理論力學(xué)8—點(diǎn)的合成運(yùn)動

1、第 8 章點(diǎn)的合成運(yùn)動8.1 相對運(yùn)動牽連運(yùn)動絕對運(yùn)動8.2 點(diǎn)的速度合成定理8.3 點(diǎn)的加速度合成定理xyxyooMv8.1 相對運(yùn)動牽連運(yùn)動絕對運(yùn)動通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，物體對一參考體的運(yùn)動可以由幾個(gè)運(yùn)動組合而成。例如，在上述的例子中，車輪上的點(diǎn)M是沿旋輪線運(yùn)動，但是如果以車廂作為參考體，則點(diǎn)M對于車廂的運(yùn)動是簡單的圓周運(yùn)動，車廂對于地面的運(yùn)動是簡單的平動。這樣，輪緣上一點(diǎn)的運(yùn)動就可以看成為兩個(gè)簡單運(yùn)動的合成，即點(diǎn)M相對于車廂作圓周運(yùn)動，同時(shí)車廂對地面作平動。于是，相對于某一參考體的運(yùn)動可由相對于其它參考體的幾個(gè)運(yùn)動組合而成，稱這種運(yùn)動為合成運(yùn)動。習(xí)慣上把固定在地球上的坐標(biāo)系稱為定參考系，以o

2、xy坐標(biāo)系表示；固定在其它相對于地球運(yùn)動的參考體上的坐標(biāo)系稱為動參考系，以oxy坐標(biāo)系表示。 8.1 相對運(yùn)動牽連運(yùn)動絕對運(yùn)動用點(diǎn)的合成運(yùn)動理論分析點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)，必須選定兩個(gè)參考系，區(qū)分三種運(yùn)動：(1) 動點(diǎn)相對于定參考系的運(yùn)動，稱為絕對運(yùn)動；(2) 動點(diǎn)相對于動參考系的運(yùn)動，稱為相對運(yùn)動； (3) 動參考系相對于定參考系的運(yùn)動，稱為牽連運(yùn)動。定參考系動參考系動點(diǎn)牽連運(yùn)動絕對運(yùn)動相對運(yùn)動一點(diǎn)、二系、三運(yùn)動8.1 相對運(yùn)動牽連運(yùn)動絕對運(yùn)動 (1) 動點(diǎn)相對于定參考系的速度、加速度和軌跡，稱為動點(diǎn)的絕對速度va、絕對加速度aa和絕對軌跡。 (2) 動點(diǎn)相對于動參考系的速度、加速度和軌跡，稱為動點(diǎn)的相

3、對速度vr、相對加速度ar和相對軌跡 。8.1 相對運(yùn)動牽連運(yùn)動絕對運(yùn)動 由于動參考系的運(yùn)動是剛體的運(yùn)動而不是一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動，所以除非動參考系作平動，否則其上各點(diǎn)的運(yùn)動都不完全相同。因?yàn)閯訁⒖枷蹬c動點(diǎn)直接相關(guān)的是動參考系上與動點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)(牽連點(diǎn))，因此定義：在動參考系上與動點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)(牽連點(diǎn))的速度和加速度稱為動點(diǎn)的牽連速度(用ve表示)和牽連加速度(用ae表示) 。如果沒有牽連運(yùn)動，則動點(diǎn)的相對運(yùn)動就是它的絕對運(yùn)動；如果沒有相對運(yùn)動，則動點(diǎn)隨同動參考系所作的運(yùn)動就是它的絕對運(yùn)動；動點(diǎn)的絕對運(yùn)動既取決于動點(diǎn)的相對運(yùn)動，也決定于動參考系的運(yùn)動即牽連運(yùn)動，它是兩種運(yùn)動的合成。例例 如圖桿

4、長如圖桿長l，繞繞O軸以角速軸以角速度度 轉(zhuǎn)動，圓盤半徑為轉(zhuǎn)動，圓盤半徑為r，繞繞 軸以角速度軸以角速度 轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。求圓盤邊緣求圓盤邊緣 和和 點(diǎn)的牽點(diǎn)的牽連速度和加速度。連速度和加速度。o1M2M 解：靜系取在地面上，動系靜系取在地面上，動系取在桿上，則取在桿上，則)(1rlve21)(rlae222rlve2222rlaeoo1M2M1ev1ea2ev2ea重點(diǎn)要弄清楚牽重點(diǎn)要弄清楚牽連點(diǎn)的概念連點(diǎn)的概念8.2 點(diǎn)的速度合成定理rMrOrM(M)OjkiyzxxyzOMOrrrxyz r =ijkMMrrddrxyzt rv =ijk動系上與動點(diǎn)重合的點(diǎn)(牽連點(diǎn))在定系中的矢徑記為rM

5、，在圖示瞬時(shí)有相對速度vr是動點(diǎn)相對于動參考系的速度，因此i、j、k是常矢量。這種導(dǎo)數(shù)稱為相對導(dǎo)數(shù)。動點(diǎn)的相對速度vr為8.2 點(diǎn)的速度合成定理rMrOrM(M)OjkiyzxxyzOddMeOxyzt rv = rijkddMaOerxyzxyzt rv = rijk +ijk= vv動點(diǎn)的牽連速度ve為牽連速度是牽連點(diǎn)M點(diǎn)的速度，該點(diǎn)是動系上的點(diǎn)，因此它在動系上的坐標(biāo)x、y、z是常量。動點(diǎn)的絕對速度va為aervvv即：動點(diǎn)在某一瞬時(shí)的絕對速度等于它在該瞬時(shí)的牽連速度與相對速度的矢量和。這就是點(diǎn)的速度合成定理。8.2 點(diǎn)的速度合成定理處理具體問題時(shí)應(yīng)注意：(1) 選取動點(diǎn)、動參考系和定參考

6、系。 (2) 應(yīng)用速度合成定理時(shí),可利用速度平行四邊形中的幾何關(guān)系解出未知數(shù)。也可以采用投影法：即等式左右兩邊同時(shí)對某一軸進(jìn)行投影，投影的結(jié)果相等。 動點(diǎn)和動系應(yīng)分別選擇在兩個(gè)不同的剛體上。 動點(diǎn)和動系的選擇應(yīng)使相對運(yùn)動的軌跡簡單直觀。8.2 點(diǎn)的速度合成定理在有的機(jī)構(gòu)中，一個(gè)構(gòu)件上總有一個(gè)點(diǎn)被另一個(gè)構(gòu)件所約束。這時(shí)，以被約束的點(diǎn)作為動點(diǎn)，在約束動點(diǎn)的構(gòu)件上建立動系，相對運(yùn)動軌跡便是約束構(gòu)件的輪廓線或者約束動點(diǎn)的軌道。通常選動點(diǎn)和動系主要有以下幾種情況：1. 有一個(gè)很明顯的動點(diǎn)，在題中很容易發(fā)現(xiàn)；2. 有一個(gè)不變的接觸點(diǎn)，可選該點(diǎn)為動點(diǎn)；3. 沒有不變的接觸點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)選相對軌跡容易確定的點(diǎn)為動

7、點(diǎn)；4. 必須選某點(diǎn)為動點(diǎn)，而動系要取兩次；5. 根據(jù)題意，必須取兩次動點(diǎn)和動系；6. 兩個(gè)不相關(guān)的動點(diǎn)，可根據(jù)題意來確定；8.2 點(diǎn)的速度合成定理例1 如圖所示，偏心距為e、半徑為R的凸輪，以勻角速度 繞O軸轉(zhuǎn)動，桿AB能在滑槽中上下平動，桿的端點(diǎn)A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。求在圖示位置時(shí)，桿AB的速度。 ABeCOqvevavrqcotaeevvOAeOAqtaneavvq解：因?yàn)闂UAB作平動。選取桿AB的端點(diǎn)A作為研究的動點(diǎn)，動參考系隨凸輪一起繞O軸轉(zhuǎn)動。點(diǎn)A的絕對運(yùn)動是直線運(yùn)動，相對運(yùn)動是以凸輪中心C為圓心的圓周運(yùn)動，牽連運(yùn)動則是凸輪繞O軸的轉(zhuǎn)動。例2 刨床的急回機(jī)構(gòu)如圖所示。

8、曲柄OA的角速度為，通過滑塊A帶動搖桿O1B擺動。已知OA=r，OO1=l，求當(dāng)OA水平時(shí)O1B的角速度1。解： 在本題中應(yīng)選取滑塊A作為研究的動點(diǎn)，把動參考系固定在搖桿O1B上。 點(diǎn)A的絕對運(yùn)動是以點(diǎn)O為圓心的圓周運(yùn)動，相對運(yùn)動是沿O1B方向的直線運(yùn)動，而牽連運(yùn)動則是搖桿繞O1軸的擺動。21122sinsin()eaevvrrvO Alr2221122()rO AlrlrAO1OBvevavr此處有影片播放此處有影片播放例3 水平直桿AB在半徑為r的固定圓環(huán)上以勻速u豎直下落，如圖。試求套在該直桿和圓環(huán)交點(diǎn)處的小環(huán)M的速度。 解：以小環(huán)M為動點(diǎn)，定系取在地面上，動系取在AB桿上，動點(diǎn)的速度合

9、成矢量圖如圖。由圖可得：sinsinuvveasineavvuABOMrvrvave例4 求圖示機(jī)構(gòu)中OC桿端點(diǎn)C的速度。其中v與已知，且設(shè)OA=a, ACb。 解：取套筒A為動點(diǎn)，動系與OC固連，分析A點(diǎn)速度，有vAqBCOvavevrvCsinsineavvvqqOCsineOCvvOAaqsinCOCabvOCvaqaervvv例5 圖示平底頂桿凸輪機(jī)構(gòu)，頂桿AB可沿導(dǎo)軌上下平動，偏心凸輪以等角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，O軸位于頂桿的軸線上，工作時(shí)頂桿的平底始終接觸凸輪表面，設(shè)凸輪半徑為R，偏心距OC=e ，OC 與水平線的夾角為a，試求當(dāng)a =45時(shí)，頂桿AB的速度。 解：以凸輪圓心C為動點(diǎn)，靜

10、系取在地面上，動系取在頂桿上，動點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。coscos4522eavveeavavevraervvv例6 AB桿以速度v1向上作平動，CD桿斜向上以速度v2作平動，兩條桿的夾角為a，求套在兩桿上的小環(huán)M的速度。MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va解 取M為動點(diǎn)，AB為動坐標(biāo)系，相對速度、牽連速度如圖。取M為動點(diǎn)，CD為動坐標(biāo)系，相對速度、牽連速度如圖。由上面兩式可得：11aervvv22aervvv1122erervvvv其中1122,eevvvv122212cossin(cos )/sinrrvvvvvvaaaa將等式兩邊同時(shí)向y軸投影：則動點(diǎn)M的絕對速度為：2222

11、1222222121 2cos()sin12cossinaervvvvvvvvv vaaaa=MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va1122erervvvvy例7 在水面上有兩只艦艇A 和 B均以勻速度v =36 km/h 行駛，A 艦艇向東開，B 艦艇沿以 O 為圓心、半徑R =100 m的圓弧行駛。在圖示瞬時(shí)，兩艇的位置S=50m, =30 ，試求：（1） B艇相對 A艇的速度。（2）A艇相對B艇的速度。 東北BAROS東北=30BAROSVe1Va1Vr1303036(/ )10(/ )ABvvvkm hm s解：(1) 求B艇相對于是A艇的速度。以 B為動點(diǎn)，動系固連于A艇。由

12、圖（b）的速度矢量 111Baervvvv110(/ ),BAevvvm s12 cos3017.32(/ )rvvm s(2) 求A相對于B的速度，以A為動點(diǎn)，動系固連于B艇。smvOAve/5502smva/1022222211.2/rervvvm s5 . 0105tan22aevva3426a東北=30BAROSV Va2V Vr2V Ve2可見，A相對B的速度并不一定等于B相對A的速度。OABAvBvR例9 如圖車如圖車A沿半徑為沿半徑為150m的圓弧的圓弧道路以勻速道路以勻速 行駛，車行駛，車B沿直線道路以勻速沿直線道路以勻速 行行駛駛 ，兩車相距，兩車相距30m，求：（，求：（1

13、 1）A車相對車相對B車的速度；（車的速度；（2 2）B車相對車相對A車的速度。車的速度。 hkmvA45hkmvB60 解：（1）以車A為動點(diǎn)，靜系取在地面上，動系取在車B上。動點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：hkmvvvvvBAeAr/75222216 . 07545sin11rAvva9 .361aOABAvBvRev1rv1axy（2）以車B為動點(diǎn)，靜系取在地面上，動系取在車A上。動點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。OABAvBvRxyev2rv2asradRvA/083. 0150360010453skmsmve/54/15083. 0180hkmvvveBr/72.80222669. 07

14、2.8054sin22revva422a8.3 點(diǎn)的加速度合成定理rOOjkiyzxxyzO設(shè)動參考系Oxyz以角速度 e繞定軸轉(zhuǎn)動，不失一般性，取定坐標(biāo)系的z軸為其轉(zhuǎn)軸。設(shè)k的端點(diǎn)A的矢徑為rA，則A點(diǎn)的速度既等于rA對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，又可用矢積來表示，即ArA eddAAeAtrvr AOrrkedd()ddOOttrkrk eddOOOtrvr eddtkk 8.3 點(diǎn)的加速度合成定理同樣可得i、j的導(dǎo)數(shù)。eeeddddddtttijki ,j ,k 22ddrxyzt ra =ijk22ddMeOxyzt ra = rijk22dd2()2()MaOerxyztxyzxyzxyz ra

15、 = rijk+ijk+ijkaaijkrMrOrM(M)OjkiyzxxyzO8.3 點(diǎn)的加速度合成定理點(diǎn)的加速度合成定理：動點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對加速度等于該瞬時(shí)它的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和。eeeee2()2 ()()()2()2rxyzxyzxyz ijkijki +jkvaerer2aaavCer2av令,稱為科氏加速度，于是有aerCaaaa8.3 點(diǎn)的加速度合成定理q evraCCer2av科氏加速度等于動系角速度矢與點(diǎn)的相對速度矢的矢積的兩倍。aC大小為Cer2sinavq其中q為 e與vr兩矢量間的最小夾角。矢aC小垂直于 e和vr，指向按右手螺旋法則確定。工程中

16、常見的平面機(jī)構(gòu)中 e和vr是垂直的，此時(shí)aC=2evr；且vr按e轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90就是aC的方向。8.3 點(diǎn)的加速度合成定理當(dāng)牽連運(yùn)動為平移時(shí)， e=0，因此aC=0，此時(shí)有aer aaa當(dāng)牽連運(yùn)動為平移時(shí)，動點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對加速度等于該瞬時(shí)它的牽連加速度與相對加速度的矢量和。例10 圖示曲柄滑道機(jī)構(gòu)，圓弧軌道的半徑ROA10 cm，已知曲柄繞軸O以勻速n120 rpm轉(zhuǎn)動，求當(dāng)30時(shí)滑道BCD的速度和加速度。 nROO1ABCDvavrve解：取滑塊A為動點(diǎn)，動系與滑道BCD固連。求得曲柄OA轉(zhuǎn)動的角速度為 4rad/s30naer vvv125.6 cm/s125.6 cm/s125.6 cm/

17、saeraBCDevOAvvvvv12030hAOO1ABCD分析加速度得 artaearnaan22n2rr1125.61579 cm/s10vaO An2aa22(4 )101579 cm/saaOAntaerr aaaa將加速度向h軸上投影有： nare22cos601579 0.5 1579cos303/22740 cm/s27.4 m/saaanaer:cos60cos30aaa h例11 刨床的急回機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OA的角速度為，通過滑塊A帶動搖桿O1B擺動。已知OA=r，OO1=l，求當(dāng)OA水平時(shí)O1B的角速度1。解： 在本題中應(yīng)選取滑塊A作為研究的動點(diǎn)，把動參考系固定在搖桿O

18、1B上。 點(diǎn)A的絕對運(yùn)動是以點(diǎn)O為圓心的圓周運(yùn)動，相對運(yùn)動是沿O1B方向的直線運(yùn)動，而牽連運(yùn)動則是搖桿繞O1軸的擺動。21122sinsin()eaevvrrvO Alr2221122()rO AlrlrvevavrAO1OBAO1OB1a1araetaenaaaC由于動參考系作轉(zhuǎn)動，因此加速度合成定理為：2aar12sin90Crav42n2e113222()raO Alrte11aO AantaerCeerCaaaaaaaa2re12222,rlrvlrlr2332222()Cr lalrAO1OB1a1araetaenaaaCh為了求得aet，應(yīng)將加速度合成定理向軸h投影： ntaeer

19、Caaaaahhhhh即：taeCcosaaa得：22t2e3222()()rl lralr 搖桿O1B的角加速度 ：t222e12221()()arl lrO Alr aABOC例12 偏心凸輪的偏心距OCe、半徑為 ，以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，桿AB能在滑槽中上下平動，桿的端點(diǎn)A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。求在OC與CA垂直時(shí)從動桿AB的速度和加速度。3Revrvaveq解：選取桿AB的端點(diǎn)A作為動點(diǎn)，動參考系隨凸輪一起繞O軸轉(zhuǎn)動。evOA32 3tan33aeevvOAq243cos332erveevqaervvvABOCq加速度分析如圖arnartaCaaaenhaerCaaaa22

20、2neaOAe22163 3nrrveaR2482sin( ,)2133Crreeav v coscosnnaerCaaaaqq2222231682( 2)2933 33aeeaee 例13 圖示曲桿OBC繞O軸轉(zhuǎn)動，使套在其上的小環(huán)M沿固定直桿OA滑動。已知OB10 cm，OB與BC垂直，曲桿的角速度為0.5rad/s，求當(dāng)=60時(shí)小環(huán)M的速度和加速度。 BACOM解：選取小環(huán)M作為研究的動點(diǎn)，動參考系隨曲桿OBC一起繞O軸轉(zhuǎn)動。點(diǎn)A的絕對運(yùn)動是小環(huán)M沿OA桿的直線運(yùn)動，相對運(yùn)動是沿著BC的直線運(yùn)動，牽連運(yùn)動則是曲桿繞O軸的轉(zhuǎn)動。于是 ：10 0.510 cm/s1cos602eOBvOMt

21、an10317.3 cm/saevv由三角關(guān)系求得小環(huán)的絕對速度為：BACOMavevrv220cm/srevv小環(huán)M的加速度分析如圖所示 ：222 0.5 2020 cm/sCrav2220.5205 cm/sneaOM2/cos52 2035cm/snaeCaaa 可得：aerCaaaa向y方向投影,有:coscosnaeCaaaBACOMcaaanearay例14 平底頂桿凸輪機(jī)構(gòu)如圖所示，頂桿AB可沿導(dǎo)軌上下移動，偏心圓盤繞軸O轉(zhuǎn)動，軸O位于頂桿軸線上。工作時(shí)頂桿的平底始終接觸凸輪表面。該凸輪半徑為R，偏心距OC = e，凸輪繞軸O轉(zhuǎn)動的角速度為w，角加速度為e 。求OC與水平線成夾角

22、j時(shí)頂桿的速度和加速度。BACO yxe e M解1 用運(yùn)動方程求解。因推桿作平動，其上各點(diǎn)的速度和加速度都相同，現(xiàn)取推桿上與凸輪的接觸點(diǎn)M分析：2sincoscoscossincossinyR edydveedtdtdvddaeedtdtdteeeBACO yxe e My解2 取圓盤的中心C為研究的動點(diǎn)，動參考系與平底推桿AB固連，分析動點(diǎn)的速度和加速度如圖所示。avecoscoseavveBACO yxe e Mavevrv2naaeaaee2sincoscossinneaaaaaeee 可求得：BACO xyraeaaanaanaaer aaaa向y軸正向投影：sincosnaae-aaa例15 牛頭刨床機(jī)構(gòu)如圖所示；已知 。求圖示位置滑枕CD的速度和加速度。1200 mmO A 12 rad/s解：一、速度分析1）取套筒A為動點(diǎn)，動參考系與搖桿O2B固連。相對運(yùn)動是套筒A沿?fù)u桿O2B的直線運(yùn)動，牽連運(yùn)動是搖桿O2B繞O2的定軸轉(zhuǎn)動，絕對運(yùn)動是套筒A繞O1的圓周運(yùn)動，絕對速度的大小是：111200 2400 mm/savO A 650mmCDO2O1BA 130211121211sin30200 mm/s400 m