲線上的拐點(diǎn)坐標(biāo)為：由此可得，撓曲線上的拐點(diǎn)坐標(biāo)為：41lx 432lx 拐點(diǎn)處拐點(diǎn)處M=0，可看作鉸接，所，可看作鉸接，所以兩拐點(diǎn)間撓曲線形狀與以兩拐點(diǎn)間撓曲線形狀與l/2長(zhǎng)的兩長(zhǎng)的兩端

12、鉸支壓桿的撓曲線形狀相同，見(jiàn)端鉸支壓桿的撓曲線形狀相同，見(jiàn)左圖。左圖。在（在（0, 2 ）內(nèi)）內(nèi)上式的解為：上式的解為：yFll/4l/4w0 xw0wP=100，故可用歐拉公式計(jì)算，故可用歐拉公式計(jì)算BC桿的臨界力。桿的臨界力。22cr)( lEIF 1020632181132(1.02/cos30103 )21m2m30ABCq=69 kNqFBC5 . 4NFcr=69得：得：q=15.3 kN/m9-4 歐拉公式的應(yīng)用范圍 臨界應(yīng)力總圖22cr)( lEIFAFcrcrAlEI22)(IAlE22)(22)(ilE歐拉臨界應(yīng)力歐拉臨界應(yīng)力稱為柔度，稱為柔度，il22crE無(wú)量綱。無(wú)量綱

13、。1. 歐拉公式的應(yīng)用范圍歐拉公式的應(yīng)用范圍P22crE22Ecril2) 2) 柔度越大，柔度越大，1) 1) 柔度柔度中包含了除材料之外壓桿的所有信息，是中包含了除材料之外壓桿的所有信息，是壓桿本身的一個(gè)力學(xué)性能指標(biāo)；壓桿本身的一個(gè)力學(xué)性能指標(biāo)；壓桿越細(xì)柔，壓桿越細(xì)柔，臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力Fcr越低，越低，性越差。性越差。穩(wěn)定穩(wěn)定歐拉公式只能在彈性范圍內(nèi)適用，則歐拉公式只能在彈性范圍內(nèi)適用，則2PPPEEP僅與材料有關(guān)。僅與材料有關(guān)?？梢允褂脷W拉公式計(jì)算壓桿的臨界力的條件是：可以使用歐拉公式計(jì)算壓桿的臨界力的條件是：P對(duì)于對(duì)于Q235Q235鋼鋼P(yáng)100100。越是細(xì)柔的壓桿，越是細(xì)柔的壓桿，

14、柔度柔度越大，越大，公式計(jì)算壓桿的臨界力。公式計(jì)算壓桿的臨界力。越可以使用歐拉越可以使用歐拉 s折減彈性模量公式折減彈性模量公式crO pp歐拉公式歐拉公式22Ecr2）當(dāng)）當(dāng)crP時(shí)，時(shí)，-曲線呈非線性，曲線呈非線性，E降低，降低，cr比歐拉公式的計(jì)算結(jié)果為低。比歐拉公式的計(jì)算結(jié)果為低。2. 壓桿的臨界應(yīng)力總圖壓桿的臨界應(yīng)力總圖1）當(dāng)）當(dāng)crP時(shí)，可用歐拉公式計(jì)算時(shí)，可用歐拉公式計(jì)算cr，例例 圖示矩形截面壓桿，材料為圖示矩形截面壓桿，材料為A3鋼，桿長(zhǎng)鋼，桿長(zhǎng)l=2m，h=60mm，b=40mm，E=206GPa。在。在xy平面內(nèi)兩平面內(nèi)兩端視為鉸支；在端視為鉸支；在xz平面內(nèi)為彈性固定，

15、長(zhǎng)度系數(shù)平面內(nèi)為彈性固定，長(zhǎng)度系數(shù) y=0.8。試求該桿的臨界應(yīng)力；又問(wèn)試求該桿的臨界應(yīng)力；又問(wèn)b與與h的比值的比值等于多少才是最合理的？等于多少才是最合理的？hblyzxx解：解：1、求臨界應(yīng)力、求臨界應(yīng)力若在若在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，平面內(nèi)失穩(wěn)， z=1，則有：，則有：mm32.171212/3hbhbhAIizz所以：所以：5 .1151032.17213zzzil若在若在xz平面內(nèi)失穩(wěn)，平面內(nèi)失穩(wěn)， y=0.8，則有：，則有：mm55.111212/3bbhhbAIiyy所以：所以：30.8 2138.511.55 10yyyli可見(jiàn)：可見(jiàn)：1005 .1155 .138Pzy則應(yīng)在則應(yīng)在x

16、z平面內(nèi)失穩(wěn)，且歐拉公式成立，即有：平面內(nèi)失穩(wěn)，且歐拉公式成立，即有： MPa1065 .1381020629222ycrE2、求、求b和和h的合理比值的合理比值 使截面在其兩形心主慣性平面內(nèi)的柔度相同使截面在其兩形心主慣性平面內(nèi)的柔度相同時(shí)的時(shí)的b和和h之比值最合理，此時(shí)有：之比值最合理，此時(shí)有：zyzzzyyyilil即即由此可得：由此可得：8 . 0hb9-5 實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)1. 1. 影響實(shí)際壓桿穩(wěn)定性的因素影響實(shí)際壓桿穩(wěn)定性的因素初曲率初曲率壓力偏心壓力偏心殘余應(yīng)力殘余應(yīng)力2. 2. 穩(wěn)定許用應(yīng)力穩(wěn)定許用應(yīng)力st=稱為穩(wěn)定因數(shù)，稱為穩(wěn)定因數(shù)， 與柔度與柔度有關(guān)。有關(guān)。對(duì)于對(duì)于Q2

17、35，可查表獲得，可查表獲得；對(duì)于木材，對(duì)于木材，可由式可由式9-11和和9-12求得。求得。例：由例：由Q235Q235鋼加工成的工字型截面桿件，兩端為柱形鉸，鋼加工成的工字型截面桿件，兩端為柱形鉸，即在即在xy平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束情況接近于兩端鉸平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束情況接近于兩端鉸支，長(zhǎng)度因素支，長(zhǎng)度因素z=1.0；當(dāng)在；當(dāng)在xz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束情況接近于兩端固定，長(zhǎng)度因素約束情況接近于兩端固定，長(zhǎng)度因素y=0.6。已知。已知連桿在工作時(shí)承受的最大壓力為連桿在工作時(shí)承受的最大壓力為F=35kN，材料的強(qiáng)，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力度許用應(yīng)力=206MPa, ,并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中a類中心受壓桿類中心受壓桿的要求。試校核的要求。試校核其穩(wěn)定性。其穩(wěn)定性。Ol =580l =75012226624xxyyz12OIz=7.40104mm4Iy=1.41104mm4A=522mm2解：解：Ol =580l =75012226624xxyyz12OIz=7.40104mm4Iy=1.41104mm4A=522mm2AIiyy41041. 1522mm05. 5AIizz41040. 7522mm58.111)1)計(jì)算慣性半徑計(jì)算