matlab課件第2章 矩陣及其操作

1、魔方魔方矩陣（矩陣（Drers matrix）第第2 2章章 矩陣及其操作矩陣及其操作第第2 2章章 矩陣及其操作矩陣及其操作2.1 2.1 數(shù)據(jù)類型數(shù)據(jù)類型2.2 2.2 變量及其操作變量及其操作2.3 2.3 矩陣基礎(chǔ)矩陣基礎(chǔ)2.4 2.4 矩陣運(yùn)算矩陣運(yùn)算2.5 2.5 矩陣的基本操作矩陣的基本操作2.6 2.6 矩陣分析矩陣分析2.7 2.7 矩陣分解矩陣分解2.8 2.8 矩陣相似變換矩陣相似變換2.9 2.9 常用函數(shù)常用函數(shù)2.1 2.1 數(shù)據(jù)類型數(shù)據(jù)類型nMATLAB有15種基本數(shù)據(jù)類型，每種基本數(shù)據(jù)類型均以數(shù)組/矩陣的形式出現(xiàn)。 n 1.1.數(shù)值類型數(shù)值類型n 2.2.邏輯類

2、型邏輯類型n 3.3.字符和字符串類型字符和字符串類型n 4.4.結(jié)構(gòu)體類型結(jié)構(gòu)體類型1.1.數(shù)值類型數(shù)值類型 （1 1）整數(shù)）整數(shù) （2 2）浮點(diǎn)數(shù)）浮點(diǎn)數(shù) （3 3）復(fù)數(shù)）復(fù)數(shù) （4 4）InfInf （5 5）NaNNaN（1 1）整數(shù)類型）整數(shù)類型nMATLAB支持1、2、4和8字節(jié)的有符號整數(shù)和無符號整數(shù)。（2）浮點(diǎn)數(shù)類型nMATLAB有單精度和雙精度兩種浮點(diǎn)數(shù)。（3）復(fù)數(shù)類型n復(fù)數(shù)包含實(shí)部和虛部，用i或者j表示虛部。n生成復(fù)數(shù)有兩種方法： z=3+4iz = 3.0000 + 4.0000i complex(3,4)ans = 3.0000 + 4.0000i help compl

3、ex（4）Inf和NaNpInfInf和和-Inf-Inf分別表示正無窮大和負(fù)無窮。分別表示正無窮大和負(fù)無窮。pNaNNaN（Not a NumberNot a Number）表示一個既不是實(shí)）表示一個既不是實(shí)數(shù)也不是復(fù)數(shù)的值。數(shù)也不是復(fù)數(shù)的值。2 2邏輯類型邏輯類型n在MATLAB中邏輯類型包含true和false，分別由1和0表示。函數(shù)logical將任何非零的數(shù)值轉(zhuǎn)換為true（即1），將數(shù)值0轉(zhuǎn)換為false（即0）。3.3.字符和字符串類型字符和字符串類型n在MATLAB中，數(shù)據(jù)類型（char）表示一個字符;n一個char類型的1n數(shù)組稱為字符串string。 4 4結(jié)構(gòu)體類型結(jié)構(gòu)體

4、類型n結(jié)構(gòu)體類型是一種由若干屬性（結(jié)構(gòu)體類型是一種由若干屬性（fieldfield）組）組成的成的MATLABMATLAB數(shù)組，其中的每個屬性可以數(shù)組，其中的每個屬性可以是任意數(shù)據(jù)類型。是任意數(shù)據(jù)類型。n結(jié)構(gòu)體數(shù)組的創(chuàng)建及操作將在第結(jié)構(gòu)體數(shù)組的創(chuàng)建及操作將在第4 4章里面章里面進(jìn)行詳細(xì)的介紹。進(jìn)行詳細(xì)的介紹。2.2 2.2 變量及其操作變量及其操作變量變量l變量名以字母開頭，后接字母、數(shù)字或下劃線的字符序列變量名以字母開頭，后接字母、數(shù)字或下劃線的字符序列;l變量名區(qū)分字母的大小寫。變量名區(qū)分字母的大小寫。賦值賦值變量變量=表達(dá)式表達(dá)式 num_students = 25num_student

5、s = 25 x=1+2i, y=3-sqrt(17), z=(cos(abs(x+y)-sin(78*pi/180)/(x+abs(y)x = 1.0000 + 2.0000iy = -1.1231z = -0.3488 + 0.3286i特殊變量特殊變量(預(yù)定義變量預(yù)定義變量)在在MATLABMATLAB工作空間中，還駐留幾個由系統(tǒng)本身定義工作空間中，還駐留幾個由系統(tǒng)本身定義的變量。預(yù)定義變量有特定的含義，在使用時(shí)，應(yīng)盡的變量。預(yù)定義變量有特定的含義，在使用時(shí)，應(yīng)盡量避免對這些變量重新賦值。量避免對這些變量重新賦值。內(nèi)存變量的管理內(nèi)存變量的管理利用利用MATLABMATLAB工作空間窗口可

6、實(shí)現(xiàn)對內(nèi)存變量的工作空間窗口可實(shí)現(xiàn)對內(nèi)存變量的查看、查看、 修改、保存、刪除、導(dǎo)出及畫圖等操作。修改、保存、刪除、導(dǎo)出及畫圖等操作。利用利用clearclear命令可刪除工作空間中的變量。命令可刪除工作空間中的變量。利用利用whowho和和whoswhos命令可分別用于顯示在工作空間命令可分別用于顯示在工作空間中已經(jīng)駐留的變量名清單。中已經(jīng)駐留的變量名清單。lwhowho命令只顯示出駐留變量的名稱命令只顯示出駐留變量的名稱lwhoswhos在給出變量名的同時(shí)，還給出它們的大小、所占在給出變量名的同時(shí)，還給出它們的大小、所占字節(jié)數(shù)及數(shù)據(jù)類型等詳細(xì)信息。字節(jié)數(shù)及數(shù)據(jù)類型等詳細(xì)信息。內(nèi)存變量的保存與

7、載入內(nèi)存變量的保存與載入matmat文件文件利用利用matmat文件可以把當(dāng)前工作空間中的一些有文件可以把當(dāng)前工作空間中的一些有用變量長久地保留下來，擴(kuò)展名是用變量長久地保留下來，擴(kuò)展名是.mat.mat。matmat文件的生成和裝入分別由文件的生成和裝入分別由savesave和和loadload命命令來完成。令來完成。lsave save 文件名文件名 變量名表變量名表 lload load 文件名文件名 變量名表變量名表 save data x y z save data x y z clear clear load data z load data z對對load和和save命令的一點(diǎn)說

8、明命令的一點(diǎn)說明lsave save 文件名文件名 變量名表變量名表 lload load 文件名文件名 變量名表變量名表文件名可以帶路徑，但不需帶擴(kuò)展名文件名可以帶路徑，但不需帶擴(kuò)展名.mat.mat，命，命令隱含一定對令隱含一定對.mat.mat文件進(jìn)行操作。文件進(jìn)行操作。變量名表中的變量個數(shù)不限，只要內(nèi)存或文件變量名表中的變量個數(shù)不限，只要內(nèi)存或文件中存在即可，變量名之間以空格分隔。當(dāng)變量中存在即可，變量名之間以空格分隔。當(dāng)變量名表省略時(shí)，保存或裝入全部變量。名表省略時(shí)，保存或裝入全部變量。更多內(nèi)容，請更多內(nèi)容，請 help save help save help loadhelp lo

9、adn在MATLAB中，所有的數(shù)據(jù)均以二維、三維或高維矩陣的形式存儲，每個矩陣的單元可以是數(shù)值類型、邏輯類型、字符類型或者其他任何數(shù)據(jù)類型。 對于標(biāo)量，可以用11矩陣來表示； 對于一組n個數(shù)據(jù)，可以用1n矩陣來表示； 對于多維數(shù)組，可以用多維矩陣來表示。2.3 2.3 矩陣基礎(chǔ)矩陣基礎(chǔ)1.1.矩陣的索引矩陣的索引A(i,j)A(i,j)第第i i行、第行、第j j列的元素列的元素A(i,:) A(i,:) 第第i i行的全部元素行的全部元素A(:,j) A(:,j) 第第j j列全部元素列全部元素A(i:i+m,:) A(i:i+m,:) 第第i ii+mi+m行的全部元素行的全部元素A(:,

10、k:k+m) A(:,k:k+m) 第第k kk+mk+m列的全部元素列的全部元素A(i:i+m,k:k+m) A(i:i+m,k:k+m) 第第i ii+mi+m行內(nèi)，并在第行內(nèi)，并在第k kk+mk+m列中的所有元素列中的所有元素還可利用一般向量和還可利用一般向量和endend運(yùn)算符來表示矩陣下標(biāo)，運(yùn)算符來表示矩陣下標(biāo)，endend表示某一維的末尾元素下標(biāo)。表示某一維的末尾元素下標(biāo)。2.3 2.3 矩陣基礎(chǔ)矩陣基礎(chǔ)2.2.矩陣的創(chuàng)建矩陣的創(chuàng)建在命令窗口直接輸入矩陣的各個元素在命令窗口直接輸入矩陣的各個元素 A=16 3 2 13;5 10 11 8;9 6 7 12;4 15 14 1A

11、= 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1通過通過loadload命令載入數(shù)據(jù)文件命令載入數(shù)據(jù)文件 load mymatrix.txt mymatrixmymatrix = 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1MatlabMatlab內(nèi)在函數(shù)（特殊矩陣）內(nèi)在函數(shù)（特殊矩陣）利用利用mm文件創(chuàng)建文件創(chuàng)建特殊矩陣生成函數(shù)特殊矩陣生成函數(shù)特殊矩陣生成函數(shù)特殊矩陣生成函數(shù)特殊矩陣生成函數(shù)特殊矩陣生成函數(shù) B=magic(4)B = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 A=B(:,1

12、3 2 4)A = 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1A=16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 712 4 15 14 1利用冒號表達(dá)式產(chǎn)生行向量，調(diào)用格式：利用冒號表達(dá)式產(chǎn)生行向量，調(diào)用格式： e1:e2:e3e1:e2:e3 1:10 1:10ans =ans = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100:-7:50 100:-7:50ans =ans = 100 93 86 79 72 65 58 51 100 93 86 79 72 65 58 51用用linspacelinspace

13、函數(shù)產(chǎn)生行向量，調(diào)用格式：函數(shù)產(chǎn)生行向量，調(diào)用格式：linspace(a,b,n)linspace(a,b,n) linspace(0,100,6) linspace(0,100,6)ans =ans = 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100用用logspacelogspace函數(shù)產(chǎn)生行向量，調(diào)用格式：函數(shù)產(chǎn)生行向量，調(diào)用格式：logspace(a,b,n)logspace(a,b,n) logspace(-2,2,6) logspace(-2,2,6)ans =ans = 0.0100 0.0631 0.3981 2.5119 15.8489 100.000

14、0 0.0100 0.0631 0.3981 2.5119 15.8489 100.0000向量的創(chuàng)建向量的創(chuàng)建3.3.矩陣的合并矩陣的合并n把兩個或者兩個以上的矩陣連接成一個新矩陣。矩陣構(gòu)造符 可用于構(gòu)造矩陣，并可以作為一個矩陣合并操作符。C C=A BA B 在水平方向合并矩陣在水平方向合并矩陣A A和和B B；C C=A A; ;B B 在豎直方向合并矩陣在豎直方向合并矩陣A A和和B B。 具有相同行數(shù)的兩個矩陣，合并為一個新矩陣具有相同行數(shù)的兩個矩陣，合并為一個新矩陣 不具有相同行數(shù)的兩個矩陣，不允許合并為一個新矩陣不具有相同行數(shù)的兩個矩陣，不允許合并為一個新矩陣 3.矩陣的合并矩陣

15、的合并矩陣合并函數(shù)矩陣合并函數(shù)3.矩陣的合并矩陣的合并3.3.矩陣的合并矩陣的合并 A=16 3 2 13;5 10 11 8;9 6 7 12;4 15 14 1 B = A A+32; A+48 A+16B = 16 3 2 13 48 35 34 45 5 10 11 8 37 42 43 40 9 6 7 12 41 38 39 44 4 15 14 1 36 47 46 33 64 51 50 61 32 19 18 29 53 58 59 56 21 26 27 24 57 54 55 60 25 22 23 28 52 63 62 49 20 31 30 17A=16 3 2 1

16、3 5 10 11 8 9 6 712 4 15 14 14.4.矩陣的擴(kuò)展矩陣的擴(kuò)展A=16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 B=A; B(4,5)=17B = 16 3 2 13 0 5 10 11 8 0 9 6 7 12 0 4 15 14 1 17 A(end+1,:)=18A = 16 3 2 13 0 5 10 11 8 0 9 6 7 12 0 4 15 14 1 17 18 18 18 18 185.5.刪除刪除矩陣的行、列矩陣的行、列 A(end,:)= A(end,:)=A =A = 16 3 2 13 0 16 3 2 13 0

17、5 10 11 8 0 5 10 11 8 0 9 6 7 12 0 9 6 7 12 0 4 15 14 1 17 4 15 14 1 17 A(:,end)= A(:,end)=A =A = 16 3 2 13 16 3 2 13 5 10 11 8 5 10 11 8 9 6 7 12 9 6 7 12 4 15 14 1 4 15 14 1A = 16 3 2 13 0 5 10 11 8 0 9 6 7 12 0 4 15 14 1 17 18 18 18 18 186.6. 改變矩陣結(jié)構(gòu)改變矩陣結(jié)構(gòu)7.7.基于列的操作規(guī)則基于列的操作規(guī)則 在在MATLABMATLAB中，矩陣元素按

18、列存儲，先第一列，再第中，矩陣元素按列存儲，先第一列，再第二列，依此類推。二列，依此類推。 陣列中的每列數(shù)據(jù)代表一個變量，每一行代表一個觀陣列中的每列數(shù)據(jù)代表一個變量，每一行代表一個觀察者，第（察者，第（i i，j j）個要素是第）個要素是第i i個觀察者的第個觀察者的第j j個變量。個變量。對對5 5個人的個人的3 3個身體指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄個身體指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄Data = 72 134 32 81 201 35 69 156 71 82 148 24 75 170 12 ;7.7.基于列的操作規(guī)則基于列的操作規(guī)則 例子例子 A=16 3 2 13;5 10 11 8;9 6 7 12;4

19、15 14 1A = 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 a3=A(3),a5=A(5)a3 = 9a5 = 3序號序號(Index)(Index)與下標(biāo)與下標(biāo)(Subscript ) (Subscript ) 一一對應(yīng)，以一一對應(yīng)，以mmn n矩陣矩陣A A為例，矩陣元素為例，矩陣元素A(i,j)A(i,j)的序號為的序號為(j-1)(j-1)* *m+im+i。其相。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系可利用互轉(zhuǎn)換關(guān)系可利用sub2indsub2ind和和ind2subind2sub函數(shù)求得。函數(shù)求得。 sum(Data)ans = 3790 8090 174 mean

20、(Data)ans = 758 1618 34800 max(Data)ans = 820 2010 71Data = 72 134 32 81 201 35 69 156 71 82 148 24 75 170 12 ;7.7.基于列的操作規(guī)則基于列的操作規(guī)則 基于列操作規(guī)則的函數(shù)基于列操作規(guī)則的函數(shù)max - 最大值min - 最小值mean - 平均值median - 中值std -標(biāo)準(zhǔn)差 var - 方差sort - 升序排列 sortrows -按行的升序排列 sum - 求和prod - 求積hist -直方圖 histc -直方圖計(jì)數(shù) trapz -梯形數(shù)值積分 cumsum -

21、元素的累積求和 cumprod -元素的累積求積 cumtrapz -累計(jì)梯形數(shù)值積分 基本操作基本操作 有限差分有限差分 diff - 微分和導(dǎo)數(shù) gradient - 梯度 del2 - 離散拉普拉斯算子相關(guān)性分析相關(guān)性分析corrcoef - 相關(guān)系數(shù)cov - 協(xié)方差矩陣subspace-子空間的夾角 濾波和卷積濾波和卷積 filter -一維數(shù)字濾波器 filter2 -二維數(shù)字濾波器 conv -卷積和多項(xiàng)式乘法 conv2 -二維卷積 convn - N維卷積 deconv -反卷積和多項(xiàng)式除法運(yùn)算 detrend -去除線性趨勢 基于列操作規(guī)則的函數(shù)基于列操作規(guī)則的函數(shù)傅里葉變

22、換傅里葉變換 fft -離散傅里葉變換 fft2 -二維離散傅立葉變換 fftn - N維離散傅里葉變換 ifft -逆離散傅立葉變換 ifft2 -二維逆離散傅立葉變換 ifftn - N維離散傅里葉逆變換 fftshift -移零頻率分量的頻譜中心 ifftshift -逆FFTSHIFT8.矩陣的下標(biāo)引用矩陣的下標(biāo)引用通過矩陣下標(biāo)來存取矩陣元素。1)1)訪問單個元素訪問單個元素2)2)線性引用元素線性引用元素3)3)訪問多個元素訪問多個元素1) 1) 訪問單個元素訪問單個元素A=16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1A（i，j）i行號；j列號。 A(

23、1,4) + A(2,4) + A(3,4) + A(4,4)ans = 342.2.線性引用元素線性引用元素n對于矩陣對于矩陣A A，線性引用元素的格式為，線性引用元素的格式為A A( (k k) )。通。通常這樣的引用用于行向量或列向量，但也可用常這樣的引用用于行向量或列向量，但也可用于二維矩陣。于二維矩陣。nMATLABMATLAB按列優(yōu)先排列的一個長列向量格式按列優(yōu)先排列的一個長列向量格式（線性引用元素）來存儲矩陣元素（線性引用元素）來存儲矩陣元素。A=16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 A(6)ans = 103.3.訪問多個元素訪問多個元素

24、n操作符“：”可用來獲取矩陣的多個元素。若A A是二維矩陣，其主要用法如下：p A(:,:) A(:,:) 矩陣矩陣A A的所有元素的所有元素p A(i,:) A(i,:) 矩陣矩陣A A第第i i 行的所有元素行的所有元素p A(i,k1:k2) A(i,k1:k2) 矩陣矩陣A A第第i i行的自行的自k1k1到到k2k2列的所有元素列的所有元素p A(:,j) A(:,j) 矩陣矩陣A A第第j j列的所有元素列的所有元素p A(k1:k2,j) A(k1:k2,j) 返回矩陣返回矩陣A A第第j j列的自列的自k1k1到到k2k2行的所有元素行的所有元素A=16 3 2 13 5 10

25、 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 A(3,:)ans = ?9.9.邏輯下標(biāo)邏輯下標(biāo)x = 2.1 1.7 1.6 1.5 NaN 1.9 1.8 1.5 5.1 1.8 1.4 2.2 1.6 1.8; index=isfinite(x)index = 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x(index)ans = 2.1 1.7 1.6 1.5 1.9 1.8 1.5 5.1 1.8 1.4 2.2 1.6 1.8 x = x(isfinite(x)x = 2.1 1.7 1.6 1.5 1.9 1.8 1.5 5.1 1.8 1.4 2.2 1.6 1.8

26、 x = x(abs(x-mean(x) k = find(isprime(A)k = 2 5 9 10 11 13 A(k)ans = 5 3 2 11 7 13 A(k) = NaNA = 16 NaN NaN NaN NaN 10 NaN 8 9 6 NaN 12 4 15 14 1A=16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 712 4 15 14 110. 矩陣信息的獲取矩陣信息的獲取1)矩陣的尺寸2)元素的數(shù)據(jù)類型3)矩陣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)1 1）矩陣的尺寸）矩陣的尺寸矩陣尺寸函數(shù)可以得到矩陣的形狀和大小信息。矩陣尺寸函數(shù)可以得到矩陣的形狀和大小信息。 2 2）元素的數(shù)據(jù)類型）元素的

27、數(shù)據(jù)類型查詢元素?cái)?shù)據(jù)類型信息。查詢元素?cái)?shù)據(jù)類型信息。3 3）矩陣元素的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)）矩陣元素的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)判斷矩陣是否為某種指定數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)判斷矩陣是否為某種指定數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)11.11.稀疏矩陣稀疏矩陣1 1）稀疏矩陣的創(chuàng)建）稀疏矩陣的創(chuàng)建2 2）稀疏矩陣的查看）稀疏矩陣的查看3 3）稀疏矩陣的運(yùn)算規(guī)則）稀疏矩陣的運(yùn)算規(guī)則p若一個矩陣只有少數(shù)的元素非零，稱為稀疏矩陣。p稀疏矩陣用非零元素及其對應(yīng)的下標(biāo)來表示。p用戶可以創(chuàng)建雙精度、復(fù)數(shù)和邏輯等類型的稀疏矩陣。 11.11.稀疏矩陣稀疏矩陣1 1）稀疏矩陣的創(chuàng)建）稀疏矩陣的創(chuàng)建函數(shù)sparse可用于創(chuàng)建稀疏矩陣 S S = sparse( = sparse(i,

28、j,s,m,ni,j,s,m,n) )i,j 稀疏矩陣非零元素的行和列下標(biāo)s 相應(yīng)的非零元素的值m,n是矩陣的行數(shù)和列數(shù)函數(shù)函數(shù)sparsesparse從滿矩陣轉(zhuǎn)化為稀疏矩陣；從滿矩陣轉(zhuǎn)化為稀疏矩陣；函數(shù)函數(shù)fullfull從稀疏矩陣轉(zhuǎn)化為滿矩陣。從稀疏矩陣轉(zhuǎn)化為滿矩陣。其它用于創(chuàng)建特殊稀疏矩陣的函數(shù)其它用于創(chuàng)建特殊稀疏矩陣的函數(shù)2 2）稀疏矩陣的查看）稀疏矩陣的查看 MATLAB提供一些函數(shù)用于查看稀疏矩陣的信息，如下表所示。 MATLAB自帶一個的稀疏矩陣west0479。 2 2）稀疏矩陣的查看）稀疏矩陣的查看3 3）稀疏矩陣的運(yùn)算規(guī)則）稀疏矩陣的運(yùn)算規(guī)則n絕大多數(shù)適用于滿陣的各種命令和

29、函數(shù)都可以用于稀疏矩陣的運(yùn)算，并且遵循如下約定：p把矩陣變?yōu)闃?biāo)量或者定長向量的函數(shù)總是給出滿矩陣；p對于標(biāo)量或者定長向量變換到矩陣的函數(shù)，如函數(shù)zeros、ones、eye、rand等總是給出滿矩陣；p從矩陣到矩陣的變換函數(shù)將以原矩陣的形式出現(xiàn)；p在參與矩陣擴(kuò)展的子矩陣（如 A B;C D）中，只要有一個是稀疏矩陣，那么所得的結(jié)果也是稀疏矩陣；p在矩陣引用中，將仍以原矩陣形式給出結(jié)果。 第第2 2章章 矩陣及其操作矩陣及其操作2.1 2.1 數(shù)據(jù)類型數(shù)據(jù)類型2.2 2.2 變量及其操作變量及其操作2.3 2.3 矩陣基礎(chǔ)矩陣基礎(chǔ)2.4 2.4 矩陣運(yùn)算矩陣運(yùn)算2.5 2.5 矩陣的基本操作矩陣

30、的基本操作2.6 2.6 矩陣分析矩陣分析2.7 2.7 矩陣分解矩陣分解2.8 2.8 矩陣相似變換矩陣相似變換2.9 2.9 常用函數(shù)常用函數(shù)2.4 2.4 矩陣運(yùn)算矩陣運(yùn)算矩陣的運(yùn)算包括算術(shù)運(yùn)算、點(diǎn)運(yùn)算、矩陣的運(yùn)算包括算術(shù)運(yùn)算、點(diǎn)運(yùn)算、關(guān)系運(yùn)算、邏輯運(yùn)算。關(guān)系運(yùn)算、邏輯運(yùn)算。1.1.算術(shù)運(yùn)算算術(shù)運(yùn)算基本算術(shù)運(yùn)算：基本算術(shù)運(yùn)算： ( (加加) ) ( (減減) )* * ( (乘乘) )/ (/ (右除右除) ) ( (左除左除) ) ( (乘方乘方) )2.4 2.4 矩陣運(yùn)算矩陣運(yùn)算矩陣的運(yùn)算包括算術(shù)運(yùn)算、點(diǎn)運(yùn)算、矩陣的運(yùn)算包括算術(shù)運(yùn)算、點(diǎn)運(yùn)算、關(guān)系運(yùn)算、邏輯運(yùn)算。關(guān)系運(yùn)算、邏輯運(yùn)算。

31、1.1.算術(shù)運(yùn)算算術(shù)運(yùn)算基本算術(shù)運(yùn)算：基本算術(shù)運(yùn)算： ( (加加) ) ( (減減) )* * ( (乘乘) )/ (/ (右除右除) ) ( (左除左除) ) ( (乘方乘方) )加減法運(yùn)算加減法運(yùn)算語法：語法：A+BA+B語法：語法：A-BA-B A+Aans = 32 8 11 17 8 20 17 23 11 17 14 26 17 23 26 2 A-Aans = 0 -2 -7 9 2 0 5 -7 7 -5 0 -2 -9 7 2 0注意：矩陣注意：矩陣A A和和B B矩陣的維數(shù)須相同。矩陣的維數(shù)須相同。語法：語法：A A* *B B A*Aans = 438 236 332 1

32、50 236 310 278 332 332 278 310 236 150 332 236 438注意：矩陣注意：矩陣A A和和B B矩陣的維數(shù)有要求，兩矩陣的維數(shù)有要求，兩矩陣矩陣A A和和B B，若，若A A為為mmn n矩陣，矩陣，B B為為n np p矩陣，則矩陣，則A A* *B B為為mmp p矩陣。矩陣。矩陣乘法矩陣乘法矩陣除法矩陣除法在在MATLABMATLAB中，有兩種矩陣除法運(yùn)算：中，有兩種矩陣除法運(yùn)算： 和和/ /，分別表，分別表示左除和右除。示左除和右除。對于含有標(biāo)量的運(yùn)算，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果相同，如對于含有標(biāo)量的運(yùn)算，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果相同，如3/43/4和和434

33、3有相同的值，都等于有相同的值，都等于0.750.75。又如：若。又如：若a=10.5,25a=10.5,25，則，則a/5=5a=2.1 5a/5=5a=2.1 5。如果如果A A矩陣是非奇異方陣，則矩陣是非奇異方陣，則AbAb和和b/Ab/A運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)。運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)。AbAb等效于等效于A A的逆左乘的逆左乘b b矩陣，也就是矩陣，也就是A A-1-1* *b b，而，而b/Ab/A等等效于效于A A矩陣的逆右乘矩陣的逆右乘b b矩陣，也就是矩陣，也就是b b* *A A-1-1。對于矩陣來說，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和對于矩陣來說，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的

34、關(guān)系。對于矩陣運(yùn)算，一般被除數(shù)矩陣的關(guān)系。對于矩陣運(yùn)算，一般Abb/AAbb/A。矩陣與標(biāo)量的運(yùn)算矩陣與標(biāo)量的運(yùn)算 B = A - 8.5B = 7.5 -5.5 -6.5 4.5 -3.5 1.5 2.5 -0.5 0.5 -2.5 -1.5 3.5 -4.5 6.5 5.5 -7.5 C=A*2C = 32 6 4 26 10 20 22 16 18 12 14 24 8 30 28 2A=16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 712 4 15 14 1矩陣的乘方矩陣的乘方語法：語法：AnAn A A* *A Aans =ans = 341 285 261 269 341 285

35、 261 269 261 301 309 285 261 301 309 285 285 309 301 261 285 309 301 261 269 261 285 341 269 261 285 341 A2 A2ans =ans = 341 285 261 269 341 285 261 269 261 301 309 285 261 301 309 285 285 309 301 261 285 309 301 261 269 261 285 341 269 261 285 341要求：要求：A為方陣，為方陣，n為標(biāo)量，不一定為整數(shù)。為標(biāo)量，不一定為整數(shù)。2.點(diǎn)運(yùn)算點(diǎn)運(yùn)算在在MATL

36、ABMATLAB中，有一種特殊的運(yùn)算，中，有一種特殊的運(yùn)算，因?yàn)槠溥\(yùn)算符是在有關(guān)算術(shù)運(yùn)算符前因?yàn)槠溥\(yùn)算符是在有關(guān)算術(shù)運(yùn)算符前面加點(diǎn)，所以叫點(diǎn)運(yùn)算。面加點(diǎn)，所以叫點(diǎn)運(yùn)算。點(diǎn)運(yùn)算符有點(diǎn)運(yùn)算符有 . .* * ./ ./ . . .兩矩陣進(jìn)行點(diǎn)運(yùn)算是指它們的對應(yīng)元兩矩陣進(jìn)行點(diǎn)運(yùn)算是指它們的對應(yīng)元素進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，要求兩矩陣的維數(shù)素進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，要求兩矩陣的維數(shù)相同。相同。點(diǎn)乘點(diǎn)乘 A*Aans = 341 285 261 269 261 301 309 285 285 309 301 261 269 261 285 341 A.*Aans = 256 9 4 169 25 100 121 64 81

37、36 49 144 16 225 196 1A=16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 712 4 15 14 1點(diǎn)乘方點(diǎn)乘方 pows = n n.2 2.npows = 0 0 1 1 1 2 2 4 4 3 9 8 4 16 16 5 25 32 6 36 64 7 49 128 8 64 256 9 81 512 n = (0:9)n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 93.3.關(guān)系運(yùn)算關(guān)系運(yùn)算MATLABMATLAB提供了提供了6 6種關(guān)系運(yùn)算符：種關(guān)系運(yùn)算符： ( (小于小于) ) = ( ( (大于大于) )= (= (大于或等于大于或等于) )= (= (等于等于

38、) )= (= (不等于不等于) )3.3.關(guān)系運(yùn)算關(guān)系運(yùn)算關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則：關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則：l當(dāng)兩個標(biāo)量進(jìn)行比較時(shí)，直接比較兩數(shù)的大小。當(dāng)兩個標(biāo)量進(jìn)行比較時(shí)，直接比較兩數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá)式結(jié)果為若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá)式結(jié)果為1 1，否則為，否則為0 0。l當(dāng)兩個維數(shù)相同的矩陣進(jìn)行比較時(shí)，對兩矩陣相當(dāng)兩個維數(shù)相同的矩陣進(jìn)行比較時(shí)，對兩矩陣相同位置的元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個進(jìn)行比較，同位置的元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個進(jìn)行比較，最終的關(guān)系運(yùn)算結(jié)果是一個維數(shù)與所比較的矩陣最終的關(guān)系運(yùn)算結(jié)果是一個維數(shù)與所比較的矩陣維數(shù)相同的由維數(shù)相同的由0 0或或1 1組成矩陣。組成矩陣。l當(dāng)一

39、個矩陣和一個標(biāo)量進(jìn)行比較時(shí)，則對矩陣的當(dāng)一個矩陣和一個標(biāo)量進(jìn)行比較時(shí)，則對矩陣的每一個元素與標(biāo)量按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個進(jìn)行每一個元素與標(biāo)量按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個進(jìn)行比較，最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個維數(shù)與矩陣比較，最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個維數(shù)與矩陣相同的由相同的由0 0或或1 1組成矩陣。組成矩陣。4.4.邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算 MATLABMATLAB提供了提供了3 3種邏輯運(yùn)算符：種邏輯運(yùn)算符：& (& (與與) and) and| (| (或或) or) or ( (非非) not) not ( (異或）異或） xorxor邏輯運(yùn)算的運(yùn)算法則：非零元素為真，用邏輯運(yùn)算的運(yùn)算法則：非零元素為真，

40、用1 1表示，零元素為假，表示，零元素為假，用用0 0表示。表示。設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個標(biāo)量設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個標(biāo)量a a和和b b，那么：，那么： a&b a,ba&b a,b都為非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為都為非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1 1，否則為，否則為0 0。 a|b a,ba|b a,b中只要有一個非零，運(yùn)算結(jié)果為中只要有一個非零，運(yùn)算結(jié)果為1 1。 a a 當(dāng)當(dāng)a a是零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為是零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1 1；當(dāng)；當(dāng)a a非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為0 0。 xor(a,b) xor(a,b) 當(dāng)當(dāng)a a和和b b有有1 1個零，一個非零是，運(yùn)算結(jié)果為個零，一個非零是，運(yùn)算結(jié)果為1 1；

41、否則，；否則，為零。為零。 4.4.邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算 4.4.邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算 若參與邏輯運(yùn)算的是兩個同維矩陣，那么運(yùn)算將對矩若參與邏輯運(yùn)算的是兩個同維矩陣，那么運(yùn)算將對矩陣相同位置上的元素按標(biāo)量規(guī)則逐個進(jìn)行。最終運(yùn)算陣相同位置上的元素按標(biāo)量規(guī)則逐個進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個與原矩陣同維的矩陣，其元素由結(jié)果是一個與原矩陣同維的矩陣，其元素由1 1或或0 0組成。組成。若參與邏輯運(yùn)算的一個是標(biāo)量，一個是矩陣，那么運(yùn)若參與邏輯運(yùn)算的一個是標(biāo)量，一個是矩陣，那么運(yùn)算將在標(biāo)量與矩陣中的每個元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個算將在標(biāo)量與矩陣中的每個元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個與矩陣同維的矩陣，其元進(jìn)

42、行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個與矩陣同維的矩陣，其元素由素由1 1或或0 0組成。組成。邏輯非是單目運(yùn)算符，也服從矩陣運(yùn)算規(guī)則。邏輯非是單目運(yùn)算符，也服從矩陣運(yùn)算規(guī)則。在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運(yùn)算中，算術(shù)運(yùn)算優(yōu)先級最高，在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運(yùn)算中，算術(shù)運(yùn)算優(yōu)先級最高，邏輯運(yùn)算優(yōu)先級最低。邏輯運(yùn)算優(yōu)先級最低。5.5.運(yùn)算優(yōu)先級運(yùn)算優(yōu)先級l運(yùn)算符的優(yōu)先級決定表達(dá)式求值順序;l具有相同優(yōu)先級的運(yùn)算符從左到右依次進(jìn)行運(yùn)算;l不同優(yōu)先級的運(yùn)算符采用先進(jìn)行優(yōu)先高的運(yùn)算。 運(yùn)算符的優(yōu)先等級表運(yùn)算符的優(yōu)先等級表 括號的優(yōu)先級最高，因此可以用它來改變默認(rèn)的優(yōu)先級。括號的優(yōu)先級最高，因此可以用它來改變默認(rèn)的優(yōu)先級。 2.5 2.

43、5 矩陣的基本操作矩陣的基本操作矩陣的求和矩陣的求和 sum(A)ans = 34 34 34 34矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置 Aans = 16 5 9 4 3 10 6 15 2 11 7 14 13 8 12 1A=16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 712 4 15 14 12.5 2.5 矩陣的基本操作矩陣的基本操作矩陣的行列式矩陣的行列式 det(A)ans = 0A=16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 712 4 15 14 1矩陣的特征值矩陣的特征值 eig(A)ans = 340 80 00 -80http:/ = 4/3 1.2345e-6; format

44、 short;xx = 1.3333 0.0000format short e;xx = 1.3333e+000 1.2345e-006 format short g;xx = 1.3333 1.2345e-006 format long;xx = 1.33333333333333 0.00000123450000其它支持的格式其它支持的格式： help format2.6 2.6 矩陣分析矩陣分析 1向量間的距離 2矩陣的秩 3矩陣的行列式 4矩陣的跡 5矩陣的化零矩陣 6矩陣的正交空間 7矩陣的簡化梯形形式 8矩陣空間之間的角度部分矩陣分析函數(shù)1向量間的距離2矩陣的秩 矩陣A中線性無關(guān)的列

45、向量個數(shù)稱為列秩，線性無關(guān)的行向量個數(shù)稱為行秩?？梢宰C明列秩與行秩是相等的。3矩陣的行列式4矩陣的跡 矩陣的跡定義為矩陣對角元素之和。5矩陣的化零矩陣 對于非滿秩矩陣A，若存在矩陣Z使得AZ = 0且ZTZ = I，則稱矩陣Z為矩陣A的化零矩陣。 在MATLAB中用函數(shù)null()來計(jì)算矩陣的化零矩陣。 6矩陣的正交空間 矩陣A的正交空間Q滿足QTQ = I，且矩陣Q與A具有相同的列基底。7矩陣的簡化梯形形式 矩陣A的簡化梯形形式為 ，其中Ir為r階單位矩陣。*0*rI8矩陣空間之間的角度 矩陣空間之間的角度代表具有相同行數(shù)的兩個矩陣線性相關(guān)程度，夾角越小代表線性相關(guān)度越高。 2.7 2.7

46、矩陣分解矩陣分解 1Cholesky分解 2LU分解 3QR分解 4奇異值分解 5Schur分解 矩陣分解是把一個矩陣分解成比較簡單或者對它性質(zhì)比較熟悉的若干矩陣的乘積的形式。矩陣分解函數(shù)表1Cholesky分解 Cholesky分解是把對稱正定矩陣A表示為上三角矩陣R的轉(zhuǎn)置與其本身的乘積，即A=RTR。 http:/ 對 于 稀 疏 矩 陣 ， M A T L A B 中 用 函 數(shù)cholinc()計(jì)算不完全Cholesky分解 R = full(cholinc(sparse (X),DROPTOL)，其中DROPTOL為不完全Cholesky分解的丟失容限； R = full(cholinc(sparse (X),0)，完 全Cholesky分解。 2LU分解 高斯消去法又稱LU分解:將任意一個方陣A分解為一個交換下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積，即 A=LU。 LU分解在MATLAB中用函數(shù)lu()來實(shí)現(xiàn) L,U = lu(X)，X為一個方陣，L為交換 下三角矩陣，U為上三角矩陣； L,