蘇教版等比數(shù)列的前n項(xiàng)和2

1、蘇教版等比數(shù)列的前n項(xiàng)和2第十課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（二） 教學(xué)目標(biāo)：綜合運(yùn)用等比數(shù)列的定義式、通項(xiàng)公式、性 質(zhì)及前n項(xiàng)求和公式解決相關(guān)問題，提高學(xué)生分 析、解決問題的能力教學(xué)重點(diǎn)：進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.教學(xué)難點(diǎn)：靈活使用有關(guān)知識(shí)解決問題教學(xué)過程：I .復(fù)習(xí)回顧前面我們學(xué)習(xí)了哪些有關(guān)等比數(shù)列的知識(shí) ?定義式：=q(qH0, n2)an 1通項(xiàng)公式：an = aiqn 1(ai,q 0) 若 m+ n = p+ q,貝V am an = ap aq,Sn =ai (1 qn)1 qai anq=1-q g 1)Sn= na1, (q= 1)an = Sn Sn i(n

2、 A 2), ai = Si(n = 1)n .講授新課我們結(jié)合一些練習(xí)來看一下如何靈活應(yīng)用它 們.1 1例 1求和：(x + ) + ( X 1 1 =(x+x2+ + xn)+(y + y2 + yn ) + P )+y /、 y+ (Xn + yn )(其中 x半 0, x 工 1, yM 1)分析：上面各個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子均由兩項(xiàng)組成， 其中各括號(hào)內(nèi)的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)分別組成等比數(shù) 列，分別求出這兩個(gè)等比數(shù)列的和，就能得到所 求式子的和.解：當(dāng)x工0, x工1, yM 1時(shí)，1 1 1(x + y ) + ( x2 + y2 )+( xn+yn )x (1 xn)1 xn+ 1x x 111

3、y1 xnI y 1 十 yn +1 yn此方法為求和的重要方法之一：分組求和法.例2已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S3, S9, S6成等差數(shù)列，求證：a2, a8, a5成等差 數(shù)列分析：由題意可得$十S6= 2S9,要證a2, a8,as成等差數(shù)列，只要證a2 + a5= 2a8即可.證明：T S3, S9, S6成等差數(shù)列，S3 + S6=2S9若 q= 1,貝U S3= 3a1, S6 = 6a1, S9= 9a1，由 等比數(shù)列中，玄詳0得S3 + S6工2S9,與題設(shè)矛盾， qM 1, S a1 (1 q3)a1 (1 q6)-S3=1 q ，=1 q ，S9ai (1 q9)

4、1 qai (1 q3)1 q 2a (1 q9) q整理得 q3 + q6= 2q9,由 qM0 得 1 + q3= 2q6又t a2 + a5= aq + a1q4 = aq(1 + q3),. a2 + a5= a1q 2q6 = 2a1q7 = 2a8a2, a8, a5成等差數(shù)列.評(píng)述：要注意題中的隱含條件與公式的應(yīng)用條件.例3某制糖廠第1年制糖5萬噸，如果 平均每年的產(chǎn)量比上一年增加 10%，那么從第1 年起，約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達(dá)到 30萬噸（保留到 個(gè)位）?分析：由題意可知，每年產(chǎn)量比上一年增加 的百分率相同，所以從第1年起，每年的產(chǎn)量組 成一個(gè)等比數(shù)列，總產(chǎn)量則為等比數(shù)列的前

5、n項(xiàng) 和.ai (1 q6)1 q解：設(shè)每年的產(chǎn)量組成一個(gè)等比數(shù)列an,其中 ai = 5, q= 1 + 10% = 1.1, Sn = 305 (1 1.1n)1 1.130,整理可得：1.1n = 1.6兩邊取對(duì)數(shù)，得nlg1.1 = Ig1.6，即：n =器哼 5答：約5年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸.評(píng)述：首先應(yīng)根據(jù)題意準(zhǔn)確恰當(dāng)建立數(shù)學(xué)模 型，然后求解.皿.課堂練習(xí)課本P58練習(xí)1, 2, 3IV .課時(shí)小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，應(yīng)掌握等比數(shù)列的定義式、 通項(xiàng)公式、性質(zhì)以及前n項(xiàng)求和公式的靈活應(yīng)用 利用它們解決一些相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)注意其特點(diǎn).V .課后作業(yè)課本P58習(xí)題 3, 4, 5等比數(shù)列的

6、前 n 項(xiàng)和 （二）1 .數(shù)列an為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為 80，且前 n 項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為 54，它的前 2n 項(xiàng)的和為 6560，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比 .2已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列，試判斷該數(shù)列依次 k項(xiàng)的和組成的數(shù)列bn是否仍為等比數(shù)列？3求數(shù)列 1,a+ a2，a2+ a3+ a4? a3+ a4 + a5+ a6, 的前 n 項(xiàng)和 Sn.4數(shù)列an中，Sn= 1 + kan(k半0, k半 1)(1)證明數(shù)列 an 為等比數(shù)列；(2)求通項(xiàng) an；(3)當(dāng)k =- 1時(shí)，求和ai2 + a22+ an2.5已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，其奇數(shù)項(xiàng)的和為 85，偶數(shù)

7、項(xiàng)的和為 170，求這 個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù) .6等比數(shù)列an中，S4= 1, S8= 3,求 ai7+ ai8 + ai9+ a20 的值.&求數(shù)列2x2, 3x3, 4x4,，nxn,的前n項(xiàng) 和.等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 （二）答案1 數(shù)列an為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為1 q由，得 1 q80,且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54,它的前 2n項(xiàng)的和為6560,求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比 分析：利用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式Sn =a1 (1 qn)解題1 (q解:若q= 1,則應(yīng)有S2n =2Sn ,與題意不合，故qM 1當(dāng)qM 1時(shí)，由已知得a1 (1 -n-q )1-q=80a1 (1 -q2n

8、)1-q=65602nn=82,即 q2n 82qn + 81 = 0得 qn= 81 或 qn= 1(舍) qn = 81,故 q 1.an的前n項(xiàng)中最大，有an= 54將qn = 81代 入，得a1 = q 1由 an = a1qn 1 = 54,得 a1qn= 54q即 81a1 = 54q由、得ai = 2, q= 3評(píng)述：在數(shù)學(xué)解題中還應(yīng)有一個(gè)整體觀念， 如本題求出qn= 81,應(yīng)保留qn為一個(gè)整體求解方 便.2 已知數(shù)列an是等比數(shù)列，試判斷該數(shù)列依次 k項(xiàng)的和組成的數(shù)列bn是否仍為等比數(shù)列？ 分析：應(yīng)對(duì)an的公比q分類討論.解設(shè) bn = a（n- 1）k+1 + a（n- 1）

9、k+2 + + ank , 數(shù)列an的公比為q貝V當(dāng) q= 1 時(shí)，bi = b2=bn=kai,bn為公比是1的等比數(shù)列.當(dāng)q工土 1時(shí)，bn =a (n1)k +1 (1 qk)1-qbn+ 1，bnank+ 1a (n 1)k+ 1bn為公比是qk的等比數(shù)列.當(dāng)q= 1時(shí)，若k為偶數(shù)，則bn = 0,此時(shí) bn不能為等比數(shù)列.若k為奇數(shù)，數(shù)列bn為公比為一1的等比數(shù)綜上：當(dāng)an的公比不為一1時(shí)，數(shù)列bn仍 為等比數(shù)列；當(dāng)an的公比為一1時(shí)，若k為偶數(shù)， 則bn不是等比數(shù)列；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列bn 為公比為一1的等比數(shù)列.3求數(shù)列 1 ,a+ a2, a2 + a3+ a4, a3 + a

10、4 + a5+ a6, 的前n項(xiàng)和Sn.1 解：（1）a= 0 時(shí)，Sn = 1 ； （2）a= 1 時(shí)，Sn= 2n(n+ 1)；-1 時(shí)，Sn =n （n為偶數(shù)）(3)a=-n + 1+（n為奇數(shù)）(4)a 1 ；a半0 時(shí)，Sn(1 an)(1 an+9(1 a)( 1 a2).4數(shù)列an中，Sn= 1 + kan(k半0, k半 1)（1）證明數(shù)列an為等比數(shù)列；（2）求通項(xiàng)an； （3）當(dāng)k = 1時(shí)，求和a12 + a22+ an2.分析：由于條件中涉及 Sn與an的關(guān)系，因 此，要考慮Sn Sn-1 = an(n 2)的運(yùn)用,然后回答 定義(1) 證明：Sn = 1 + kanS

11、n 1 = 1 + kan1一得 Sn Sn1 = kan kan1(nA2)(k 1)an = kan1, J = k k 1(常數(shù))(nan 1k Ia 2)k二an是公比為k 1的等比數(shù)列.1(2) 解：T S1 = a1 = 1 + ka1,a1 = kan=1k (k1)廠=kn1(TV解：T an中 a1= 1 k , q= k 11kan2為首項(xiàng)為（） 2,公比為（）2的等比數(shù)列.1當(dāng)k =- 1時(shí)，等比數(shù)列an2的首項(xiàng)為4 ,1公比為4a12 + a22+ an2 =1 14【1(4)n1=3 1-(11)n評(píng)述：應(yīng)注意an = Sn- Sn-1 (n 2)的應(yīng)用.5 已知一個(gè)

12、項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,其奇數(shù)項(xiàng)的和為85,偶數(shù)項(xiàng)的和為仃0,求這 個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).解：設(shè)數(shù)列的公比為q,項(xiàng)數(shù)為2nai + a3 + + a2ni = 85a2 + a4+ a2n = 170，得 q(ai+ a3+ a2n-1) = 170, q= 2又= 85,即二1 q2=8522n= 256= 28,2n = 8評(píng)述：在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及到a1，n，q，an，$5個(gè)量，其中 a1和q是基本量，利用這兩個(gè)公式，可知三求二. 6等比數(shù)列an中，S4= 1, S8= 3,求 a17+ a18 + a19+ a20 的值.分析：關(guān)鍵是確定首項(xiàng)和公比.解：設(shè)

13、此數(shù)列的首項(xiàng)和公比為a1和q.a1 (1- q4)1 qa1 (1- q8)由-得q4= 2.a17+ a18+ a19+ a20 = S20 S16a (1 q20)ai (1 q16)a1 q16 (1 q4)1 qq16= 24= 16.評(píng)述：在研究等比數(shù)列的問題中，要確定基 本量a1和q,仍然離不開方程思想，在具體求解時(shí), 得到的方程往往是高次方程，因此，要注意優(yōu)化 與化簡.1 1 17.求和(x + % ) 2+ (x2 + x2 ) 2+ (xn + 丁 )21 1分析：注意到(xn + xn ) 2 = an = x2n +為+ 入入12,且x2n與(x )2n為等比數(shù)列，故可考

14、慮拆項(xiàng)法解：Sn = (x2 + X4+ x2n) + 己 + x4 + 入入+ x2n ) + (2 2)2xn個(gè) 2當(dāng)x = 1時(shí)，當(dāng) x M 1Sn= n + n + 2n = 4n.Sn =X2 ( 1 x2n)1 X21 1+ 2nx2 (1-砂)(x2n 1)( x2n+2+ 1)x2n (X2 1)+ 2n評(píng)述：在運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式時(shí)，要注 意分析公比是否為1.8.求數(shù)列2x2, 3x3, 4x4,，nxn,的前n項(xiàng) 和.分析：可以通過錯(cuò)位相減的方法轉(zhuǎn)化為等比 數(shù)列的求和問題.解：（1）當(dāng) x = 0 時(shí)，Sn= 0.1當(dāng) x = 1 時(shí),Sn = 2+ 3 + 4+ (n + 1)= 2n(n + 3).(3) 當(dāng) x工1 時(shí)，Sn = 2x2 + 3x3 + 4x4+ (n +1)xn+1xSn = 2x3+ 3x4 + 4x5+ n xn+1 + (n + 1)xn+2得:(n+ 1)xn+2(1 x )Sn = 2x2