2022年高考數(shù)學(xué)一輪《拋物線》考點(diǎn)復(fù)習(xí) 教師版

1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪拋物線考點(diǎn)復(fù)習(xí)一 、選擇題拋物線y=2x2的準(zhǔn)線方程是()A.x= B.x= C.y= D.y=【答案解析】答案為：D；解析：拋物線y=2x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y，其準(zhǔn)線方程為y=.已知點(diǎn)A(2，3)在拋物線C：y2=2px(p0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()A. B.1 C. D.【答案解析】答案為：C；解析：由已知，得準(zhǔn)線方程為x=2，所以F的坐標(biāo)為(2，0).又A(2，3)，所以直線AF的斜率為k=.若點(diǎn)A，B在拋物線y2=2px(p0)上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若正三角形OAB的面積為4，則該拋物線方程是()A.y2=x B.y2=x C.y2=2x

2、D.y2=x【答案解析】答案為：A；解析：根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，ABx軸，由于正三角形的面積是4，故AB2=4，故AB=4，正三角形的高為2，故可以設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)代入拋物線方程得4=4p，解得p=，故所求的拋物線方程為y2=x.故選A.已知拋物線C：x2=2py(p0)，若直線y=2x被拋物線所截弦長(zhǎng)為4，則拋物線C的方程為()A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y【答案解析】答案為：C；解析：由得或即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)和(4p，8p)，則=4，得p=1(舍去負(fù)值)，故拋物線C的方程為x2=2y.若拋物線x2=4y上的點(diǎn)P(m，n)到其焦點(diǎn)的距離為5，則n=(

3、)A. B. C.3 D.4【答案解析】答案為：D；解析：拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為y=1，根據(jù)拋物線定義可知，5=n1，得n=4，故選D.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，PAl，垂足為A，|PF|=4，則直線AF的傾斜角等于()A. B. C. D.【答案解析】答案為：B；解析：由拋物線y2=4x知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x=1，由拋物線定義可知|PA|=|PF|=4，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)，所以kAF=，所以直線AF的傾斜角等于，故選B.過(guò)拋物線C：y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C

4、于點(diǎn)M(M在x軸上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MNl，若|NF|=4，則M到直線NF的距離為()A. B.2 C.3 D.2【答案解析】答案為：B；解析：直線MF的斜率為，MNl，NMF=60，又|MF|=|MN|，且|NF|=4，NMF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，M到直線NF的距離為2.故選B.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，N為拋物線上的一點(diǎn)，且滿足|NF|=|MN|，則點(diǎn)F到MN的距離為()A. B.1 C. D.2【答案解析】答案為：B；解析：由題可知|MF|=2，設(shè)點(diǎn)N到準(zhǔn)線的距離為d，由拋物線的定義可得d=|NF|，因?yàn)閨NF|=|MN|，所以cosNMF=，

5、所以sinNMF=，所以點(diǎn)F到MN的距離為|MF|sinNMF=2=1，故選B.已知拋物線y2=2x上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離與其到對(duì)稱軸的距離之比為54，且|AF|2，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為()A. B.2 C.4 D.8【答案解析】答案為：B；解析：令點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離為5a，點(diǎn)A到x軸的距離為4a，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5a-，4a)，代入y2=2x中，解得a=或a=(舍)，此時(shí)A(2，2)，故點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為2.已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn).若=4，則|QF|等于()A. B. C.3 D.2【答案解析】答案為：C；解析：因?yàn)?4，所以|=

6、4|，所以=.如圖，過(guò)Q作QQl，垂足為Q，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A，則|AF|=4，所以=，所以|QQ|=3，根據(jù)拋物線定義可知|QQ|=|QF|=3.已知拋物線y2=2px(p0)過(guò)點(diǎn)A(,)，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)B，直線AB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M，若=，則實(shí)數(shù)為()A. B. C.2 D.3【答案解析】答案為：C；解析：把點(diǎn)A(,)代入拋物線的方程得2=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x，則B(1，0)，設(shè)M，則=，=(1，yM)，由=，得解得=2或=1(舍去)，故選C.已知拋物線y2=8x，點(diǎn)Q是圓C：x2y22x8y13=0上任意一點(diǎn)，記拋物線上任意一點(diǎn)P到直線x=2的距離為

7、d，則|PQ|d的最小值為()A.5 B.4 C.3 D.2【答案解析】答案為：C；解析：如圖，由題意知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F(2，0)，連接PF，F(xiàn)Q，則d=|PF|，將圓C的方程化為(x1)2(y4)2=4，圓心為C(1，4)，半徑為2，則|PQ|d=|PQ|PF|，又|PQ|PF|FQ|(當(dāng)且僅當(dāng)F，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)).所以當(dāng)F，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且為|CF|CQ|=3，故選C.二 、填空題在直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)M(1，2)，若線段OM的垂直平分線過(guò)拋物線x2=2py(p0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是_.【答案解析】答案為：y=.解析：依題意可得線段OM

8、的垂直平分線的方程為2x4y5=0，把焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,)代入可求得p=，所以準(zhǔn)線方程為y=.若拋物線y2=4x上有一條長(zhǎng)度為10的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離為_.【答案解析】答案為：4.解析：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l：x=1，弦AB的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離d=，所以點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離的最小值為5，所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離為51=4.已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F與雙曲線y2=1的右焦點(diǎn)重合，若A為拋物線在第一象限上的一點(diǎn)，且|AF|=3，則直線AF的斜率為_.【答案解析】答案為：2.解析：雙曲線y2=1的右焦點(diǎn)為(2,0)，拋物線方程為y2=8x，|AF|=3，x

9、A2=3，得xA=1，代入拋物線方程可得yA=2.點(diǎn)A在第一象限，A(1，2)，直線AF的斜率為=2.已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，=4(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則ABO面積的最小值是_.【答案解析】答案為：4.解析：不妨設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，由=4，即x1x2y1y2=4得yyy1y2=4，得y1y2=8.所以SABO=|x1y2x2y1|=|y1y2|4，當(dāng)y1=2，y2=2時(shí)取等號(hào)，故ABO面積的最小值為4.三 、解答題已知拋物線C：x2=2py(p0)和定點(diǎn)M(0,1)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B

10、處的切線的交點(diǎn)為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若ABN的面積的最小值為4，求拋物線C的方程.【答案解析】解：由題意知，直線AB的斜率一定存在，設(shè)直線AB：y=kx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x22pkx2p=0，則x1x2=2pk，x1x2=2p.(1)由x2=2py得y=，則A，B處的切線斜率的乘積為=，點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上，ANBN，=1，p=2.(2)易得直線AN：yy1=(xx1)，直線BN：yy2=(xx2)，聯(lián)立，得結(jié)合式，解得即N(pk，1).|AB|=|x2x1|=，點(diǎn)N到直線AB的距離d=，則SABN=

11、|AB|d=2，當(dāng)k=0時(shí)，取等號(hào)，ABN的面積的最小值為4，2=4，p=2，故拋物線C的方程為x2=4y.過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=8.(1)求直線l的方程；(2)若A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，求證：B，D，E三點(diǎn)共線.【答案解析】解：(1)F的坐標(biāo)為(1,0)，則l的方程為y=k(x1)，代入拋物線方程y2=4x得k2x2(2k24)xk2=0，由題意知k0，且(2k24)24k2k2=16(k21)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2=，x1x2=1，由拋物線的定義知|AB|=x1x22=8

12、，=6，k2=1，即k=1，直線l的方程為y=(x1).(2)證明：由拋物線的對(duì)稱性知，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，又E(1,0)，kEBkED=，y2(x11)y1(x21)=y2y1=(y1y2)(y1y2)=(y1y2).由(1)知x1x2=1，(y1y2)2=16x1x2=16，又y1與y2異號(hào)，y1y2=4，即1=0，kEB=kED，又ED與EB有公共點(diǎn)E，B，D，E三點(diǎn)共線.已知拋物線C：x2=2py(p0)和定點(diǎn)M(0，1)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線的交點(diǎn)為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若ABN的面積的最小值為4，求拋

13、物線C的方程.【答案解析】解：由題意知，直線AB的斜率一定存在，設(shè)直線AB：y=kx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x22pkx2p=0，則x1x2=2pk，x1x2=2p.(1)由x2=2py得y=，則A，B處的切線斜率的乘積為=，點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上，ANBN，=1，p=2.(2)易得直線AN：yy1=(xx1)，直線BN：yy2=(xx2)，聯(lián)立，得結(jié)合式，解得即N(pk，1).|AB|=|x2x1|=，點(diǎn)N到直線AB的距離d=，則SABN=|AB|d=2，當(dāng)k=0時(shí)，取等號(hào)，ABN的面積的最小值為4，2=4，p=2，故拋物線C的方程為x2

14、=4y.已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過(guò)F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：(1)y1y2=p2，x1x2=；(2)為定值；(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.【答案解析】證明：(1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為.由題意可設(shè)直線方程為x=my，代入y2=2px，得y2=2p，即y22pmyp2=0.(*)因?yàn)樵趻佄锞€內(nèi)部，所以直線與拋物線必有兩交點(diǎn).則y1，y2是方程(*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以y1y2=p2.因?yàn)閥=2px1，y=2px2，所以yy=4p2x1x2，所以x1x2=.(2)=.因?yàn)閤1x2=，x1x2=|AB|p，代入上式，得=(定值

15、).(3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，如圖所示，分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為C，D，過(guò)M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為N，則|MN|=(|AC|BD|)=(|AF|BF|)=|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)C(2,0)的直線與拋物線y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)求證：y1y2為定值；(2)是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出該直線的方程和弦長(zhǎng)，如果不存在，說(shuō)明理由.【答案解析】解：(1)當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，不妨取y1=2，y2=2，所以y1y2=8(定值).當(dāng)

16、直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k(x2)，由得ky24y8k=0，所以y1y2=8.綜上可得，y1y2=8為定值.(2)存在.理由如下：設(shè)存在直線l：x=a滿足條件，則AC的中點(diǎn)E(，)，|AC|=，因此以AC為直徑的圓的半徑r=|AC|=，點(diǎn)E到直線x=a的距離d=|a|，所以所截弦長(zhǎng)為2=2=，當(dāng)1a=0，即a=1時(shí)，弦長(zhǎng)為定值2，這時(shí)直線的方程為x=1.已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1，1).過(guò)點(diǎn)(0,)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證

17、：A為線段BM的中點(diǎn).【答案解析】解：(1)把P(1，1)代入y2=2px得p=，所以拋物線C：y2=x，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)，準(zhǔn)線：x=.(2)證明：設(shè)l：y=kx，M(x1，y1)，N(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=x，由題知A(x1，x1)，B，由消去y得k2x2(k1)x=0，所以x1x2=，x1x2=.所以y1=kx1=2kx1，由x1x2=，x1x2=，上式=2kx1=2kx1(1k)2x1=2x1，所以A為線段BM的中點(diǎn).已知拋物線C：x2=2py(p0)和定點(diǎn)M(0,1)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線交點(diǎn)為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若ABN面積的最小值為4，求拋