非線性計(jì)算理論

1、第十一章第十一章 橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性計(jì)算理論橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性計(jì)算理論11.1 概概 述述1.幾種非線性問題幾種非線性問題工程上的非線性問題主要分為材料非線性、工程上的非線性問題主要分為材料非線性、 幾何非線性、接幾何非線性、接觸非線性三類觸非線性三類. .2.幾種幾何非線性問題幾種幾何非線性問題兩種幾何非線性問題兩種幾何非線性問題大位移小應(yīng)變即大位移小應(yīng)變即有限位移理論有限位移理論和大位移大應(yīng)變即有限變形理和大位移大應(yīng)變即有限變形理論兩種論兩種.3.大跨度橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性效應(yīng)大跨度橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性效應(yīng)1)單元初內(nèi)力對(duì)單元?jiǎng)偠染仃嚨挠绊憜卧鮾?nèi)力對(duì)單元?jiǎng)偠染仃嚨挠绊? 常采用單元幾何剛度矩

2、陣的方法來考慮。一般指軸力對(duì)彎常采用單元幾何剛度矩陣的方法來考慮。一般指軸力對(duì)彎曲剛度的影響，即初應(yīng)力引起結(jié)構(gòu)剛度的變化對(duì)后期荷載曲剛度的影響，即初應(yīng)力引起結(jié)構(gòu)剛度的變化對(duì)后期荷載的影響。的影響。2)大位移對(duì)建立結(jié)構(gòu)平衡方程的影響大位移對(duì)建立結(jié)構(gòu)平衡方程的影響;3)索單元垂度的影響索單元垂度的影響.11.2 橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的有限元方法橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的有限元方法11.2.1 變形體的運(yùn)動(dòng)描述變形體的運(yùn)動(dòng)描述 基本概念：基本概念： 初始構(gòu)形，現(xiàn)時(shí)構(gòu)形；運(yùn)動(dòng)初始構(gòu)形，現(xiàn)時(shí)構(gòu)形；運(yùn)動(dòng) 變形體及其上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變形體及其上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài), ,隨不同坐標(biāo)選取有幾隨不同坐標(biāo)選取有幾種描述方

3、法種描述方法: :11.2 橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的有限元方法橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的有限元方法11.2.1 變形體的運(yùn)動(dòng)描述變形體的運(yùn)動(dòng)描述 變形體及其上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變形體及其上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài), ,隨不同坐標(biāo)選取有幾種描述方法隨不同坐標(biāo)選取有幾種描述方法: :(1)物質(zhì)描述物質(zhì)描述 ；(2)參照描述；參照描述；(3)相關(guān)描述；相關(guān)描述；(4)空間描述空間描述11.2.2 總體拉格朗日列式法總體拉格朗日列式法(T.L Formulation) 在整個(gè)分析過程中在整個(gè)分析過程中, ,以以t=0t=0時(shí)的構(gòu)形作為參考時(shí)的構(gòu)形作為參考, ,且參考位形保持不且參考位形保持不變變, ,這種列式稱為總體

4、這種列式稱為總體拉格朗日列式拉格朗日列式. 桿系單元的平衡方程可由虛功原理推導(dǎo)得到桿系單元的平衡方程可由虛功原理推導(dǎo)得到:其中應(yīng)變矩陣可進(jìn)一步寫成其中應(yīng)變矩陣可進(jìn)一步寫成:B=B0 +BL 將平衡方程寫成增量形式將平衡方程寫成增量形式:上式左邊第一項(xiàng)可寫成上式左邊第一項(xiàng)可寫成: 0fdVBVT fddVdBdVBdVVTT dkdVBddVBdVTLVT0有關(guān)系式代入增量平衡方程左邊第二項(xiàng)后,經(jīng)整理,并記最后得:11.2.3 更新的拉格朗日列式法更新的拉格朗日列式法(U.L Formulation) 以本增量步起始時(shí)的t時(shí)刻構(gòu)形為參照構(gòu)形,建立t+t時(shí)刻物體平衡方程.增量形式的U.L列式結(jié)構(gòu)平

5、衡方程可寫成: dBBDdL0 VLTLVTLVLTLVTdVBDBdVBDBdVBDBkdVBDBk0000000 fddkdkkkTL00000 Pddkktt011.2.4 T.L列式與列式與U.L列式的異同及適用范圍列式的異同及適用范圍11.3 11.3 橋梁結(jié)構(gòu)分析常用單元的切線剛度矩陣橋梁結(jié)構(gòu)分析常用單元的切線剛度矩陣11.3.1 11.3.1 平面桁架單元的切線剛度矩陣平面桁架單元的切線剛度矩陣由前面的討論可知，由前面的討論可知，T.LT.L列式下，單元切線剛度矩陣可以分為列式下，單元切線剛度矩陣可以分為三個(gè)部分，即彈性剛度矩陣三個(gè)部分，即彈性剛度矩陣0 0 k k 0 0 、

6、初位移剛度矩陣初位移剛度矩陣0 0 k k L L、 和幾何剛度矩陣和幾何剛度矩陣0 0 k k ；而；而U U、L L列式下，單元切線剛度矩陣列式下，單元切線剛度矩陣只有只有t t k k 0 0 和和t t k k ; ; 考慮大位移條件考慮大位移條件, ,桁架單元軸向應(yīng)變可寫為桁架單元軸向應(yīng)變可寫為: :221dxdvdxdux 取桁架單元的形函數(shù)矩陣為取桁架單元的形函數(shù)矩陣為:那么單元上任意點(diǎn)的位移可寫成那么單元上任意點(diǎn)的位移可寫成:代入應(yīng)變關(guān)系式中可得代入應(yīng)變關(guān)系式中可得:其中其中 lxlxlxlxN010001 Nvu dBBdLx0)(11010,01010ijLvvlllBll

7、B由此由此, ,代入前式代入前式k0 、 kL、 k的表達(dá)式中可得在的表達(dá)式中可得在T.L列式下列式下,建立在變形前建立在變形前的初始狀態(tài)下的單元局部坐標(biāo)下的切線剛度矩陣的初始狀態(tài)下的單元局部坐標(biāo)下的切線剛度矩陣: kkkkLT0 U.L列式下的單元切線剛度矩陣列式下的單元切線剛度矩陣:由此說明由此說明T.L列式與列式與U.L列式的單元切線列式的單元切線剛度矩陣具有等價(jià)性剛度矩陣具有等價(jià)性. LTTkkTkTk0011.3.3 平面梁?jiǎn)卧那芯€剛度矩陣：平面梁?jiǎn)卧那芯€剛度矩陣：11.3.4 算例：算例：11.3.4 算例：算例：11.3.2 平面柔索單元的切線剛度矩陣平面柔索單元的切線剛度矩

8、陣一基本假定一基本假定 (1)柔索僅能承受張力而不承受彎曲內(nèi)力柔索僅能承受張力而不承受彎曲內(nèi)力;(2)柔索僅受索端集中力和沿索長(zhǎng)均勻分布的荷載柔索僅受索端集中力和沿索長(zhǎng)均勻分布的荷載;(3)柔索材料符合虎克定律柔索材料符合虎克定律;(4)局部坐標(biāo)系取在柔索荷載合力平面內(nèi)局部坐標(biāo)系取在柔索荷載合力平面內(nèi).柔索單元如右圖柔索單元如右圖:由平衡方程和由平衡方程和幾何關(guān)系幾何關(guān)系,可導(dǎo)得圖中各參量之可導(dǎo)得圖中各參量之間的關(guān)系間的關(guān)系,在此基礎(chǔ)上在此基礎(chǔ)上,易導(dǎo)出各易導(dǎo)出各力素與幾何變量之間的關(guān)系力素與幾何變量之間的關(guān)系對(duì)上式取全微分后對(duì)上式取全微分后, ,可得到索端力和位移的增量關(guān)系可得到索端力和位移

9、的增量關(guān)系: :qTTTTEAqqTTqSFEAShFTFTqEASFlijQiQjijyyjyixijii212ln1000hCAlCBFhCAlCBFiiyx1122hCAlCBFhCAlCBFjjyx1122ijijvvhuul將上式合并經(jīng)整理后可寫成將上式合并經(jīng)整理后可寫成: 在索端力未知的情況下在索端力未知的情況下,首先采用迭代法求算索端力首先采用迭代法求算索端力,然后求取單然后求取單元切線剛度矩陣元切線剛度矩陣. eTekF11.4 11.4 橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析若干問題的討論橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析若干問題的討論11.4.1 11.4.1 穩(wěn)定函數(shù)與幾何剛度穩(wěn)定函數(shù)與幾何剛度 建

10、立如圖所示壓桿的撓曲平衡微分方程建立如圖所示壓桿的撓曲平衡微分方程:其解為其解為: 當(dāng)當(dāng)N為壓力時(shí)為壓力時(shí): ()ijiMMEIyxMN yxlsin1sin1sinsinjixxMMxxLLyxNLNL 式中式中:引入邊界條件引入邊界條件:由此可得到壓桿的割線剛度矩陣由此可得到壓桿的割線剛度矩陣:式中式中:而而EINljlxixyy0bjijjiiCleEANCClEIMCClEIM122121222221122222121882sincos22sinsincos22cossinCCCbqCCCbCbbCCjijibEINlq22進(jìn)一步求該壓桿單元的切線剛度矩陣進(jìn)一步求該壓桿單元的切線剛度矩

11、陣:通過通過由此可得單元的切線剛度矩陣由此可得單元的切線剛度矩陣:如此可得單元的增量平衡微分方程如此可得單元的增量平衡微分方程cjicjicjcicjciijuqqSuSdqqFdFk 222122122211221222212212122122211jijijijiTbbHCCGCCGHHGHGHGHGCHGGCHGHGGCHGCk TkS11.4.2 彎矩對(duì)軸向剛度的影響彎矩對(duì)軸向剛度的影響11.4.3 11.4.3 活載幾何非線性分析活載幾何非線性分析 活載幾何非線性分析活載幾何非線性分析, ,會(huì)遇到如下問題會(huì)遇到如下問題: :(1)(1)線性疊加原理失敗線性疊加原理失敗, ,無法再用傳

12、統(tǒng)的影響線加載法進(jìn)行活載分析無法再用傳統(tǒng)的影響線加載法進(jìn)行活載分析. .(2)(2)確定影響區(qū)本身是一個(gè)非確定影響區(qū)本身是一個(gè)非線性問題線性問題, ,僅用恒載初始狀態(tài)計(jì)算活載僅用恒載初始狀態(tài)計(jì)算活載, ,會(huì)帶來影響區(qū)范圍改變和不正確載位引起的誤差會(huì)帶來影響區(qū)范圍改變和不正確載位引起的誤差. .(3)(3)單位強(qiáng)迫變位產(chǎn)生的等效力很大單位強(qiáng)迫變位產(chǎn)生的等效力很大, ,用機(jī)動(dòng)法求解影響區(qū)將破壞指用機(jī)動(dòng)法求解影響區(qū)將破壞指定狀態(tài)結(jié)構(gòu)影響區(qū)的真實(shí)形狀定狀態(tài)結(jié)構(gòu)影響區(qū)的真實(shí)形狀. .11.4.3 11.4.3 幾何非線性調(diào)值計(jì)算幾何非線性調(diào)值計(jì)算 橋梁結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)和施工過程中常常遇到下列問題：橋梁結(jié)構(gòu)在設(shè)

13、計(jì)和施工過程中常常遇到下列問題： (1) 設(shè)計(jì)階段：通過調(diào)整部分桿件的內(nèi)力和支點(diǎn)位移，來優(yōu)化整個(gè)設(shè)計(jì)階段：通過調(diào)整部分桿件的內(nèi)力和支點(diǎn)位移，來優(yōu)化整個(gè)結(jié)構(gòu)體系的受力狀態(tài)；結(jié)構(gòu)體系的受力狀態(tài)； （2）施工階段：通過調(diào)整部分桿件的內(nèi)力和部分支點(diǎn)位移，來減）施工階段：通過調(diào)整部分桿件的內(nèi)力和部分支點(diǎn)位移，來減少已建結(jié)構(gòu)和控制目標(biāo)的偏差；少已建結(jié)構(gòu)和控制目標(biāo)的偏差； （3）服役結(jié)構(gòu)：通過調(diào)整部分桿件的內(nèi)力和支點(diǎn)位移，來優(yōu)化整）服役結(jié)構(gòu)：通過調(diào)整部分桿件的內(nèi)力和支點(diǎn)位移，來優(yōu)化整個(gè)結(jié)構(gòu)體系的受力狀態(tài)；個(gè)結(jié)構(gòu)體系的受力狀態(tài)；隨著新工藝和新技術(shù)的發(fā)展，調(diào)值問題在工程中越來越多，成為結(jié)隨著新工藝和新技術(shù)的發(fā)展

14、，調(diào)值問題在工程中越來越多，成為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化必不可少的方法。構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化必不可少的方法。11.5 11.5 非線形方程組的求解非線形方程組的求解11.5.1 求解方法簡(jiǎn)介求解方法簡(jiǎn)介 1）直接求解法：）直接求解法： 基于全量列式的求解過程；基于全量列式的求解過程； 2）增量法）增量法 將整個(gè)荷載變形的過程看做一連串將整個(gè)荷載變形的過程看做一連串 增量段，每一增量段中結(jié)構(gòu)的荷載增量段，每一增量段中結(jié)構(gòu)的荷載 反應(yīng)近似為線形，不斷累加其位移增量。反應(yīng)近似為線形，不斷累加其位移增量。 一階自校正的增量法。一階自校正的增量法。11.5 11.5 非線形方程組的求解非線形方程組的求解 3）Newton-Raphson Method： 11.5 11.5 非線形方程組的求解非線形方程組的求解11.5.3 11.5.3 收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則 一般依結(jié)構(gòu)的不平衡力向量和位移增量向量來判斷迭代的收斂性。一般依結(jié)構(gòu)的不平衡力向量和位移增量向量來判斷迭代的收斂性。向量的大