線代期中考試卷及答案詳解

1、2012線性代數(shù)線性代數(shù)期中考試試卷及答案詳解期中考試試卷及答案詳解一、單項(xiàng)選擇題一、單項(xiàng)選擇題 (每小題 4 分，共 20 分)1. 下列各式中，哪個(gè)是 5 階行列式 det(aij)的項(xiàng) ( b )(a) (b) 5541342312aaaaa2451421533aaaaa(c) (d) 4124335215aaaaa5433451122aaaaa解解 根據(jù)n 階行列式的定義， 行列式的算式中，每一項(xiàng)都是不同行、不同列的n個(gè)數(shù)的乘積，并且?guī)в蟹?hào)： (1) 若行標(biāo)排列是標(biāo)準(zhǔn)排列，則該項(xiàng)的符號(hào)取決于列標(biāo)排列的逆序數(shù) 的奇偶性；(2) 若列標(biāo)排列是標(biāo)準(zhǔn)排列，則符號(hào)取決于行標(biāo)排列的逆序數(shù) 的奇偶

2、性；(3) 若行標(biāo)、列標(biāo)排列都不是標(biāo)準(zhǔn)排列，則 符號(hào)取決于行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的 逆序數(shù)之和的奇偶性 (或者，交換一般項(xiàng)中的元素，使行標(biāo)成為標(biāo)準(zhǔn)排列， 再根據(jù)列標(biāo)排列的逆序數(shù) 判斷). 題中每個(gè)選項(xiàng)都是5 階行列式不同行、不同列的5 個(gè)數(shù)的乘積，因此，需進(jìn)一步判斷各項(xiàng)是否帶有正確的符號(hào) .選項(xiàng)(a)錯(cuò)誤。其行標(biāo)排列是標(biāo)準(zhǔn)排列，列標(biāo)排列的逆序數(shù) 為t(23415)=3, 故，列標(biāo)排列為奇排列 ，(或者，由于將列標(biāo)排列23415 變成標(biāo)準(zhǔn)排列12345需要進(jìn)行奇數(shù)次對(duì)換，也可得 23415 為奇排列)。所以選項(xiàng)(a)缺少“-”.選項(xiàng)(b)正確。其行標(biāo)和列標(biāo)排列都不是標(biāo)準(zhǔn)排列， 方法一：行標(biāo)排列和列標(biāo)

3、排列的逆序數(shù)之和t(31452)+t(35214)=4+6=10，得符號(hào)為“+”；方法二，交換相乘的元素， 使行標(biāo)成為標(biāo)準(zhǔn)排列， 得a15a24a33a42a51，此時(shí)列標(biāo)排列54321為偶排列，故取“+”.同理，選項(xiàng)(c)和(d)錯(cuò)誤，都應(yīng)帶“-”.2. 已知n階行列式 d=1，將 d 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90o，得行列式，則d的值為 ( c )d(a) 1 (b) -1 (c) (-1)n(n-1)/2 (d) (-1)n/2解解 將d 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o，相當(dāng)于對(duì)d 先作轉(zhuǎn)置(這不會(huì)改變行列式 的值)，再作上下翻轉(zhuǎn) 即交換n(n-1)/2 次相鄰行的位置，每次交換都改變行列式的符號(hào) ，因此，應(yīng)選

4、(c).參見(jiàn)“行列式的性質(zhì) ”布置的思考題，或者 教材習(xí)題一第7 題的解答.3. n 階行列式 dn=0 的必要條件是 ( d )(a) 有一行(列)元素全為零 (b) 有兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例(c) 各列元素之和皆為零 (d) 以 dn為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解解解 選項(xiàng)(a)(b)(c)都是dn=0 的充分條件(但不是必要條件). 只有選項(xiàng)(d)為充分必要條件 .4. 已知 a, b 均為 n 階方陣，e 是 n 階單位矩陣，則下列命題中正確的是 ( d )(a) 若 ab，則ab (b) 若(a-e)(b-e)=o，則 a=e 或 b=e(c) a2-b2=( a+b)( a

5、-b) (d) a2-e=( a+e)( a-e)解解 答案為(d).選項(xiàng)(a)錯(cuò)誤，反例：, 1001a1112b選項(xiàng)(b)錯(cuò)誤。 “兩個(gè)非零矩陣的乘積可以是零矩陣 ” ，例如，因此， (a-e)(b-e)=o a-e=o 或 b-000030000002e=o，反例：, 1002a2201b選項(xiàng)(c)錯(cuò)誤。因?yàn)?a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a, b 可交換時(shí)，才會(huì)有 (a+b)(a-b)=a2-b2.選項(xiàng)(d)正確。因?yàn)閍e=ea=a，即a, e 可交換，所以， (a+e)(a-e)=a2-ae+ea-e2=a2-e.5. 設(shè) a, b 均為 n 階可逆矩陣，

6、則下列命題中正確的是 ( a )(a) (a2)-1=(a-1)2 (b) (ka)-1=ka-1 (k0) (c) (a+b)-1= a-1+b-1 (d) a-1ba=b解解 選項(xiàng)(a)正確。根據(jù)方陣的冪的定義以及可逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，有(a2)-1=(aa)-1 = a-1a-1 =(a-1)2選項(xiàng)(b)錯(cuò)誤。應(yīng)該是 (ka)-1=k-1a-1 (k0)選項(xiàng)(c)錯(cuò)誤。a, b 均為 n 階可逆矩陣時(shí)，a+b 不一定可逆；即使a+b 可逆，(a+b)-1也不一定是 a-1+b-1。反例：, 1001a，或者, 1002b1001a1002b選項(xiàng)(d)錯(cuò)誤。矩陣乘法一般不滿足交換律 ，故a-

7、1ba a-1ab = b。二、填空題二、填空題 (每小題 4 分，共 20 分)1. 行列式 = 2013！.1000000002013000201200020001000解解 =100000000201300020120002000100010002013002012002001000!2013!2013) 1(2) 12013(2013注注：以上計(jì)算過(guò)程使用了分塊法計(jì)算行列式的公式： (注意 a,b 必須是方陣)babooammkk以及副副對(duì)角行列式的計(jì)算公式nnnn212) 1(21) 1(2. 行列式= (-1)n-1(n-1) . 一 n0111101111011110解解 一 n

8、01111011110111100111101111011111 ), 3 , 2(1nnnnnirri0111101111011111) 1(n一一一一一一一一一1111111) 1( ), 3 , 2(1nnirri= (-1)n-1(n-1)注注：本題行列式的特點(diǎn)是：各行(列)元素之和都相等.3. =3432143214321432130001001001001000 0000100001000010ddddccccbbbbaaaa0000000000001134dddd解解 用左乘矩陣a，相當(dāng)于將a 的各行向上移動(dòng)一行，0000100001000010故= 00001000010000

9、1043214321432143213ddddccccbbbbaaaa0000000000004321dddd另外，用右乘矩陣 a，相當(dāng)于將 a 左右翻轉(zhuǎn)，故0001001001001000=3432143214321432130001001001001000 0000100001000010ddddccccbbbbaaaa0000000000001134dddd注注：參見(jiàn)“矩陣的運(yùn)算”所布置的思考題，或者第二章習(xí)題講義“要點(diǎn)和公式”中的 part ii“一些特殊矩陣的乘積”.4. 已知，則 a -1 = 7531a13/15/17/1解解 利用副對(duì)角陣的求逆公式：11121121aaaaaa

10、nn5. 已知 a 是 4 階可逆矩陣，且a=2，則a-1= 1/2 ，a*= 8 . 解解 利用可逆矩陣的性質(zhì)“a-1=a-1”以及伴隨矩陣的性質(zhì)“a*=an-1 ” ，可得 a-1=2-1，a*=24-1=8.注注：也可按如下方式求a*：因?yàn)?aa*=ae，將a=2 代入，得aa*=2e，等號(hào)兩邊取行列式，有aa*=2e，即2a*=24，于是a*=8.三、計(jì)算題三、計(jì)算題（每小題 7 分，共 35 分）1. 設(shè) n 階爪形行列式, 求 d 中所有元素的代1212122222d數(shù)余子式之和.解解 將 d 的第 1 行元素全部替換為 1，并按第 1 行展開(kāi)，得 d 的第 1 行元素的代數(shù)余子式

11、之和為 121212111111211naaa11312) 1(21), 3 , 2(1nnnirri n23將 d 的第 2 行元素全部替換為 1，并按第 2 行展開(kāi)，得 d 的第2 行元素的代數(shù)余子式之和為 (兩行元素成比例)012121111222222221naaa同理，d 的第 3, 4, n 行元素的代數(shù)余子式之和也都是 0.于是，d 的所有元素的代數(shù)余子式之和為. naninjij2311注注 1 如果改變行列式 d 的某一行(列)元素，行列式雖然變了，但該行(列)元素的代數(shù)余子式不會(huì)改變。注注 2 本題利用了行列式按行(列)展開(kāi)法則： 或 (i=1,2,n)ijnkjkikda

12、a1ijnkkjkidaa12. 問(wèn)：只有零解時(shí)，k 必須滿足什么條件？02002043214131xxxkxxxkxx解解 此方程組為齊次線性方程組，并且方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)，根據(jù)“方程組只有零解 系數(shù)行列式 d0”，有，即 k 1/4.01421000011002001kkkd3. 設(shè)方陣， 1001001001000aaaa(1) 求a的值，并指出當(dāng) a 滿足什么條件時(shí)，a 是可逆矩陣；(2) 當(dāng) a 可逆時(shí)，求 a-1.解解 對(duì)矩陣 a 分塊，1001001001000aaaadcbo一一(1) 331) 1(acba當(dāng)且僅當(dāng) a0 時(shí)，a0，此時(shí) a 為可逆矩陣.(2) 根據(jù)分塊法求

13、逆矩陣的公式，obcdbca11111其中，11b1111aaac11dbc1111111111aaaaaa于是，a-10001000000111111aaaaaa注注 1 解答中使用了分塊法計(jì)算行列式的公式(參見(jiàn)第一章習(xí)題講義“要點(diǎn)和公式”)ba*baokmmmkk) 1(注注 2 本題要求熟記分塊法求逆矩陣的公式. 雖然也可以用公式 a-1=a-1a*，但計(jì)算過(guò)程繁瑣，容易出錯(cuò). 注注 3 另外，求出逆矩陣后，最好驗(yàn)算是否有 aa-1=e.4. 設(shè)方陣，求 ak (k 為正整數(shù)). 369246123a解解 .ta一一1 , 2 , 3321369246123于是，)()(tttkattt

14、)()(tkt1)(其中 103211 , 2 , 3t aa111010ntnn369246123101n注注 當(dāng)矩陣的任意兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，該矩陣可分解為列矩陣和行矩陣的乘積.5. 已知 a,b 都是 2 階方陣，且 a* ba = 2a* b + e，其中，a* 是 a 的伴隨矩陣，e 為 2 階單位矩陣，求矩陣1112ab.解解 對(duì) a* ba = 2a* b + e 兩端左乘 a，得aa*ba=2aa*b+a根據(jù)伴隨矩陣的性質(zhì) aa* =ae，有 aba=2ab+a 由于，于是1aba=2b+a b(a-2e)= a 其中，由于，故 a-2e 可逆，其逆11102ea12

15、ea矩陣(a-2e)-1=，于是0111122301111112)2(1eaab注注 求二階可逆矩陣的逆矩陣時(shí)，可以用“兩調(diào)一除”公式.四、證明題四、證明題（每小題 8 分，共 16 分）1. 設(shè) a 是 n 階反對(duì)稱矩陣，n 為奇數(shù)，證明：齊次線性方程組ax=o 有非零解.證證 a 是 n 階反對(duì)稱矩陣 at=-a.對(duì)上式兩邊取行列式，有at =-a a =(-1)na 由于 n 為奇數(shù)，故a = -a，即a=0. 因此，當(dāng) a 是奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣時(shí)，齊次線性方程組 ax=o 的系數(shù)行列式等于 0，于是該方程組有非零解. 注注 a 是方陣，所以 ax=o 是“方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)”的齊次線性

16、方程組，于是，要證明 ax=o 有非零解，就是證a=0.2. 已知 a, b 均為 n 階方陣，且 ab=a+b. (1) 證明：a-e 和 b-e 均可逆，且互為逆矩陣；(2) 證明：如果 a 可逆，則 a+b 也可逆.證證 (1) ab=a+b ab-a-b+e=e (a -e)(b -e)=e a-e 和 b-e 均可逆，且互為逆矩陣 (定理：“若 a 和 b 均為 n 階方陣，且 ab=e，則 ba=e.亦即，a,b 均可逆，且互為逆矩陣”)(2) ab=a+b a(b-e) =b 已知 a 可逆，又由(1)知 b-e 可逆，所以 b= a(b-e)可逆 (定理：n 階可逆矩陣的乘積仍

17、是 n 階可逆矩陣). a 和 b 可逆，所以 ab 可逆. 由于 a+b= ab，故 a+b 可逆.也可按如下方式證明： a 可逆 a0，于是ab=a+b (a-e)b =a a -e b=a0 b0于是，a+b=ab=ab0 ，故 a+b 可逆注：注：下列錯(cuò)誤不得分：在第(1)題中使用了 a-1或 b-1；在第(2)小題中認(rèn)為兩個(gè)可逆矩陣的加和也必然是可逆矩陣.五、解答題五、解答題（9 分）在某地，每年有比例為 30%的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)，有比例為 10%的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村，假設(shè)該地總?cè)丝诓蛔?，且上述人口遷移的規(guī)律也不變. 把 n 年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤謩e記為 an和 bn

18、(an+bn=1).(1) 記，求關(guān)系式中的矩陣 a；nnnbax1nnaxx(2) 已知(1)中的矩陣 a 滿足關(guān)系式 ap=pb，其中，1311p求矩陣 b；(3) 設(shè)目前農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口相等，即，求.5 . 05 . 00 xnx解解 (1) 依題意，有，即11119 . 03 . 01 . 07 . 0nnnnnnbabbaa11 9 . 03 . 01 . 07 . 0nnnnbaba故 9 . 03 . 01 . 07 . 0a(2) p=4，故 p 可逆，其逆矩陣為. 1311411p 對(duì) ap=pb 兩邊左乘 p-1，得b=p -1ap =1311 9 . 03 . 01 . 07 . 0 131141 6 . 0001(3) 由 xn = axn-1 遞推可得xn