(完整word版)現(xiàn)代控制理論試題(詳細答案)0001

1、現(xiàn)代控制理論試題B卷及答案、1 系統(tǒng)2x ：u,y0 11x能控的狀態(tài)變量個數(shù)是CVCVX ,能觀測的狀態(tài)變量個數(shù)是cvcvx。2試從高階微分方程y 3y 8 5u求得系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程(4分/個)解1 .能控的狀態(tài)變量個數(shù)是2,能觀測的狀態(tài)變量個數(shù)是1。狀態(tài)變量個數(shù)是2。.(4分)2.選取狀態(tài)變量xy，可得（1 分） 二 X2*2 二 X3*3 二-8X1y p-3x3 5u.（1分）寫成二、1（3 分）01-3.（1 分）0 0 x：(1 分)給出線性定常系統(tǒng)x(k1) = Ax(k) Bu(k), y(k)=Cx(k)能控的定義。2已知系統(tǒng)X二00一3x, y = 1-01 1 l

2、x，判定該系統(tǒng)是否完全能觀？ (5分)控。.(3分)2.2CA = 0 11 】000【0-3-0 2 -31(1 分)CA2U。_20 2-3】0衛(wèi)C 1 一0CAQA2.000-3=0 4 9 .(1 分)1-39.(1 分)rankU =2 ： n ,所以該系統(tǒng)不完全能觀.(2分)三、已知系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)分別為g1(s)=s2 -12s 3s 2g2(s)=s 1s2 -3s 2g(s) 7(s)g1(s)二S2 -4解1 .答：若存在控制向量序列u(k),u(k 1),樸|,u(k N _1),時系統(tǒng)從第 k步的狀態(tài)x(k)開始，在第N步達到零狀態(tài)，即x(N)=O，其中N是大于 0

3、的有限數(shù)，那么就稱此系統(tǒng)在第k步上是能控的。若對每一個k，系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，就稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能求兩系統(tǒng)串聯(lián)后系統(tǒng)的最小實現(xiàn)。(8分)(s-1)(s 1) s 1(s 1)(s 2) (s-1)(s-2)(5 分)最小實現(xiàn)為10 x 0 u, y - 11 0 x 一1pj?2_11A=PAP_IITO們 .5（1 分）（1 分）（1 分）（1 分）（1分）（3分）四、將下列狀態(tài)方程X=x + fu化為能控標準形。（8分）? 4解Uc =b Ab】=一1 . .（1 分）J 7 一7匸（Uc）=| 81.1.（1 分）8 8 一_1 口& = Pb = | 88-44 一x

4、= 0 U u ILTO 5|1 .（1分） 五、利用李亞普諾夫第一方法判定系統(tǒng)x=i;彳的穩(wěn)定性。（8分）_34181- -nJ-nJ1 1 1_1_P17474 3838 5858- - - - - -（1 分）P11P12P 二_P12P2274 刼 % J分）呵dt%螢P22廠%64（1 分）P正定，因此系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的（1 分） .（3分）ATP PA _ -I .（1 分）（1 分）（3 分）均具有負實部，系統(tǒng)在原點附近一致漸近穩(wěn)定 .（2 分）六、利用李雅普諾夫第二方法判斷系統(tǒng) * = 11 x是否為大范圍2-3 一漸近穩(wěn)定：（8分）解P= P11 P2|I_PI2

5、 P222 p114p12 = -1 P11 -4% +2P22 =02 P12 - 6 P22 = 1-2k +2冷 34det1(2 分)七、已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣為G(s)=2s 1(s-1)(s+2)2s 1.s(s + 1)(s-2)s3s2 1巳=1 01，巳-10 11-(2 分)E= 1_0011非奇異，可實現(xiàn)解耦控制。(2-1X = 0_1-3-110 u,1_1y - 10 101x設(shè)計一個具有特征值為-1-1，-1的全維狀態(tài)觀測器。(8 分)解: 方法13-1丸+1判斷該系統(tǒng)能否用狀態(tài)反饋和輸入變換實現(xiàn)解耦控制。（6分）解：d0 d2 =0 -分）P = P11亦P12P22

6、2 E11E2E3=c 2 2 1)E2 3 3 2 3 1 3 3 3E22 巳 E3， E332= ：；(E2 3)(2E2 E3 6V 6 E3 4E2 E11(2 分)-2分1分0又因為列方程6 E3 4E2 E1 =12E2 E3 6=3E2 亠 3 3E1 =-2,k? = 0, E3 = -3觀測器為-3 一們-1ly-1J J3方法2觀測器為:. 1-1-1 ;:1*32f ( ) = 3 亠3;；i，1E1 = -5,Q _ |CTE2 - -3,E3 = 0ATCT (AT)2CTa1ai111E1 2,k2 =0,E3 二31 分1分0-10311-210-115? +0

7、u +00一1 一I i1 一I i_3_iy九解A二00, A 二1,0、2、（1 分）Ate 二0eA2t分）（Si -A2）s-1-1s -1.（1 分）ls2s1eA2t =Lsi _A2二_e02t eAtx（t）二 e x（O）（2 分）f t e00 x=0t e02tt2t0e -eeJ2t eteAtsi _A 4.（2 分）/ te00e21 -e002te丿f t 、e02t1_1一-一1 一2-J_-1D =TAT = I01因此，：0-2從而,解法2。拉普拉斯方法 由于11s(A)-1s 31 adj(sl _ A)1 s 3 1det(sl - A)s(s 3) 2

8、 |L - 2 ss + 311-2111(s+1)(s+2)(s+1)(s + 2)s + 1s + 2 s + 1s + 2-2s-22-12+(s+1)(s+2)(s+1)(s+ 2)_i i_s + 1s + 2s + 1s + 22e2-2e2 2e2et解法3。凱萊-哈密爾頓方法將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫成ai(t)A統(tǒng)矩陣的特征-1 和-2， 故解以上線性方程組，可得a(t) =2e-2t-eat) =e_e因此,-2ee(t)=e = ao(t)1 + a1 (t)A = | 2e+ 2e2t_2t丄-2t -e -e丄c -2te + 2et_2te二a(t) at)e二 a(t) -

9、2a1(t)四、(15分)已知對象的狀態(tài)空間模型x = AxBu,觀的，請畫出觀測器設(shè)計的框圖，并據(jù)此給出觀測器方程，觀測器設(shè) 計方法。解觀測器設(shè)計的框圖:觀測器方程: = A Bu L(y _Cx)= (A-LC) Bu Ly：(t)二eAt= Lt(sl - A)=e-et-e1ATP PAI其中的未知對稱矩陣P=P11ILP12p12p22其中：是觀測器的維狀態(tài)，L是一個n x p維的待定觀測器增益矩陣觀測器設(shè)計方法：由于det| _(A LC) =det| (A LC)T =det| (AT CTLT)因此，可以利用極點配置的方法來確定矩陣L,使得ATCTLT具有給定的觀測器極點。具體

10、的方法有：直接法、變換法、愛克曼公式。五、(15分)對于一個連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，試敘述 Lyapu nov穩(wěn)定 性定理，并舉一個二階系統(tǒng)例子說明該定理的應(yīng)用。解 連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理：線性時不變系統(tǒng)X二AX在平衡點Xe =0處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是： 對任意給定的對稱正定矩陣 Q李雅普諾夫矩陣方程ATPPA二_Q有 惟一的對稱正定解P。在具體問題分析中，可以選取 Q= I考慮二階線性時不變系統(tǒng)：原點是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫矩陣方程將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得0 -1；pi1P12】+p11口2；001p22-_p12p22|_T1

11、_0-1 _進一步可得聯(lián)立方程組- 2p12 = TP11 一 P12 一 P222p12 - 2p22 = 一1從上式解出P11Pl2和P22, 從而可得矩陣G(s)二10(s 1)(s 2)該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程是期望的閉環(huán)特征方程是通過可得從上式可解出因此，要設(shè)計的極點配置狀態(tài)反饋控制器是p _ PM pi2 _ 3/2 1/2|（Pl2 P22_1/2 1根據(jù)塞爾維斯特方法，可得厶1=3 0 乙二detP=? 024故矩陣P是正定的。因此，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。六、（10分）已知被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是試設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-1 j。解 系統(tǒng)的狀態(tài)

12、空間模型是010 xX uIL- 2 -3_1y = 10 0X將控制器u二k &X代入到所考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程-0 1 1x =x2 _ _ 3 _ 匕 _det( I -AcH 2(3 k)(2 k0)($、T 一 j)(兒 T j) =22- 22(3 k1r (2 k0 2223k 22&=2k - _1k00$2 一七、（10分）證明：等價的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。證明對狀態(tài)空間模型x = Ax Buy 二 Cx Du它的等價狀態(tài)空間模型具有形式x 二 Ax Buy 二 CX D u其中：1 1A =TATB =TB C =CTD = DT是任意的非奇異變

13、換矩陣。利用以上的關(guān)系式，等價狀態(tài)空間模型 的能控性矩陣是-cA,BHB ABAnB二TB TATTB（TAT）nTB二 TB AB AnB二cA,B由于矩陣T是非奇異的，故矩陣-cA,B，和:cA,B具有相同的秩，從 而等價的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。八、（15分）在極點配置是控制系統(tǒng)設(shè)計中的一種有效方法，請問這 種方法能改善控制系統(tǒng)的哪些性能？對系統(tǒng)性能是否也可能產(chǎn)生不 利影響？如何解決？解：極點配置可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，如調(diào)節(jié)時間、峰值時間、 振蕩幅度。極點配置也有一些負面的影響，特別的，可能使得一個開環(huán)無靜差的 系統(tǒng)通過極點配置后，其閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，從而使得系統(tǒng)的穩(wěn) 態(tài)性能

14、變差。改善的方法：針對階躍輸入的系統(tǒng)，通過引進一個積分器來消除跟蹤誤差，其結(jié)構(gòu)圖是構(gòu)建增廣系統(tǒng)，通過極點配置方法來設(shè)計增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制 器，從而使得閉環(huán)系統(tǒng)不僅保持期望的動態(tài)性能，而且避免了穩(wěn)態(tài)誤差的出現(xiàn)。現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題2一、(10分，每小題2分)試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確 的，則在其左邊的括號里打，反之打X。(X ) 1.對一個系統(tǒng)，只能選取一組狀態(tài)變量；(“)2.由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以決定系統(tǒng)狀態(tài)方程的狀態(tài)矩陣，進 而決定系統(tǒng)的動態(tài)特性；(X ) 3.若傳遞函數(shù)G(s)=c(sl AB存在零極相消，則對應(yīng)的狀 態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)是不能控不能觀的；(X ) 4.若一個系統(tǒng)是

15、李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)在任 意平衡狀態(tài)處都是穩(wěn)定的；(“)5.狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。二、(20分)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2s+ 5G(s)-(s+3)(s+5)G(s)二2s 5s 5這相當(dāng)于兩個環(huán)節(jié)三和音串連它們的狀態(tài)空間模型分別為:XiJi=-3x1 u二 X1和!X2=_5X2 uy = -5X2 U|(1)采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀態(tài) 變量圖；(2) 采用并聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀態(tài) 變量圖答：(1)將G(s)寫成以下形式:由于丸1,故可得給定傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)是:將其寫成矩陣向量的形式，可得:_-3op/十rx2L _

16、1_51V0V = 12 - 51對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為:串連分解所得狀態(tài)空間實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖(2)將G( s)寫成以下形式：、-0.52.5+s+35+5它可以看成是兩個環(huán)節(jié)-0.5和2.5的并聯(lián)，每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間s +3 s + 5模型分別為：=S.T- 0.5/和乙=-5x, +2Vi ViSb *由此可得原傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn):A-! = -3A - 0.5H|x2 = -5X2 + 2.5uy =+ 2 =xi 一可進一步寫成狀態(tài)向量的形式，可得:-30 _亠 * 0_52.5對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為:并連分解所得狀態(tài)空間實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖三、（20分）試介紹求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的

17、方法，并以一種方法和一個數(shù)值例子為例，求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；答：求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法有：10adj(sI-A)1s+1方法一直接計算法：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義= jr-J-j-r十一丄占屮十來直接計算，只適合一些特殊矩陣A。方法二 通過線性變換計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，設(shè)法通過線性變換，將矩 陣A變換成對角矩陣或約當(dāng)矩陣，進而利用方法得到要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移 矩陣。方法三 拉普拉斯變換法：e =L（sl -A）。方法四 凱萊-哈密爾頓方法根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理和，可導(dǎo)出eAt具有以下形式：J =+ + a2 （f）A2 + 十盤 I其中的：0（t）, 2（t），： n（t）均是時間t的標量函數(shù)。

18、根據(jù)矩陣A有n個不同特征值和有重特征值的情況，可以分別確定這些系數(shù)。舉例：利用拉普拉斯變換法計算由狀態(tài)矩陣-1 0 A 0-1所確定的自治系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。由于j + l01det(sZ 一月)J + 10cp(f) =嵌鼾=-1(5/-.4)-1_曠 0_ 0 /四、（10分）解釋狀態(tài)能觀性的含義，給出能觀性的判別條件，并舉 例說明之。答：狀態(tài)能觀性的含義：狀態(tài)能觀性反映了通過系統(tǒng)的輸出對系統(tǒng)狀 態(tài)的識別能力，對一個零輸入的系統(tǒng)，若它是能觀的，貝何以通過一 段時間內(nèi)的測量輸出來估計之前某個時刻的系統(tǒng)狀態(tài)。狀態(tài)能觀的判別方法: 對于n階系統(tǒng)A =+ Blly = Cx1.若其能觀性矩陣K=

19、CA列滿秩，則系統(tǒng)完全能觀.CA2.若系統(tǒng)的能觀格拉姆矩陣叫（0）二/LcVw非奇異，則系統(tǒng)完全能觀。舉例：對于系統(tǒng)1 0_,1 +1 11v=0 lr其能觀性矩陣 C飛1CA1 1的秩為2,即是列滿秩的，故系統(tǒng)是能觀的五、（20分）對一個由狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)，試回答：（1） 能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件是什么？（2） 簡單敘述兩種極點配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法；（3） 試通過數(shù)值例子說明極點配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計。答：（1）能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件：系統(tǒng)是能控 的。（2）極點配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法有直接法、變換法、愛克 曼公式法。直接法驗證系統(tǒng)的能控性，

20、若系統(tǒng)能控，則進行以下設(shè)計。設(shè)狀態(tài)反饋控制器u二Kx,相應(yīng)的閉環(huán)矩陣是A BK閉環(huán)系統(tǒng)的特 征多項式為detAT-（A-BK）.由期望極點S，可得期望的閉環(huán)特征多項式“ -幻仇-人）=T + by + 4 + %通過讓以上兩個特征多項式相等，可以列出一組以控制器參數(shù)為變量 的線性方程組，由這組線性方程可以求出極點配置狀態(tài)反饋的增益矩 陣K。變換法驗證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進行以下設(shè)計。將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為能控標準型，相應(yīng)的狀態(tài)變換矩陣T = rcA.BrcA.B）-設(shè)期望的特征多項式為而能控標準型的特征多項式為久十口卄護1+ T斶所以，狀態(tài)反饋控制器增益矩陣是K =瓦一口“ 一嗎陽一?。?/p>

21、3）采用直接法來說明極點配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計考慮以下系統(tǒng)設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)極點為該狀態(tài)空間模型的能控性矩陣為rcJ. = r該能控性矩陣是行滿秩的，所以系統(tǒng)能控。設(shè)狀態(tài)反饋控制器u Kx - -血卜將其代入系統(tǒng)狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程 0 1A= ., X2 -亦 一3 -伉其特征多項式為211 0detp.I-U- BK) =，+ (3 + 2 + 屁由期望的閉環(huán)極點-2和-3,可得閉環(huán)特征多項式（2 + 2X兄 + 3）蘭乂 + 5/1 + 6通過A2 -（3-）/1 - 2 -= A2 + 5/ - 6可得3 + =52 + 億=6由此方程組得到& = 2因此

22、，要設(shè)計的極點配置狀態(tài)反饋控制器it = Kx = -8 2x六、（20分）給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型x二Ax（1） 試問如何判斷該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性？（2） 試通過一個例子說明您給出的方法；（3） 給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理解釋。答：（1）給定的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型x二Ax是一個線性時不變系統(tǒng)，根據(jù)線 性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理，該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要 條件是：對任意給定的對稱正定矩陣 Q矩陣方程ATP P-Q有一個 對稱正定解矩陣P。因此，通過求解矩陣方程ATP P-Q，若能得到 一個對稱正定解矩陣P,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若得不到對稱正定解矩陣P,原點是該系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求

23、解李雅普諾夫方程:AT P PA = _Q，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一般的，可以選取 Q=I。(2)舉例：考慮由以下狀態(tài)方程描述的二階線性時不變系統(tǒng):其中的未知矩陣將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得為了計算簡單，選取Q =21，則從以上矩陣方程可得:求解該線性方程組，可得：Pll= 1 * Pi，=0即r 1 oip=0 1判斷可得矩陣P是正定的。因此該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。(3)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理意義：針對一個動態(tài)系統(tǒng)和確定 的平衡狀態(tài)，通過分析該系統(tǒng)運動過程中能量的變化來判斷系統(tǒng)的穩(wěn) 定性。具體地說，就是構(gòu)造一個反映系統(tǒng)運動過程中能量變化的虛擬 能量函數(shù)，沿系統(tǒng)的運動軌跡，通過該

24、能量函數(shù)關(guān)于時間導(dǎo)數(shù)的取值0L旳PL來判斷系統(tǒng)能量在運動過程中是否減少，若該導(dǎo)數(shù)值都是小于零的， 則表明系統(tǒng)能量隨著時間的增長是減少的，直至消耗殆盡，表明在系統(tǒng)運動上，就是系統(tǒng)運動逐步趨向平緩，直至在平衡狀態(tài)處穩(wěn)定下來， 這就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題3一、(10分，每小題2分)試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確的，則在其左邊的括號里打，反之打X。(X ) 1.具有對角型狀態(tài)矩陣的狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)可以看 成是由多個一階環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)；(X ) 2.要使得觀測器估計的狀態(tài)盡可能快地逼近系統(tǒng)的實際狀態(tài)，觀測器的極點應(yīng)該比系統(tǒng)極點快10倍以上；(X ) 3.若傳遞函數(shù)G

25、(S)二C(sl A)B存在零極相消，則對應(yīng)狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)是不能控的；(“)4.若線性系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則它是大范圍漸近穩(wěn)定的；(“)5.若線性二次型最優(yōu)控制問題有解，則可以得到一個穩(wěn)定 化狀態(tài)反饋控制器。二、(20分)( 1)如何由一個傳遞函數(shù)來給出其對應(yīng)的狀態(tài)空間模 型，試簡述其解決思路？(2)給出一個二階傳遞函數(shù)G(s)旦& 的兩種狀態(tài)空間實現(xiàn)。(s +3)(s + 5)解：(1)單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是占屛+厲2小+如+如若0=0，則通過長除法，傳遞函數(shù)G(S)總可以轉(zhuǎn)化成葉評門十+ CV + 5|詰=心)| d9葉1列T十+斫$ + 口0皿)

26、廣 0i0 00001 00i =1 :-X 4-000 10一如_心1V =h q -3 b -血串聯(lián)法其思想是將一個n階的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的 乘積，然后寫出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)， 最后利用串聯(lián)關(guān) 系，寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。并聯(lián)法其的思路是把一個復(fù)雜的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù) 的和，然后對每個低階傳遞函數(shù)確定其狀態(tài)空間實現(xiàn)，最后根據(jù)并聯(lián) 關(guān)系給出原來傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)。(2)方法一：將G(s)重新寫成下述形式：G二2J-55 + 5將可得一個狀態(tài)空間實現(xiàn)211-3 01 -1每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為:3Xi + it1 fu=1又因為yi=5，所

27、以因此，若采用串聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:-5方法二：將G(s)重新寫成下述形式:每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為:又由于Xj = 3X 0.5wAT 因此，若采用并聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:一3 00 -5方法三：將G(s)重新寫成下述形式:則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:01X1-一 -15-S11評分標準：問題（1） 10分，由一個傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型思路清晰，方法正確10分；問題（2）10分，兩種狀態(tài)空間實現(xiàn)方法各5 分。三、（20分）（ 1）試問狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是什么？（2） 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是否包含了對應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息？（3） 介紹兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

28、的方法；（4）計算系統(tǒng)x二0 1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。-2-3解：（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是決定狀態(tài)沿著軌線從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移 到下一個狀態(tài)的規(guī)律，即初始狀態(tài)x0在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（t,t 0）的作 用下，t0時刻的初始狀態(tài)x0經(jīng)過時間t- t0后轉(zhuǎn)移到了時刻t的狀態(tài)x（t）。（2） 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了對應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息；對于自治系統(tǒng)i = Av t t（0） = A（3） 拉普拉斯變換法、凱萊-哈密爾頓法、線性變換法、直接計算法。方法一直接計算法根據(jù)定義，G（J）=2吿“ -8-15我們已經(jīng)知道上式中的矩陣級數(shù)總是收斂的，故可以通過計算該矩陣級數(shù)的和來得到所要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。方法二線性變換法如果矩陣

29、A是一個可對角化的矩陣，即存在一個 非奇異矩陣T,使得oTAT=D=”則/ 0 _戒扣=Tl.TK0占方法三拉普拉斯變換法嚴=r1(sT-/r1方法四 凱萊-哈密爾頓法解一個線性方程組11礦廠 jw-i0(0 I114 :界 * A耳】(臥P其系數(shù)矩陣的行列式是著名的范德蒙行列式，當(dāng)入1,入2,入n互 不相同時，行列式的值不為零，從而從方程組可得惟一解a 0(t), a1 ( t),01 +容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的兩個特征值是-1是不相同的，故系統(tǒng)的矩陣 A可以對角化。=-1, 2 - -2，匕們A對應(yīng)與特征值1 = -1, 2二亠的特征向量是取變換矩陣丁 =Wi 廠-12 1-1-1_2因此

30、,從而,ef0嚴+2廣方法二：拉普拉斯變換法，由于=%(f)F + 旳(r)A +旳(r)土 4+ %_()屮 1可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。(4)方法一：線性變換法,$ -12 亠3-11$ + 3($ + 3) + 2-25 + 3G + DG + 2)-2(s +1)(5 4- 2)_ 2 1-1 2-+ -5 + 1 S + 2呦=/=戸3_&-】方法二：凱萊-哈密爾頓法將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫成?Jr = cr0(DZ-ffl(rM系統(tǒng)矩陣的特征值是-1和-2，故勺(r) 一 ax e2r = cz#) 2iG)解以上線性方程組，可得暫(/) = 2eT -e2t=一才-er因此,k =勺+ q（f）

31、碩y &s亠 1 & + 2-+-5+15+2二2八+0_（7 + 4）嚴_ 2宀八宀嚴：_-2嚴 k 2e2j-e4 20A1=l0AT = det1_ J_2 4 344/故矩陣P是正定的。因此，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn) 定的。評分標準：問題(1)完整敘述線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理5分；問題(2)穩(wěn)定性判斷方法和結(jié)果正確 5分。現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題4一、(10分，每小題1分)試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確 的，則在其左邊的括號里打，反之打X。(V ) 1.相比于經(jīng)典控制理論，現(xiàn)代控制理論的一個顯著優(yōu)點是 可以用時域法直接進行系統(tǒng)的分析和設(shè)計。(V ) 2.傳遞函數(shù)

32、的狀態(tài)空間實現(xiàn)不唯一的一個主要原因是狀態(tài) 變量選取不唯一。(X ) 3.狀態(tài)變量是用于完全描述系統(tǒng)動態(tài)行為的一組變量，因 此都是具有物理意義。(X ) 4.輸出變量是狀態(tài)變量的部分信息，因此一個系統(tǒng)狀態(tài)能 控意味著系統(tǒng)輸出能控。(V ) 5.等價的狀態(tài)空間模型具有相同的傳遞函數(shù)。(X ) 6.互為對偶的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。(X ) 7. 一個系統(tǒng)的平衡狀態(tài)可能有多個，因此系統(tǒng)的李雅普諾 夫穩(wěn)定性與系統(tǒng)受擾前所處的平衡位置無關(guān)。(“)8.若一線性定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則從系統(tǒng) 的任意一個狀態(tài)出發(fā)的狀態(tài)軌跡隨著時間的推移都將收斂到該平衡 狀態(tài)。(X ) 9.反饋控制可改變系統(tǒng)的

33、穩(wěn)定性、動態(tài)性能，但不改變系 統(tǒng)的能控性和能觀性。(X ) 10.如果一個系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)確實不存在，那么我們就可以斷定該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。二、(15分)建立一個合理的系統(tǒng)模型是進行系統(tǒng)分析和設(shè)計的基礎(chǔ)已知一單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的微分方程為：y(t) 4y(t)3y(t) = u(t) 6u(t)8u(t)(1) 采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀態(tài) 變量圖；(7分+3分)(2) 歸納總結(jié)上述的實現(xiàn)過程，試簡述由一個系統(tǒng)的n階微分方程建 立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的思路。(5分)解：(1)方法一：由微分方程可得G($)X+ J+2$ - 5廠 +4$ + 3獷一 4$-3令.x

34、 2$ + 512$ + 5每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為:/和0u30-u3li和方法二:由微分方程可得=土s +45 3 s +1 s - i每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為:又因為yl = u 1，所以.Xn 一3X + Uy必&0為性能指標可調(diào)參數(shù)。試回答（1） 當(dāng)參數(shù)r固定時，求使得性能指標J最小化的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制 器。（10分）（2） 當(dāng)參數(shù)r增大時，分析閉環(huán)系統(tǒng)性能的變化。（5分）解：（1）系統(tǒng)性能指標J等價為/P + r + 角二 J2廠一 2廣J廠+；-使得性能指標J最小化的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器為：(2)將上述最優(yōu)控制律代入系統(tǒng)，得最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣=000A = A-BR1

35、BTP0 1一】01 o r 1廠0 1Pa則閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為，+卷兄一1+魚可得最優(yōu)閉環(huán)極點為/ _ 一 甩 土 站陽卩了 一 4 （1 一 百/ ） _ 吐2 斗 J22 + 2其中Z二r2 r /r。隨著參數(shù)r的增大，閉環(huán)極點越來越靠近虛軸,從而系統(tǒng)的響應(yīng)速度變慢。事實上，從性能指標也可以看出，參數(shù)r的增大表明控制能量約束的加權(quán)越來越大， 希望用較小的能量來實現(xiàn) 系統(tǒng)的控制，顯然由此導(dǎo)致的結(jié)果就是系統(tǒng)速度變慢?，F(xiàn)代控制理論1.經(jīng)典-現(xiàn)代控制區(qū)別：經(jīng)典控制理論中，對一個線性定常系統(tǒng)，可用常微分方程或傳遞函數(shù) 加以描述,可將某個單變量作為輸出，直接和輸入聯(lián)系起來；現(xiàn)代控制 理論用狀態(tài)空間

36、法分析系統(tǒng)，系統(tǒng)的動態(tài)特性用狀態(tài)變量構(gòu)成的一階 微分方程組描述，不再局限于輸入量，輸出量,誤差量,為提高系統(tǒng)性 能提供了有力的工具.可以應(yīng)用于非線性，時變系統(tǒng)，多輸入-多輸出 系統(tǒng)以及隨機過程.2.實現(xiàn)- 描述 由描述系統(tǒng)輸入 - 輸出動態(tài)關(guān)系的運動方程式或傳遞函數(shù) ,建立系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式 ,這樣問題叫實現(xiàn)問題 . 實現(xiàn)是非唯一的 .3.對偶原理系統(tǒng)二刀1(A1,B1,C1)和二刀2(A2,B2,C2)是互為對偶的兩個系統(tǒng)，則刀 1的能控性等價于刀2的能觀性，刀1的能觀性等價于刀2的能控性. 或者說,若刀1是狀態(tài)完全能控的(完全能觀的),則刀2是狀態(tài)完全能 觀的(完全能控的 ). 對偶系

37、統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置4.對線性定常系統(tǒng)刀O=(A,B,C),狀態(tài)觀測器存在的充要條件是的不 能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1.狀態(tài)方程 :由系統(tǒng)狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組2.輸出方程 : 在指定系統(tǒng)輸出的情況下 , 該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù) 關(guān)系式3.狀態(tài)空間表達式 : 狀態(tài)方程和輸出方程總合 , 構(gòu)成對一個系統(tǒng)完整 動態(tài)描述4.友矩陣: 主對角線上方元素均為1 :最后一行元素可取任意值 ; 其余元素均為 05.非奇異變換 :x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T 為任意非 奇異陣(變換矩陣 ), 空間表達式非唯一6.同一系統(tǒng) ,

38、 經(jīng)非奇異變換后 , 特征值不變 ; 特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng) 的不變量第二章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：eAt，記作2.線性定常非齊次方程的解:x(t)=(t)x(O)+ j t0(t- T )Bu( T )dT第三章 線性控制系統(tǒng)的能控能觀性1 .能控:使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài) x(t0), 轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài) x(tf), 稱此狀態(tài)是能控的 . 若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的 , 稱系統(tǒng)是 狀態(tài)完全能控2.系統(tǒng)的能控性，取決于狀態(tài)方程中系統(tǒng)矩陣 A和控制矩陣b3.一般系統(tǒng)能控性充要條件:(1)在T-1B中對應(yīng)于相同特征值的部分它與每個約旦塊最后一行相對應(yīng)的一行元素沒有全為 0

39、.(2)T-1B 中 對于互異特征值部分 , 它的各行元素沒有全為 0的4.在系統(tǒng)矩陣為約旦標準型的情況下，系統(tǒng)能觀的充要條件是 C中對 應(yīng)每個約旦塊開頭的一列的元素不全為 05.約旦標準型對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算 , 可控可觀性分析方便 ; 狀態(tài) 反饋則化為能控標準型 ; 狀態(tài)觀測器則化為能觀標準型6.最小實現(xiàn)問題 : 根據(jù)給定傳遞函數(shù)陣求對應(yīng)的狀態(tài)空間表達式 , 其 解無窮多,但其中維數(shù)最小的那個狀態(tài)空間表達式是最常用的 . 第五章 線性定常系統(tǒng)綜合1.狀態(tài)反饋 : 將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù) , 然后反 饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律 , 作為受控系統(tǒng)的控制輸入 .K 為

40、 r*n 維狀態(tài)反饋系數(shù)陣或狀態(tài)反饋增益陣2.輸出反饋：采用輸出矢量y構(gòu)成線性反饋律H為輸出反饋增益陣3.從輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)x的反饋:A+GC4.線性反饋 ： 不增加新狀態(tài)變量 , 系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)同維 , 反饋增益陣都 是常矩陣動態(tài)補償器 : 引入一個動態(tài)子系統(tǒng)來改善系統(tǒng)性能5. (1) 狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性(2) 輸出反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性和能觀性6.極點配置問題 : 通過選擇反饋增益陣 , 將閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好配置 在根平面上所期望的位置 , 以獲得所希望的動態(tài)性能(1)采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)任意配置極點的充要條件是刀0完全能控(2)對完全能控的單輸入 -單輸出系統(tǒng) , 通過帶

41、動態(tài)補償器的輸出反饋 實現(xiàn)極點任意配置的充要條件1刀0完全能控2動態(tài)補償器的階數(shù) 為 n-1(3)對系統(tǒng)用從輸出到 x 線性反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點任意配置充要條件是 完全能觀7.傳遞函數(shù)沒有零極點對消現(xiàn)象 , 能控能觀8.對完全能控的單輸入 -單輸出系統(tǒng) , 不能采用輸出線性反饋來實現(xiàn) 閉環(huán)系統(tǒng)極點的任意配置9.系統(tǒng)鎮(zhèn)定 : 保證穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的必要前提 , 對受控系統(tǒng) 通過反饋使其極點均具有負實部 , 保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定(1) 對系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是其不能控子系統(tǒng)漸近穩(wěn) 定(2)對系統(tǒng)通過輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是其結(jié)構(gòu)分解中的能控且 能觀子系統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是

42、漸近穩(wěn)定的(3)對系統(tǒng)采用輸出到x反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定充要條件是其不能觀子系統(tǒng)為 漸近穩(wěn)定10.解耦問題：尋求適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)律，使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系 統(tǒng)的實現(xiàn)每個輸出僅受相應(yīng)的一個輸入所控制，每個輸入也僅能控制 相應(yīng)的一個輸出11.系統(tǒng)解耦方法：前饋補償器解耦和狀態(tài)反饋解耦12.全維觀測器：維數(shù)和受控系統(tǒng)維數(shù)相同的觀測器現(xiàn)代控制理論試題1已知系統(tǒng)2/ 2 u 2u，試求其狀態(tài)空間最小實現(xiàn)。(5分)_1 1 0 0 1 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程及輸出方程為x=o 1 Ox+ I 1u0 - 1y - 0 0 1 lx試判定系統(tǒng)的能控性。(5分)2已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為試求當(dāng)u=t; t_0時，系統(tǒng)的輸出y(t)。 ( 10 分)3給定系統(tǒng)