計(jì)算方法 復(fù)合求積公式Romberg 算法ch04b r

1、1第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分計(jì)算方法 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式 Romberg 算法算法2本講內(nèi)容本講內(nèi)容n 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式l 復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式l 復(fù)合復(fù)合 Simpson 公式公式l 梯形法的遞推化計(jì)算梯形法的遞推化計(jì)算l Romberg 算法基本思想算法基本思想: 外推技巧外推技巧l Romberg 算法算法: 計(jì)算過程計(jì)算過程n Romberg (龍貝格龍貝格) 算法算法3復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式q 提高積分計(jì)算精度的常用兩種方法提高積分計(jì)算精度的常用兩種方法l 用用 復(fù)合公式復(fù)合公式l 用用 非等距節(jié)點(diǎn)非等距節(jié)點(diǎn)l 將積分區(qū)間分割成多個(gè)小區(qū)間將積分區(qū)間分割成多個(gè)小區(qū)間l

2、 在每個(gè)小區(qū)間上使用低次牛頓科特斯求積公式在每個(gè)小區(qū)間上使用低次牛頓科特斯求積公式復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式4復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式l 將將 a, b 分成分成 n 等分等分 xi , xi+1 ，其中，其中(i = 0, 1, , n)nabhhiaxi ,復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式 111100( ) d( ) d ()()2iinnbxiiaxiihf xxf xxf xf x 11( )2()( )2niinhf af xfTb l 余項(xiàng)余項(xiàng) 310()12niihR ff 2( )12bah f ( , )a b 5復(fù)合復(fù)合 Simpson 公式公式復(fù)合復(fù)合 Simpson 公式公式

3、11211100( ) d( ) d ()4 ()()6iinnbxbiiiaxaiihf xxf xxf xf xf x 121101( )4()2()( )6nniiinihf af xf xf bS l 余項(xiàng)余項(xiàng) 51(4)0()2880niihR ff 4(4)( )2880bah f ( , )a b 性質(zhì)性質(zhì)：復(fù)合梯形公式和復(fù)合：復(fù)合梯形公式和復(fù)合Simpson 公式都是收斂公式都是收斂的，也都是穩(wěn)定的。的，也都是穩(wěn)定的。 6舉例舉例例：例：設(shè)設(shè) ，利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復(fù)合梯形公式，利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合和復(fù)合simpson公式計(jì)算定積分公式計(jì)算定積分 ，并估計(jì)

4、誤差。，并估計(jì)誤差。 sin( )xf xx 10( ) df xx xi01/82/83/84/85/86/87/81.0f (xi )10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.841解：解：78081()2()()0.94569092TiihTf xf xf x 401357()4()()()()6ShSf xf xf xf xf x 9460832. 0)()()()(28642 xfxfxfxf7舉例舉例誤差估計(jì)誤差估計(jì)23 ( )0.4341012TTbaRfh f 10sin( )cos() dxf xxttx 11( )00d( )cos() d

5、cos dd2kkkkkfxxtttxttx 1( )00101max( )maxcos d2kkxxkfxtxtt 101 d1kttk 4(4)6 ( )0.271 102880SSbaRfh f 8舉例舉例例：例：計(jì)算定積分計(jì)算定積分用復(fù)合梯形公式和復(fù)合用復(fù)合梯形公式和復(fù)合simpson公式時(shí)，公式時(shí)，n 分別取多大時(shí)才能分別取多大時(shí)才能使得誤差不超過使得誤差不超過 0.5 10-510 dxex 解：解：( )xf xe ( )0101max( )maxkxxxfxee 要使誤差不超過要使誤差不超過 0.5 10-5 ，需要，需要251110122en 212.85n 取取 n=213

6、213 等分等分221( )1212TTbaeRfh fn 復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式9舉例舉例復(fù)合復(fù)合simpson公式公式44(4)1 ( )28802880SSbaeRfh fn 要使誤差不超過要使誤差不超過 0.5 10-5 ，需要，需要3.71n 故取故取 n=445111028802en 8 等分等分10Romberg 算法算法太太 大大利用復(fù)合梯形公式、復(fù)合利用復(fù)合梯形公式、復(fù)合simpson公式、復(fù)合公式、復(fù)合Cotes公式等計(jì)算定積分時(shí)，公式等計(jì)算定積分時(shí)，如何選取步長如何選取步長 h？計(jì)算精度難以保證計(jì)算精度難以保證太太 小小增加額外的計(jì)算量增加額外的計(jì)算量解決辦法：采用解決

7、辦法：采用 變步長算法變步長算法通常采取將區(qū)間通常采取將區(qū)間不斷對分不斷對分的方法，即取的方法，即取 n = 2k ，反復(fù)使用復(fù)合求積公式反復(fù)使用復(fù)合求積公式，直到所得到的計(jì)算結(jié)果，直到所得到的計(jì)算結(jié)果滿足指定的精度為止。滿足指定的精度為止。11梯形法遞推公式梯形法遞推公式 )()(2)(2)()(211101bfxfafhxfxfhTniiniiinl 步長折半：步長折半：xi , xi+1/2 ， xi +1/2 , xi+1 121 21 210()()()()4nniiiiihTf xf xf xf x 11 210()2 ()()4niiiihf xf xf x 1111 200()

8、()()42nniiiiihhf xf xf x l 將將 a, b 分成分成 n 等分等分 xi , xi+1 ，nabhhiaxi ,xixi +1xi +1/211 201()22nniihTf x 12梯形法遞推公式梯形法遞推公式1121 20011()(0.5 )2222nnnniniihhTTf xTf aihh bahn 1( )( )2baTf af b 00210001(0.5)22ihTTf aihh 11421101(0.5 )22ihTTf aihh 32842201(0.5)22ihTTf aihh 0hba 12bah 24bah 13梯形法遞推公式梯形法遞推公式1

9、1211112201(0.5)22kkkkkkihTTf aihh 112kkbah 121( )(1)11101(0.5)22kkkkkkihTTf aihh 記記 ()2kkTT112kkbah 14舉例舉例解：解：例：例：用梯形法的遞推公式計(jì)算定積分用梯形法的遞推公式計(jì)算定積分 , 要求要求計(jì)算精度滿足計(jì)算精度滿足 10sin( ) dxxx (0)( )( )0.9207354922baTf af b 0(1)(0)00001(0.5)0.93979328522ihTTf aihh 1(2)(1)11101(0.5)0.94451352222ihTTf aihh 1(3)(2)2220

10、1(0.5)0.94569086422ihTTf aihh ex42.m 7210| nnTTkT (k)00.92073549210.93979328520.94451352230.94569086440.94598503050.94605856160.94607694370.94608153980.94608268790.946082975100.946083046 =0.946083070367I f15梯形法的加速梯形法的加速q 梯形法遞推公式算法簡單，編程方便梯形法遞推公式算法簡單，編程方便q 梯形法的加速梯形法的加速龍貝格龍貝格 (Romberg) 算法算法但收斂速度較但收斂速度較

11、 慢慢 定理定理：設(shè)：設(shè) f(x) C a, b, 記記 Tn = T (h), 則有則有24212( ) iiT hI fhhh bahn 16梯形法的加速梯形法的加速24212( ) iiIhT hfhh 24212 2222iihhhhTI f 46234 ( /2)( )3 ( 3/ 4)( 15 /16)T hT hI fhh 4612( )14( ) 32S hhTT hI fhh 2 ()I fO h4 ()I fO h6812116( )( ) 152hSS hI fC hhh 6 ()I fO h8164( ) ()( )532hCCR hI fO hh Richardson

12、 外推算法外推算法 17舉例舉例例：例：計(jì)算定積分計(jì)算定積分10sin( ) dxxx 10.920735492T 20.939793285T 40.944513522T ex43.mkT0(k)00.92073549210.93979328520.94451352230.94569086440.94598503050.94605856160.94607694370.94608153980.94608268790.946082975100.946083046 112143 0.946145882TST 224143 0.946086934TST =0.946083070367I f 21111

13、60.94608300415CSS 18Romberg 算法算法 T1 =T0(0) T2 =T0(1) S1 =T1(0) T4 =T0(2) S2 =T1(1) C1 =T2(0) T8 =T0(3) S4 =T1(2) C2 =T2(1) R1 =T3(0)kkkkRTCTSTTTkkkk2)(32)(22)(12)(0 , , , 記記:( )0kT( )kmT: k 次等分后梯形公式計(jì)算所得的近似值次等分后梯形公式計(jì)算所得的近似值: m 次加速后所得的近似值次加速后所得的近似值 Romberg 算法是收斂的算法是收斂的(1)( )( )11441mkkkmmmmTTT 19舉例舉例例：例：用用 Romberg 算法計(jì)算定積分算法計(jì)算定積分 , 要求計(jì)算精要求計(jì)算精度滿足度滿足 130 dxx ex44.m =0.4I f()()71|10kkmmTT k00.5000000010.426776700.4023689320.407018110.400431920.4003027830.401812460.400077250.400053610.4000496540.400463400.400013710.400009480.400008780.4000086250.400117670.400002430.400001680.400