D114對面積曲面積分36607PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1D114對面積曲面積分對面積曲面積分36607SzyxMd),(設(shè)設(shè) 為光滑曲面為光滑曲面,“乘積乘積和式極限和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在都存在,的的曲面積分曲面積分Szyxfd),(其中其中 f (x, y, z) 叫做被叫做被積積據(jù)此定義據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在是定義在 上的一上的一 個(gè)有界個(gè)有界函數(shù)函數(shù),記作記作或或第一類曲面積分第一類曲面積分.若對若對 做做任意分割任意分割和局部區(qū)域和局部區(qū)域任意取點(diǎn)任意取點(diǎn), 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲

2、面在曲面 上上對面積對面積函數(shù)函數(shù), 叫做積分曲面叫做積分曲面.第1頁/共27頁則對面積的曲面積分存在則對面積的曲面積分存在. 對積分域的可加性對積分域的可加性.,21則有則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2),(SzyxfdSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì)線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面在光滑曲面 上連續(xù)上連續(xù), 對面積對面積的曲面積分與的曲面積分與對弧長對弧長的曲線積分性質(zhì)類似的曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性積分的存在性. 若若 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成兩例如分成兩片光滑曲面片光滑曲面

3、第2頁/共27頁Oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在在 上連續(xù)上連續(xù),存在存在, 且有且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122則則曲面積分曲面積分證明證明: 由定義知由定義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(第3頁/共27頁kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykk

4、xzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而而( 光滑光滑)第4頁/共27頁說明說明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式可有類似的公式.1) 如果曲面方程為如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式的表達(dá)式 , 也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的二重積分二重積分. (見本節(jié)后面的例見本節(jié)后面的例4, 例例5) 第5頁/共27頁yx

5、D,dzS其中其中 是球面是球面222zyx被平面被平面)0(ahhz截出的頂部截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2axzyhaO第6頁/共27頁若若 是球面是球面2222azyx被平行平面被平行平面 z =h 截截出的上下兩部分出的上下兩部分,) (dzS) (dzS04lnhaa則則hhxzyO第7頁/共27頁,dSzyx其中其中 是由平面是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.

6、解解: 設(shè)設(shè)上的部分上的部分, 則則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式原式 = 分別表示分別表示 在平面在平面 zyx111O第8頁/共27頁xzyO 設(shè)設(shè)2222:azyx),(zyxf計(jì)計(jì)算算.d),(SzyxfI解解: 錐面錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)與上半球面與上半球面交線為交線為為上半球面夾于錐面間的部分為上半球面夾于錐面間的部分,

7、它在它在 xOy 面上面上的的投影域?yàn)橥队坝驗(yàn)閯t則 1d)(22SyxI1yxD第9頁/共27頁1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxdd思考思考: 若例若例3 中被積函數(shù)改為中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)計(jì)算結(jié)果如何計(jì)算結(jié)果如何 ? xzyO1yxD第10頁/共27頁解解: 設(shè)設(shè) 的方程為的方程為yxDyxyxRz),( ,222利用對稱性可知重心的坐標(biāo)利用對稱性可知重心的坐標(biāo),0 yx而而 z 2223RRR用球面坐標(biāo)用球面坐標(biāo)cosRz ddsind2RS SdSzd20032d

8、cossindR2002dsindR思考題思考題: 例例 3 是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算 ?第11頁/共27頁),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐標(biāo)系取球面坐標(biāo)系, 則則,cosRz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d第12頁/共27頁,d)(22SyxI其中其中 是球面是球面22yx 利用對稱性可利用對稱性可知知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為半徑為3x利用

9、重心公式利用重心公式SxdSd).(22zyxz第13頁/共27頁zzd,d222zyxSI其中其中 是介于平是介于平面面之間的圓柱面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后若將曲面分為前后(或左右或左右)zRSd2d則則HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0Hxyz解解: 取曲面面積元素取曲面面積元素兩片兩片, 則計(jì)算較繁則計(jì)算較繁. O第14頁/共27頁yxzLO19522yx位于位于 xOy 面上方及平面面上方及平面 z = y 下方那部分柱面下方那部分柱面 的側(cè)面積的側(cè)面積 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取取SSdszLdtt cosd

10、cos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd第15頁/共27頁設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度距地面高度 h = 36000 km,運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同, 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑地球半徑 R = 6400 km )解解: hR R建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖, 記覆蓋曲面記覆蓋曲面 的的半頂角為半頂角為 , 利用球面坐標(biāo)系利用球面坐標(biāo)系, 則則 ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為衛(wèi)星覆蓋面

11、積為SAd)cos1 (22RhRRcoshRhR220202dsindRyzxO第16頁/共27頁故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上結(jié)果可知由以上結(jié)果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積以上的面積, 故使用三顆相隔故使用三顆相隔32角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面全表面. 說明說明: 此題也可用二重積分求此題也可用二重積分求 A . hR RyzxO第17頁/共27頁1. 定義定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni

12、 10lim2. 計(jì)算計(jì)算: 設(shè)設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz則則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、質(zhì)心公式注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、質(zhì)心公式簡化計(jì)算的技巧簡化計(jì)算的技巧. 第18頁/共27頁P(yáng)217 題題1；3；4 (1) ; 7 解答提示解答提示:P217 題題1.SzyxzyIxd),()(22P217 題題3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(設(shè)設(shè)則則0P244 題題2第19頁/共27頁Oyz2x 在在

13、 xOy 面上的投影域面上的投影域?yàn)闉?:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313這是這是 的面積的面積 !2xyD)(2:22yxz第20頁/共27頁如圖所示如圖所示, 有有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令2zyx1O第21頁/共27頁),0(:2222zazyx在第一卦為1限中的部分限中的部分, 則有則有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC(

14、 2000 考研考研 )第22頁/共27頁作業(yè)作業(yè) P217 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第23頁/共27頁)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面求此曲面殼在平面 z =1以上部分以上部分 的的的面密度的面密度質(zhì)量質(zhì)量 M . 解解: 在在 xOy 面上的投影為面上的投影為 ,2:22 yxDyx故故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213yxD2xzyO第24頁/共27頁的表0,0,0,1zyxzyx面面, 計(jì)算計(jì)算.d)1 (12SyxI解解: 在四面體的四個(gè)面上在四面體的四個(gè)面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11O0zyxdd0yxzddzxzDxz