非齊次線性方程組非齊次線性方程組的概念ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 非齊次線性方程組非齊次線性方程組非齊次線性方程組的概念非齊次線性方程組的概念非齊次線性方程組解的構(gòu)造非齊次線性方程組解的構(gòu)造非齊次線性方程組有解的條件非齊次線性方程組有解的條件(2)XbA式式：一一方方面面它它可可寫寫作作矩矩陣陣形形的的方方程程組組形形如如)(122112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa稱為非齊次線性方程組稱為非齊次線性方程組nmijaA )(是系數(shù)矩陣是系數(shù)矩陣其中其中一、非齊次線性方程組TmTnbbbxxx),(),(2121bX量量方方程程另另一一方方面面它它也也可可寫寫成成向向?qū)Ψ匠探M的系數(shù)矩陣

2、對(duì)方程組的系數(shù)矩陣A按列分塊，記作按列分塊，記作A=)(a,a ,a21n問題是：非齊次線性方程組何時(shí)是有解的？假設(shè)有問題是：非齊次線性方程組何時(shí)是有解的？假設(shè)有 解時(shí)怎樣求出其一切解？解時(shí)怎樣求出其一切解？根據(jù)齊次線性方程組的不同表示方法，以及矩陣根據(jù)齊次線性方程組的不同表示方法，以及矩陣與其行向量組、列向量組的關(guān)系，不難得知如下與其行向量組、列向量組的關(guān)系，不難得知如下等價(jià)命題：等價(jià)命題：(3)a+a+a2211bnnxxx二、非齊次線性方程組有解的條件線線性性表表示示能能由由向向量量組組）向向量量（nb ,212 等等價(jià)價(jià)與與向向量量組組）向向量量組組（bnn, 21213.),(),(

3、的的秩秩相相等等與與其其增增廣廣矩矩陣陣）系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣（bAAnn 212141 1線性方程組線性方程組 有解有解bAX)()(ARAR即即通常用通常用 (4) 來(lái)判別來(lái)判別 (1)非齊次線性方程組有解得等價(jià)條件非齊次線性方程組有解得等價(jià)條件性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)設(shè)21,是是AX b的恣意兩個(gè)解，的恣意兩個(gè)解，21 則則是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的的解解0AX證明證明0A)A(A2121bbA 性質(zhì)性質(zhì)2的的通通解解，是是設(shè)設(shè)0AX 的的一一個(gè)個(gè)解解是是bAX 三、非齊次線性方程組解的構(gòu)造非齊次線性方程組解的性質(zhì)：非齊次線性方程組解的性質(zhì)：bAX則則的任一解為的任一解為 X證明證

4、明 總總是是則則的的任任一一解解是是設(shè)設(shè)*X-AXX,b0 AX的解的解,用用表示之，有表示之，有X -從而從而 X=rn ,21r)A(假設(shè)假設(shè) rA=r且知且知0 AX0b AX是是的根底解系，的根底解系，是是b AX是的某個(gè)知解，那么是的某個(gè)知解，那么的通解為的通解為rnrncccX 22110是恣意實(shí)數(shù)。是恣意實(shí)數(shù)。c ccn r12, 其中其中b AX對(duì)非齊次線性方程組對(duì)非齊次線性方程組定理定理的的通通解解求求方方程程組組433546622242254321543152154321xxxxxxxxxxxxxxxxx解解 對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換，對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換，

5、得得 4511104511104511102111114133546622012400212111111413124rrrrrr 000000000000451110662201212423rrrrrr例例得到非齊次線性方程組的同解方程組為得到非齊次線性方程組的同解方程組為 54325431546226xxxxxxxx0543 xxx4,621 xx 令令 解得解得T)0 , 0 , 0 , 4, 6( 從而得到非齊次線性方程組的一個(gè)解從而得到非齊次線性方程組的一個(gè)解 543254315622xxxxxxxx對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的同解方程組為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的同解方程組為 543xxx1000

6、10001,令令分別取分別取從而得到齊次線性方程組的一個(gè)根底解系從而得到齊次線性方程組的一個(gè)根底解系TTT)1 , 0 , 0 , 5 , 6(,)0 , 1 , 0 , 1 , 2(,)0 , 0 , 1 , 1 , 2(321 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù). 321,ccc其中其中332211ccc 齊次線性方程組通解為齊次線性方程組通解為332211ccc 非齊次線性方程組的通解為非齊次線性方程組的通解為例例 問方程組問方程組 23213213211 xxxxxxxxx 當(dāng)當(dāng)為何值時(shí)方程組有獨(dú)一解；無(wú)解；無(wú)窮多解？為何值時(shí)方程組有獨(dú)一解；無(wú)解；無(wú)窮多解？解：解：21111111 A3222111

7、0110111312 rrrr 1111111231 rr)()()()( 11210011101122.,)(方方程程組組有有唯唯一一解解時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)213 AR,)()(時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)13 ARAR方程組有無(wú)窮多解方程組有無(wú)窮多解方程組無(wú)解。方程組無(wú)解。所以所以 ,),()(時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)2 ARAR 2322212001101113 rr.4321,5432321 例例 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩321, 是它的三個(gè)解向量，且是它的三個(gè)解向量，且為為3，知，知求該方程組的通解。求該方程組的通解。解解:設(shè)非齊次線性方程組設(shè)非齊次線性方程組bAx 對(duì)

8、應(yīng)的齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組0 Ax321, 知知的的解解，是是bAx 故有故有bAbAbA 321,則則令令),(3212 06543)(2321 0)(2)(2321 bbbAA 的解，的解，是是即即0 Ax根底解系中應(yīng)含根底解系中應(yīng)含n-r=4-3=1個(gè)向量個(gè)向量 0 AX非齊次線性方程組的通解為非齊次線性方程組的通解為 543265431kkx例例求一個(gè)齊次線性方程組，使它的根底解系為：求一個(gè)齊次線性方程組，使它的根底解系為： TT0,1,2,3,3,2,1, 021 044332211 xaxaxaxa由題意應(yīng)有：由題意應(yīng)有： 00012332104321aaaa解：設(shè)有方

9、程解：設(shè)有方程對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換，有：對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換，有： 3210210101233210 10320121214321ccaaaa所所以以即所求方程組為：即所求方程組為： 03202421321xxxxxx 00321021014321aaaa 03202432431aaaaaa即即 432431322aaaaaa即即線性方程組線性方程組解的存在性解的存在性齊次線性方齊次線性方程組程組0 AX非齊次線性方非齊次線性方程組程組bAX 有唯一零解有唯一零解時(shí)，時(shí)，nrAR )(有無(wú)窮多解有無(wú)窮多解時(shí)，時(shí)，nrAR )(時(shí)，無(wú)解時(shí)，無(wú)解)()(ARAR 有唯一解有唯一解時(shí)，時(shí)，nARAR )()(有無(wú)窮多解有無(wú)窮多解時(shí)，時(shí)，nARAR )()(小小 結(jié)結(jié)線性方程組線性方程組解解 的的 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu)齊次線性方齊次線性方程組程組0 AX非齊次線性方非齊次線性方程組程組bAX