27章圓復(fù)習(xí)(華東)

1、、圓的基本元素: 圓心、半徑。知識點：、圓的對稱性: 圓的旋轉(zhuǎn)對稱性、圓是中心對稱圖形、圓是軸對稱圖形。3、圓周角、圓心角、弦、弦心距的關(guān)系:圓心角定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等, 所對的弦、所對弦心距的也相等。推論:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角,兩條弧,兩條弦、兩條弦心距中有一組量相等,那么它 們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半即：AOB和ACB是 所對的圓心角和圓周角 AOB=2ACB圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧即：在O中，C、D都是所對的圓周角 C=

2、D推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑即：在O中，AB是直徑 或C=90 C=90 AB是直徑推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。AB C B A O D C B A O C B A O C B A O弦切角定理：弦切角等于所夾弧所對的圓周角 推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。即：MN是切線，AB是弦 BAM=BCA O C B N M A一、圓

3、心角、弦、弧、弦心距、圓周角前四組量中有一組量相等，其余各組量也相等；前四組量中有一組量相等，其余各組量也相等；注意：圓周角有兩種情況注意：圓周角有兩種情況圓周角的推論應(yīng)用廣泛圓周角的推論應(yīng)用廣泛2. 在在 O中，弦中，弦AB所對的圓心角所對的圓心角AOB=100，則，則弦弦AB所對的圓周角為所對的圓周角為_.1.如圖，如圖， O為為ABC的外接圓，的外接圓， AB為直徑，為直徑，AC=BC， 則則A的的 度數(shù)為（度數(shù)為（ ）A.30 B.40 C.45 D.60500或或1300c3.如圖：圓如圖：圓O中弦中弦AB等于半徑等于半徑R，則這條弦所對的圓，則這條弦所對的圓心角是心角是,圓周角是圓

4、周角是.OBA60度30或150度2021-6-14歡迎046班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！CAOB4：已知：已知ABC三點在圓三點在圓O上，連接上，連接ABCO，如果如果 AOC=140 ，求，求 B的度數(shù)的度數(shù)5.平面上一點平面上一點P到圓到圓O上一點的距離最長為上一點的距離最長為6cm,最短為最短為2cm,則圓則圓O的半徑為的半徑為_.D解：在優(yōu)弧AC上定一點D，連結(jié)AD CD. AOC=140 D=70 B=180 70 =110 2或4cmOACB6、如圖，、如圖，A、B、C三點在圓上，若三點在圓上，若ABC=400， 則則AOC= 。練習(xí)練習(xí)1.1.如圖如圖, ,則則1+2=_

5、1+2=_12.2.2.圓周上圓周上A,B,CA,B,C三點將圓周三點將圓周分成分成1:2:31:2:3的三段弧的三段弧AB,BC,CA,AB,BC,CA,則則ABCABC的三個內(nèi)角的三個內(nèi)角A,B,CA,B,C的度數(shù)依次為的度數(shù)依次為_A(6,0)x900600、900 、3001、如圖、如圖1，AB是是 O的直徑，的直徑，C為圓上一點，弧為圓上一點，弧AC度度數(shù)為數(shù)為60，ODBC，D為垂足，且為垂足，且OD=10，則，則AB=_，BC=_；2、已知、是同圓的兩段弧，且弧、已知、是同圓的兩段弧，且弧AB等于等于2倍弧倍弧AC，則弦則弦AB與與CD之間的關(guān)系為（之間的關(guān)系為（ ）；）；A.A

6、B=2CD B.AB2CD D.不能確定不能確定3、 如圖如圖2， O中弧中弧AB的度數(shù)為的度數(shù)為60，AC是是 O的的直徑，那么直徑，那么BOC等于等于 ( )；A150 B130 C120 D604、在、在ABC中，中，A70，若，若O為為ABC的外心，的外心，BOC= ；若；若O為為ABC的內(nèi)心，的內(nèi)心，BOC= A B C D O 40BC14001250垂直于弦的直徑平分這條弦，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。并且平分弦所對的兩條弧。（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧分弦所對的兩條?。?）弦的垂直

7、平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧的兩條弧（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧且平分弦所對的另一條弧垂徑定理垂徑定理推論推論簡稱：知二推三簡稱：知二推三1.1.過圓心過圓心2.2.垂直于弦垂直于弦3.3.平分弦平分弦4.4.平分優(yōu)弧平分優(yōu)弧5.5.平分劣弧平分劣弧知識點：知識點：二、垂徑定理（涉及半徑、弦、弦心距、平行弦等）如圖，已知、是如圖，已知、是 的兩條平行弦，的兩條平行弦， 的半徑是，的半徑是，。求、的距離。求、的距離BAODCFEODCBAFE例例.CD.CD為為O

8、O的直徑的直徑, ,弦弦ABCDABCD點點E,CE=1,E,CE=1,AB=10,AB=10,求求CDCD的長的長. .ABCDEO.學(xué)生練習(xí)學(xué)生練習(xí)已知：已知：AB是是 O直徑，直徑，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求證：求證：ECDF.AOBE CD F三、點與圓的位置關(guān)系A(chǔ)BCOdrd dr rd=rd=rd dr r2.在在Rt ABC中，中，C=90,BC=3cm,AC=4cm,D為為AB的中點，的中點，E為為AC的中點，以的中點，以B為圓心，為圓心，BC為為半徑作半徑作 B，問問：（：（1）A、C、D、E與與 B的位置關(guān)系如何？的位置關(guān)系如何？ （2）AB、AC與與 B的位置關(guān)

9、系如何？的位置關(guān)系如何？EDCAB不在同一直線上的三個點確定一個圓不在同一直線上的三個點確定一個圓（這個三角形叫做圓的這個三角形叫做圓的內(nèi)接內(nèi)接三角形，這個圓叫做三角三角形，這個圓叫做三角形的形的外接外接圓，圓心叫做三角形的圓，圓心叫做三角形的外心外心）四、過三點的圓及外接圓 如何作過不在同一直線上的三點的圓（或三如何作過不在同一直線上的三點的圓（或三角形的外接圓、找外心、破鏡重圓、到三個村角形的外接圓、找外心、破鏡重圓、到三個村莊距離相等）莊距離相等） 怎樣要將一個如圖所示的怎樣要將一個如圖所示的破鏡重圓破鏡重圓？2021-6-14歡迎歡迎046班的同學(xué)們！班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考注意

10、聽課，積極思考呵！呵！圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。 即：在即：在 O中，中， 四邊形四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形是內(nèi)接四邊形 C+BAD=180 B+D=180 DAE=C E D C B A圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：（1）對角互補(bǔ)；對角互補(bǔ)；（2）任意一個外角都等于它的內(nèi)對角任意一個外角都等于它的內(nèi)對角1、 O的半徑為的半徑為R，圓心到點，圓心到點A的距離為的距離為d，且，且R、d分分別是方程別是方程x26x80的兩根，則點的兩根，則點A與與 O的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是（ ）A

11、點點A在在 O內(nèi)部內(nèi)部 B點點A在在 O上上C點點A在在 O外部外部 D點點A不在不在 O上上2、M是是 O內(nèi)一點，已知過點內(nèi)一點，已知過點M的的 O最長的弦為最長的弦為10 cm，最短的弦長為，最短的弦長為8 cm，則，則OM=_ cm.3、圓內(nèi)接四邊形、圓內(nèi)接四邊形ABCD中，中，A B C D可以可以是（是（ ）A、1 2 3 4 B、1 3 2 4 C、4 2 3 1 D、4 2 1 3五、直線和圓的位置關(guān)系ldrdr0d=r切線切線1dr割線割線2（1）判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不

12、可兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：即：MNOA且且MN過半徑過半徑OA外端外端 MN是是 O的切線的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點：過圓心垂直于切線的直線必過切點 推論推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心：過切點垂直于切線的直線必過圓心以上三個定理及推論也稱二推一定理：以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心即：過圓心 過切點過切點 垂直切線中知道其中兩個條件推垂直切線中知道其中兩個條件推出最后一個條件出最后一個條件 MN是切線是切線 MNOA N M A O有切

13、點，連半徑，證垂直有切點，連半徑，證垂直無切點，作垂直，證半徑無切點，作垂直，證半徑六、切線切線的性質(zhì)：切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。例例1 1如圖圓如圖圓O O切切PBPB點點B,PB=4,B,PB=4,PA=2,PA=2,則圓則圓O O的半徑是的半徑是_.例例2 2 如圖如圖PA,PB,CDPA,PB,CD都是圓都是圓O O的切線的切線,PA,PA的長為的長為4cm,4cm,則則PCDPCD的周長為的周長為_cm_cmOABPABCDOP.六、切線1、兩個同心圓的半徑分別為、兩個同心圓的半徑分別為3 cm和和4 cm，大圓的弦大圓的弦BC與小圓相切

14、，則與小圓相切，則BC=_ cm；2、如圖、如圖2，在以，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦中，大圓的弦AB是小圓的切線，是小圓的切線，P為切點，為切點，設(shè)設(shè)AB=12，則兩圓構(gòu)成圓環(huán)面積為，則兩圓構(gòu)成圓環(huán)面積為_；3、下列四個命題中正確的是（、下列四個命題中正確的是（ ）與圓有公共點的直線是該圓的切線與圓有公共點的直線是該圓的切線 ； 垂直垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線于圓的半徑的直線是該圓的切線 ； 到圓心的到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線距離等于半徑的直線是該圓的切線 ；過圓直過圓直徑的端點，垂直于此直徑的直線是該圓的切線徑的端點，垂直于此直徑的直線是該圓的切

15、線A. B. C. D.A B P O 練習(xí)練習(xí)下列命題中的假命題是下列命題中的假命題是：A A和圓有唯一公共點的直線是圓的切線和圓有唯一公共點的直線是圓的切線B B過直徑一端且垂直于這條直徑的直線是圓的切線過直徑一端且垂直于這條直徑的直線是圓的切線C C點點A A在直線在直線L L上，上，OO半徑為半徑為r r，若，若OAOAr r時，則時，則 直線直線L L是是OO的切線的切線D DOO的半徑為的半徑為a a，則，則O O點到直線的距離為點到直線的距離為d d，若，若d d a a時，則時，則L L是是OO的切線。的切線。（ ）C練習(xí)：已知：練習(xí)：已知：PAPA、PBPB是是O O的切線，

16、的切線， 切點為切點為A A、B B點，點點，點C C為圓周上的一點，求為圓周上的一點，求 的度數(shù)。的度數(shù)。ACB50APB 外離外離（圖1） 無交點 dR+r 外切外切（圖2） 有一個交點 d=R+r 相交（相交（圖3） 有兩個交點 R-rdR+r 內(nèi)切內(nèi)切（圖4） 有一個交點 d=R-r 內(nèi)含內(nèi)含（圖5） 無交點 d R + rd = R + rR-r d R+ rd = R - rd R - r六六.圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系切線長定理：切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾相等，這點和圓心的

17、連線平分兩條切線的夾角。角。即：即：PA、PB是的兩條切線是的兩條切線 PA=PB PO平分平分BPA P B A O圓內(nèi)相交弦定理及其推論：圓內(nèi)相交弦定理及其推論：（1 1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等相等即：在即：在OO中，中，弦弦ABAB、CDCD相交于點相交于點P P PAPB=PCPD PAPB=PCPD（2 2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。所成的兩條線段的比例中項。即：在即：在OO中，中，直徑直徑ABCDAB

18、CD （3 3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項即：在即：在OO中，中，PAPA是切線，是切線，PBPB是割線是割線 （4 4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）即：在即：在OO中，中，PBPB、PEPE是割線是割線 PC PBPD PE P O D C B A O E D C B A D E C B P

19、 A O22CEDEEA EB2PAPC PB圓公共弦定理：圓公共弦定理：連心線垂直平分公共弦連心線垂直平分公共弦 即：即： O1、 O2相交于相交于A、B兩點兩點 O1O2垂直平分垂直平分AB B A O1 O2兩圓公切線長的計算公式：兩圓公切線長的計算公式：（1）公切線長公切線長：在：在RtO1O2C中，中，（2）外公切線長外公切線長：CO2是半徑之差；是半徑之差； 內(nèi)公切線長內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和是半徑之和 22221122ABCOOOCO C O2 O1 B A三角形三邊垂直平分線的交三角形三邊垂直平分線的交點點三角形三內(nèi)角角平分線的交點三角形三內(nèi)角角平分線的交點到三角形各邊的到

20、三角形各邊的距離相等距離相等到三角形各頂點到三角形各頂點的距離相等的距離相等銳角三角形的外心位于三角形銳角三角形的外心位于三角形內(nèi)內(nèi), ,直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜邊中點斜邊中點, ,鈍角三角形的外心位于三角形鈍角三角形的外心位于三角形外外. .ABCOABCCABOO三角形的外心三角形的外心是否一定在三角形的內(nèi)部？是否一定在三角形的內(nèi)部？、判斷。、判斷。1、三角形的外心到三角形各邊的距離相等；、三角形的外心到三角形各邊的距離相等； （ ）2、直角三角形的外心是斜邊的中點、直角三角形的外心是斜邊的中點 （ ）二、填空：二、填空：1、直角三角形的兩條直角邊分別

21、是、直角三角形的兩條直角邊分別是5cm和和12cm，則它的外接圓，則它的外接圓 半徑半徑，內(nèi)切圓半徑，內(nèi)切圓半徑；2、等邊三角形外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比、等邊三角形外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比三、選擇題：三、選擇題：下列命題正確的是（下列命題正確的是（ ）A、三角形外心到三邊距離相等、三角形外心到三邊距離相等B、三角形的內(nèi)心不一定在三角形的內(nèi)部、三角形的內(nèi)心不一定在三角形的內(nèi)部C、等邊三角形的內(nèi)心、外心重合、等邊三角形的內(nèi)心、外心重合D、三角形一定有一個外切圓、三角形一定有一個外切圓四、一個三角形四、一個三角形,它的周長為它的周長為30cm,它的內(nèi)切圓半徑它的內(nèi)切圓半徑為為2cm,則這個三角形

22、的面積為則這個三角形的面積為_30cm七、三角形的內(nèi)切圓1. Rt ABC三邊的長為三邊的長為a、b、c，則內(nèi)切圓的半，則內(nèi)切圓的半徑是徑是r=_2.外心到外心到_的距離相等，的距離相等，是是_的交點；的交點； 內(nèi)心到內(nèi)心到_的距離相的距離相等等,是是_的交點；的交點；邊長分別為邊長分別為3,4,5的三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓的三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓 半徑的比為半徑的比為( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 54.某市有一塊油三條馬路圍某市有一塊油三條馬路圍成的三角形綠地，現(xiàn)準(zhǔn)備在成的三角形綠地，現(xiàn)準(zhǔn)備在其中建一小亭供人們小憩，其中建一小亭供人們小憩，使小亭中心到三條馬路的距

23、使小亭中心到三條馬路的距離相等，試確定小亭的中心離相等，試確定小亭的中心位置。位置。5.有甲、乙、丙三個村莊，有甲、乙、丙三個村莊，現(xiàn)準(zhǔn)備建一發(fā)電站，使發(fā)電現(xiàn)準(zhǔn)備建一發(fā)電站，使發(fā)電站到三個村莊的距離相等，站到三個村莊的距離相等，試確定發(fā)電站的位置試確定發(fā)電站的位置丙丙乙乙甲甲弧長的計算公式為：弧長的計算公式為： =360n180rn2r=l扇形的面積公式為：扇形的面積公式為： S= S=3602rn因此扇形面積的計算公式為因此扇形面積的計算公式為213602n RSlR B1 R r C B A O（1）圓柱側(cè)面展開圖）圓柱側(cè)面展開圖 =（2）圓錐側(cè)面展開圖）圓錐側(cè)面展開圖 =2SSS側(cè)表底2

24、22rhrSSS側(cè)表底 母線長 底面圓周長 C1 D1 D C B A2Rrr圓錐的側(cè)面積 和全面積OPABrha222arh 弧長和扇形面積的計算弧長和扇形面積的計算例例1 1 扇形扇形AOBAOB的半徑為的半徑為12cm,AOB=12012cm,AOB=120, ,求求ABAB的長和扇形的面積及周長的長和扇形的面積及周長. .例例2 2 如圖如圖, ,當(dāng)半徑為當(dāng)半徑為30cm30cm的轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)過120120時時, ,傳送帶上的物體傳送帶上的物體A A平移的距離為平移的距離為_._.A1.1.三角形的內(nèi)心是三角形的內(nèi)心是_,_, 三角形的外心是三角形的外心是_._.2.2.一個三

25、角形一個三角形, ,它的周長為它的周長為30cm,30cm,它的內(nèi)切它的內(nèi)切圓半徑為圓半徑為2cm,2cm,則這個三角形的面積為則這個三角形的面積為_._.3.3.圓的半徑為圓的半徑為R,R,則弦長則弦長L L的取值范圍是的取值范圍是_._.4.4.如圖如圖,圓的半徑為圓的半徑為2,則陰影部分的面積為則陰影部分的面積為_#正多邊形每一邊所對的正多邊形每一邊所對的圓心角圓心角叫叫做做正多邊形正多邊形的的中心角中心角（即（即AOB ）我們把一個正多邊形的我們把一個正多邊形的外接圓（內(nèi)切圓）外接圓（內(nèi)切圓）的的圓心圓心叫做這個叫做這個正多邊形正多邊形的的中心中心（即（即點點O）外接圓外接圓的的半徑半

26、徑叫做叫做正多邊形正多邊形的的半徑半徑（即即OA）中心到正多邊形的一邊的中心到正多邊形的一邊的距離距離叫做叫做正多邊形正多邊形的的邊心距邊心距（內(nèi)切圓（內(nèi)切圓的半徑、即的半徑、即OM）O中心角中心角半徑半徑R邊心距邊心距rABCDEFMEFCD.360n中心角180AOGBOGn邊心距把邊心距把AOBAOB分成分成2 2個個全等的直角三角形全等的直角三角形設(shè)正多邊形的邊長為設(shè)正多邊形的邊長為a,a,半徑為半徑為R R, ,它的周長為它的周長為L=naL=na. .R Ra a2211222rSLrnaraR，（ ）邊心距（ ）邊心距面積邊心距（ ）當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練1.課本課本P107第第1題題32 312120 3 36 390 90 2284120 60 2212 6 3例例5:如圖如圖,M,N分別是分別是 O內(nèi)接正多邊形內(nèi)接正多邊形AB,BC上上的點的點,且且BM=CN.(1)求圖求圖中中MON的度數(shù)的度數(shù);(2)圖圖中中MON= ; 圖圖中中MON= ;(3)試探究試探究MON的度數(shù)與正的度數(shù)與正n邊形的邊數(shù)邊形的邊數(shù)n的關(guān)的關(guān)系系.；四邊形；四邊形M