第節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)第節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)2求曲邊梯形面積的步驟：求曲邊梯形面積的步驟：abxyoi ix1x1 ix1 nxiiixfA)( 、分割、分割1niiAA1、近似、近似2、求和、求和3niiAA1niiixf1)( 、取極限、取極限4iniixfA10)(lim ),max(nxxx21 上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)為為,iiiiiixxxxx11 dxxfba)(第1頁/共19頁3 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、求分割、近似、求和、取極限和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示第2頁/共19頁4步驟如下：步驟如下：xzyoD),(yxfz

2、 i),(ii.),(lim10iiniifV niiVV1、分割、分割1、近近似似2kkkkfV ),(、求和、求和3nkkkkfV1 ),(、取極限、取極限4)(maxknk 1第3頁/共19頁5 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量為為多多少少？求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量i),(ii.),(lim10iiniiM xyo、分割、分割1niiMM1、近似、近似2kkkkM ),(、求和、求和3nkkkkM1 ),(、取極限、取

3、極限4第4頁/共19頁6定義定義 設(shè)設(shè)),(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域D上的有界函上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成任意分成n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i個(gè)小閉區(qū)域，個(gè)小閉區(qū)域，也表 示它 的 面積 ， 在每 個(gè)也表 示它 的 面積 ， 在每 個(gè)i 上 任取 一點(diǎn)上 任取 一點(diǎn)),(ii ，作乘積作乘積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，第5頁/共19頁7如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時(shí)，這和式的極限

4、存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D D 上的上的二重積分二重積分，記為記為 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .第6頁/共19頁8(1) 定定義義中中，對(duì)對(duì)閉閉區(qū)區(qū)域域的的劃劃分分是是任任意意的的， (2)當(dāng)當(dāng)),(yxf在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定義中和式在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在的極限必存在，即二重積分必存在.說明：說明：二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義的選取無關(guān)；的選取無關(guān)；與分劃及與分劃及有關(guān)有關(guān)及及),(,),(iiDyxf 積分值只與積分值只與DdyxfV ),(、3DdyxM ),(01)

5、,()(yxfzxyz),(yxfz DDdyxfV ),(第7頁/共19頁902),()(yxfz),(yxfz DVdyxfD ),(上變號(hào)上變號(hào)在在Dyxfz),()(3.),(下方柱體的體積下方柱體的體積面上方柱體的體積減去面上方柱體的體積減去等于等于xoydyxfD 第8頁/共19頁10性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí)，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）第9頁/共19頁11性質(zhì)性質(zhì)對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性.),(),(),(21

6、 DDDdyxfdyxfdyxf 性質(zhì)性質(zhì) 若若 為為D的面積，的面積，.1 DDdd 性質(zhì)性質(zhì) 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 則有則有第10頁/共19頁12 設(shè)設(shè)M、m分分別別是是),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 為為 D 的的面面積積，則則性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）第11頁/共19頁13例例 1 1 不不作作計(jì)計(jì)算算，

7、估估計(jì)計(jì) deIDyx )(22的的值值， 其其中中D是是橢橢圓圓閉閉區(qū)區(qū)域域： 12222 byax )0(ab .在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性質(zhì)質(zhì) 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 區(qū)區(qū)域域 D的的面面積積 , ab第12頁/共19頁14例例 2 2 估估計(jì)計(jì) DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D： 20, 10 yx.區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1( yx 故故42

8、52 I. 5 . 04 . 0 I解解第13頁/共19頁15例例 3 3 判斷判斷 122)ln(yxrdxdyyx的符號(hào)的符號(hào).當(dāng)當(dāng)1 yxr時(shí)時(shí), 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又當(dāng)當(dāng) 1 yx時(shí)時(shí), 0)ln(22 yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解第14頁/共19頁16例例 4 4 比較積分比較積分 Ddyx )ln(與與 Ddyx 2)ln(的大小的大小, 其中其中 D 是三角形閉區(qū)域是三角形閉區(qū)域, 三頂點(diǎn)各為三頂點(diǎn)各為(1,0),(1,1), (2,0).解解三三角角形形斜斜邊邊方方程程2 yx在在 D 內(nèi)內(nèi)有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D第15頁/共19頁17,)(,)( dyxdyxDD32其中21222)()(:yxD解解: 積分域 D 的邊界為圓周1 yx10 1 2 3Dxy32)()(yxyx21222)()(yx它與 x 軸交于點(diǎn)（1，0）與直線1 yx而域D位于直線的上方, 故 1 yx從而 dyxdyxDD32)()(相切.第16頁/