學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)

1、學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識點梳理學(xué)而思教材編寫組 侍春雷、八 、亠前言小學(xué)奧數(shù)知識點梳理， 對于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要， 不過， 對于知識點的概括 很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬的現(xiàn)象， 為此， 本人參考了單尊主編的 ?小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克? 、 中國少年報社主編的?華杯賽教材? 、?華杯賽集訓(xùn)指南?以及學(xué)而思的?寒假班系列教材? 和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分， 構(gòu)建十七塊體系 其 第十七為解題方法聚集，可補充相應(yīng)雜題 ，原那么上簡明扼要，努力刻畫小學(xué)奧數(shù)知識的主 樹干。概述計算1 四那么混合運算繁分?jǐn)?shù) 運算順序 分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運算技巧 一般而言： 加減運算中，能化成

2、有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式； 乘除運算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。 帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化繁分?jǐn)?shù)的化簡2 簡便計算湊整思想基準(zhǔn)數(shù)思想裂項與拆分提取公因數(shù)商不變性質(zhì)改變運算順序 運算定律的綜合運用 連減的性質(zhì) 連除的性質(zhì) 同級運算移項的性質(zhì) 增減括號的性質(zhì) 變式提取公因數(shù)形如：3 估算求某式的整數(shù)局部：擴縮法4 比較大小 通分a. 通分母b. 通分子 跟“中介比 利用倒數(shù)性質(zhì)假設(shè) ，那么 cba. 。形如： ，那么 。5 定義新運算6 特殊數(shù)列求和運用相關(guān)公式： 1+2+3+4(n-1 ) +n+ ( n-1 ) + 4+3+2+仁n數(shù)論1 奇偶性問題奇 奇 =偶 奇 偶 =奇 偶 偶 =偶2位值原那么形如

3、：=100a+10b+c3數(shù)的整除特征：整除數(shù) 特 征2 末尾是 0、2、4、6、 83 各數(shù)位上數(shù)字的和是 3 的倍數(shù)5 末尾是 0 或 59 各數(shù)位上數(shù)字的和是 9 的倍數(shù)11 奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11 的倍數(shù)4 和 25 末兩位數(shù)是 4或 25的倍數(shù)8 和 125 末三位數(shù)是 8或 125 的倍數(shù)7、11、13 末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是 7或 11或 13的倍數(shù)4 整除性質(zhì) 如果 c|a 、 c|b ，那么 c|a b 。 如果 bc|a ，那么 b|a ， c|a 。 如果 b|a ， c|a ，且 b,c =1, 那么 bc|a 。 如果 c|b,b|a,

4、那么 c|a. a 個連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個數(shù)能被 a 整除。5 帶余除法一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)bz 0,那么一定有另外兩個整數(shù) q和r, 0 rv b,使得 a=bx q+r當(dāng) r=0 時，我們稱 a 能被 b 整除。當(dāng) r z 0 時，我們稱 a 不能被 b 整除， r 為 a 除以 b 的余數(shù)， q 為 a 除以 b 的不完全商亦簡稱為商。用帶余數(shù)除式又可以表示為 a * b=qr, 0 r v b a=b x q+r6. 唯一分解定理任何一個大于 1 的自然數(shù) n 都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即 n= p1 x p2 x . x pk7. 約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù) n 的質(zhì)因子

5、分解式如 n= p1 x p2 x . x pk 那么：n 的約數(shù)個數(shù)： dn=a1+1a2+1ak+1n 的所有約數(shù)和：(1+P1+P1 + pl ) (1+P2+P2 + p2 )( 1+Pk+Pk + pk )8. 同余定理 同余定義：假設(shè)兩個整數(shù) a, b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱 a, b對于模m同余, 用式子表示為 a = b(mod m) 假設(shè)兩個數(shù) a， b 除以同一個數(shù) c 得到的余數(shù)相同，那么 a， b 的差一定能被 c 整除。 兩數(shù)的和除以 m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)和。 兩數(shù)的差除以 m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)差。 兩數(shù)的積除以 m的余數(shù)等于這

6、兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)積。9完全平方數(shù)性質(zhì) 平方差： A -B = (A+B) (A-B),其中我們還得注意 A+B A-B同奇偶性。 約數(shù)：約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的是完全平方數(shù)。約數(shù)個數(shù)為 3 的是質(zhì)數(shù)的平方。 質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。 平方和。10孫子定理(中國剩余定理)11輾轉(zhuǎn)相除法12數(shù)論解題的常用方法：枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對、估計三、幾何圖形1平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N-2) X 180等積變形位移、割補 三角形內(nèi)等底等高的三角形 平行線內(nèi)等底等高的三角形 公共局部的傳遞性 極值原理變與不變?nèi)切蚊娣e與底的正比關(guān)系S1 : S2 =a : b ;S

7、1: S2=S4： S3 或者 SIX S3=S2X S4相似三角形性質(zhì)份數(shù)、比例 ；S1 : S2=a2 : A2 S1 : S3 : S2 : S4= a2 : b2 : ab : ab ; S= a+b 2燕尾定理SA ABGAGC=BGE SA GEC= BE: EC;SA BGA SA BGC= SA AGF SA GFC= AF: FC;SA AGC SA BCG= SA ADG SA DGB= AD DB差不變原理知 5-2=3 ，那么圓點比方點多 3。隱含條件的等價代換例如弦圖中長短邊長的關(guān)系。組合圖形的思考方法化整為零先補后去正反結(jié)合2立體圖形規(guī)那么立體圖形的外表積和體積公式

8、不規(guī)那么立體圖形的外表積整體觀照法體積的等積變形水中浸放物體：V升水=V物測啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展開圖最短線路與展開圖形狀問題染色問題幾面染色的塊數(shù)與“芯 、棱長、頂點、面數(shù)的關(guān)系。四、典型應(yīng)用題1植樹問題 開放型與封閉型 間隔與株數(shù)的關(guān)系2方陣問題外層邊長數(shù) -2= 內(nèi)層邊長數(shù)外層邊長數(shù)-1 x 4=外周長數(shù) 外層邊長數(shù) 2- 中空邊長數(shù) 2=實面積數(shù) 車長+橋長=速度X時間 車長甲+ 車長乙=速度和X相遇時間 車長甲+ 車長乙=速度差X追及時間列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題 車長=速度和X相遇時間車長=速度差X追及時間4 年齡問題差不變原理5 雞兔同籠假

9、設(shè)法的解題思想6 牛吃草問題原有草量=牛吃速度-草長速度X時間7 平均數(shù)問題8 盈虧問題分析差量關(guān)系9 和差問題10 和倍問題11 差倍問題12 逆推問題復(fù)原法，從結(jié)果入手列表消元法等價條件代換五、 行程問題1 相遇問題路程和=速度和X相遇時間2 追及問題路程差=速度差X追及時間3 流水行船順?biāo)俣?=船速 +水速逆水速度 =船速 - 水速船速=順?biāo)俣?逆水速度十2水速=順?biāo)俣?逆水速度十24 屢次相遇線型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)X 2-1 環(huán)型路程： 甲乙共行全程數(shù) =相遇次數(shù)其中甲共行路程=單在單個全程所行路程X共行全程數(shù)5 環(huán)形跑道6 行程問題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用路程一定，速

10、度和時間成反比。 速度一定，路程和時間成正比。 時間一定，路程和速度成正比。 時針和分針成直線； 時針和分針成直角。8 結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問題的一些類型。9 行程問題時常運用“時光倒流和“假定看成的思 考方法。六、 計數(shù)問題1 加法原理：分類枚舉2 乘法原理：排列組合3 容斥原理： 總數(shù)量 =A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC 常用：總數(shù)量 =A+B-AB4 抽屜原理：至多至少問題5 握手問題在圖形計數(shù)中應(yīng)用廣泛 角、線段、三角形， 長方形、梯形、平行四邊形 正方形七、分?jǐn)?shù)問題1量率對應(yīng)2以不變量為“ 13利潤問題4濃度問題倒三角原理例：5 工程問題 合作問題 水池進出水問題6 按比例

11、分配八、 方程解題1 等量關(guān)系甲十乙=3 相關(guān)聯(lián)量的表示法 例： 甲 + 乙 =100x 100-x 3x x 解方程技巧恒等變形2 二元一次方程組的求解代入法、消元法3 不定方程的分析求解以系數(shù)大者為試值角度4 不等方程的分析求解九、 找規(guī)律周期性問題 年月日、星期幾問題 余數(shù)的應(yīng)用數(shù)列問題 等差數(shù)列 通項公式 an=a1+(n-1)d 求項數(shù)： n=求和： S= 等比數(shù)列 求和： S= 裴波那契數(shù)列策略問題 搶報 30 放硬幣最值問題 最短線路a. 一個字符陣組的分線讀法b. 在格子路線上的最短走法數(shù) 最優(yōu)化問題a. 統(tǒng)籌方法b. 烙餅問題十、 算式謎1填充型2替代型3填運算符號4橫式變豎式5結(jié)合數(shù)論知識點十一、 數(shù)陣問題1相等和值問題2數(shù)列分組知行列數(shù)，求某數(shù)知某數(shù)，求行列數(shù)3幻方奇階幻方問題：楊輝法 羅伯法偶階幻方問題： 雙偶階：對稱交換法 單偶階：同心方陣法十二、 二進制1 二進制計數(shù)法 二進制位值原那么 二進制數(shù)與十進制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化 二進制的運算2 其它進制十六進制十三、 一筆畫1一筆畫定理：一筆畫圖形中只能有 0 個或兩個奇點；兩個奇點進必須從一個奇點進，另一個奇點出;2哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈3多筆畫定理筆畫數(shù) =十四、 邏輯推理1 等價條件的轉(zhuǎn)換2 列表法3 對陣圖競賽問題，涉及體育比賽常識十五、 火柴棒問題1 移動火柴棒改變圖形個數(shù)2 移動火柴棒改變算式，使之成