高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.2.2 充要條件課件4 新人教A版選修1-1

1、第2課時(shí)充要條件的應(yīng)用1【自主預(yù)習(xí)】【自主預(yù)習(xí)】1.1.充要條件充要條件(1)(1)定義定義: :若若p pq q且且q qp,p,則記作則記作_,_,此時(shí)此時(shí)p p是是q q的充分的充分必要條件必要條件, ,簡稱充要條件簡稱充要條件. .(2)(2)條件與結(jié)論的等價(jià)性條件與結(jié)論的等價(jià)性: :如果如果p p是是q q的充要條件的充要條件, ,那么那么q q也是也是p p的的_._.p pq q充要條件充要條件22.2.互為充要條件互為充要條件如果如果_,_,那么那么p p與與q q互為充要條件互為充要條件. .p pq q3【即時(shí)小測】【即時(shí)小測】1.1.若若p p是是q q的必要條件的必要條

2、件,s,s是是q q的充分條件的充分條件, ,那么下列推理那么下列推理一定正確的是一定正確的是( () )A.pA.ps B.ss B.sp C.pp C.ps D.ps D.ps s【解析】【解析】選選A.A.因?yàn)橐驗(yàn)閜 p是是q q的必要條件的必要條件,s,s是是q q的充分條件的充分條件, ,所以所以q qp,sp,sq,q,所以所以s sp,p,則根據(jù)逆否命題的等價(jià)性可則根據(jù)逆否命題的等價(jià)性可知知:p:ps.s.42.“|x|=|y|”2.“|x|=|y|”是是“x=y”x=y”的的( () )A.A.充分不必要條件充分不必要條件 B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充要條件充

3、要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析】【解析】選選B.|x|=|y|B.|x|=|y|x=yx=y或或x=-y,x=yx=-y,x=y|x|=|y|.|x|=|y|.53.3.已知已知sin0,sin0”tan0”是是“為第三象限角為第三象限角”的的( () )A.A.充分但不必要條件充分但不必要條件 B.B.必要但不充分條件必要但不充分條件C.C.充要條件充要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析】【解析】選選C.C.當(dāng)當(dāng)sin0sin0,tan0為第三象限角為第三象限角. .64.4.在銳角在銳角ABCABC中中,“A= ”,“A= ”是是“

4、sinA= ”sinA= ”成立的成立的_條件條件. .【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)锳BCABC是銳角三角形是銳角三角形, ,所以所以A= A= sinA= .sinA= .答案答案: :充要充要33233275.“l(fā)og5.“l(fā)og3 3M logM log3 3N”N”是是“M N”M N”成立的成立的_條件條件. .【解析】【解析】由由loglog3 3MlogMlog3 3N,N,又因?yàn)閷?shù)函數(shù)又因?yàn)閷?shù)函數(shù)y=logy=log3 3x x在定在定義域義域(0,+(0,+) )上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,所以所以MN;MN;當(dāng)當(dāng)MN,MN,由于不知道由于不知道M,NM,N是否為正數(shù)是否為正數(shù)

5、, ,所以所以loglog3 3M,logM,log3 3N N不一定有意義不一定有意義, ,故不故不能推出能推出loglog3 3MlogMlog3 3N,N,所以所以loglog3 3MlogMlog3 3N N是是M NM N成立的充成立的充分不必要條件分不必要條件. .答案答案: :充分不必要充分不必要8【知識探究】【知識探究】探究點(diǎn)探究點(diǎn)充要條件充要條件1.1.符號符號“”的含義是什么的含義是什么? ?提示提示: :“”表示表示“等價(jià)等價(jià)”, ,如如“A A與與B B等價(jià)等價(jià)”指的是指的是“如如果果A,A,那么那么B B”, ,同時(shí)有同時(shí)有“如果如果B,B,那么那么A A”, ,或者

6、說或者說“從從A A推推出出B B”, ,同時(shí)可同時(shí)可“從從B B推出推出A A”. .92.p2.p的充要條件是的充要條件是q q與與p p是是q q的充要條件一樣嗎的充要條件一樣嗎? ?提示提示: :從充要性來說一樣從充要性來說一樣, ,但但“p p的充要條件是的充要條件是q q”的充的充分性是分性是q qp,p,而而“p p是是q q的充要條件的充要條件”的充分性是的充分性是p pq.q.10【歸納總結(jié)】【歸納總結(jié)】1.1.命題按條件和結(jié)論的充分性、必要性可分為四類命題按條件和結(jié)論的充分性、必要性可分為四類(1)(1)充分必要條件充分必要條件( (充要條件充要條件),),即即p pq q

7、且且q qp;p;(2)(2)充分不必要條件充分不必要條件, ,即即p pq q且且q p;q p;(3)(3)必要不充分條件必要不充分條件, ,即即p qp q且且q qp;p;(4)(4)既不充分又不必要條件既不充分又不必要條件, ,即即p qp q且且q p.q p.112.2.從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件若若A AB,B,則則p p是是q q的充分條件的充分條件, ,若若A B,A B,則則p p是是q q的充分不必要條件的充分不必要條件若若B BA,A,則則p p是是q q的必要條件的必要條件, ,若若B A,B A,則則p

8、 p是是q q的必要不充分條件的必要不充分條件若若A=B,A=B,則則p,qp,q互為充要條件互為充要條件若若A A B B且且B B A,A,則則p p既不是既不是q q的充分條件的充分條件, ,也不是也不是q q的必要條件的必要條件12其中其中p:A=x|p(x)p:A=x|p(x)成立成立,q:B=x|q(x),q:B=x|q(x)成立成立.特別提醒特別提醒:p:p是是q q的充要條件意味著的充要條件意味著“p p成立則成立則q q成立成立;p;p不不成立則成立則q q不成立不成立”. .13類型一類型一充要條件的判斷充要條件的判斷【典例】【典例】1.(20151.(2015重慶高考重慶

9、高考)“x1”)“x1”是是“ “ (x+2)(x+2)0”0 x0，yRyR，則，則“xy”xy”是是“x|y|”x|y|”的的( )( )A.A.充要條件充要條件B.B.充分而不必要條件充分而不必要條件C.C.必要而不充分條件必要而不充分條件D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件15【解題探究】【解題探究】1.1.典例典例1 1中如何求滿足中如何求滿足 (x+2)0(x+2)1.x+21.2.2.題題2 2中判斷的關(guān)鍵是什么？中判斷的關(guān)鍵是什么？提示：提示：分分y0y0和和y0y0去絕對值討論去絕對值討論. .12log16【解析】【解析】1.1.選選B.B. (x+2)0 (x

10、+2)1x+21x-1,x-1,因此若因此若x1,x1,則則x-1x-1成立成立, ,若若x-1,x-1,則則x1x1不一定成立不一定成立, ,所以是充分不必要條件所以是充分不必要條件. .12log172.2.選選C. C. 當(dāng)當(dāng)y0y0時(shí)，時(shí)，xyxyx|y|x|y|；當(dāng)；當(dāng)y0y|y|x|y|xyxy但但xy x|y|.xy x|y|.所以所以“xy”xy”是是“x|y|”x|y|”的必要而不的必要而不充分條件充分條件. .18【方法技巧】【方法技巧】充要條件的常用判斷方法充要條件的常用判斷方法(1)(1)命題判斷法命題判斷法: :設(shè)設(shè)“若若p,p,則則q”q”為原命題為原命題, ,那么

11、那么: :原命題為真原命題為真, ,逆命題為假時(shí)逆命題為假時(shí),p,p是是q q的充分不必要條件的充分不必要條件; ;原命題為假原命題為假, ,逆命題為真時(shí)逆命題為真時(shí),p,p是是q q的必要不充分條件的必要不充分條件; ;原命題與逆命題都為真時(shí)原命題與逆命題都為真時(shí),p,p是是q q的充要條件的充要條件; ;19原命題與逆命題都為假時(shí)原命題與逆命題都為假時(shí),p,p是是q q的既不充分也不必要的既不充分也不必要條件條件. .(2)(2)等價(jià)轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化法: :p p是是q q的什么條件等價(jià)于的什么條件等價(jià)于qq是是pp的什么條件的什么條件. .20【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】1.“a-2”1.“a

12、-2”是是“函數(shù)函數(shù)f(x)=ax+3f(x)=ax+3在區(qū)間在區(qū)間-1,2-1,2上存在零上存在零點(diǎn)點(diǎn)”的的( () )A.A.充分不必要條件充分不必要條件B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充分必要條件充分必要條件D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件21【解析】【解析】選選A.A.若函數(shù)若函數(shù)f(x)=ax+3f(x)=ax+3在區(qū)間在區(qū)間-1,2-1,2上存在零上存在零點(diǎn)點(diǎn), ,則則f(-1)f(2)0,f(-1)f(2)0,得得a3a3或或a- ,a- ,所以所以“a-2”a-2”是是“函數(shù)函數(shù)f(x)=ax+3f(x)=ax+3在區(qū)間在區(qū)間-1,2-1,2上存在零

13、點(diǎn)上存在零點(diǎn)”的充分的充分不必要條件不必要條件. .23222.2.已知命題已知命題p:x1p:x1或或y2,y2,命題命題q:x+y3,q:x+y3,則命題則命題p p是是q q的的( () )A.A.充分不必要條件充分不必要條件 B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充要條件充要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件23【解析】【解析】選選B.B.命題命題p:x1p:x1或或y2,y2,則則p:x=1p:x=1且且y=2;y=2;命題命題q:x+y3,q:x+y3,則則q:x+y=3,q:x+y=3,易知易知ppq,q,其等價(jià)命題為其等價(jià)命題為q qp,p,故故p p

14、是是q q的必要不充分條件的必要不充分條件. .243.(20163.(2016北京高考北京高考) )設(shè)設(shè)a, ,b是向量，則是向量，則“| |a|=|=|b|”|”是是“| |a+ +b|=|=|a- -b|”|”的的( )( )A.A.充分而不必要條件充分而不必要條件B.B.必要而不充分條件必要而不充分條件C.C.充分必要條件充分必要條件D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件25【解題指南】【解題指南】利用向量加法的平行四邊形法則，減法利用向量加法的平行四邊形法則，減法的三角形法則解決的三角形法則解決. .【解析】【解析】選選D.D.由由| |a+ +b|=|=|a- -b| |

15、可得可得ab. .所以所以“| |a|=|=| |b|”|”是是“| |a+ +b|=|=|a- -b|”|”的既不充分也不必要條件的既不充分也不必要條件. .26類型二類型二充要條件的證明充要條件的證明【典例】【典例】(2016(2016廣安高二檢測廣安高二檢測) )求證求證:0a :0a0-ax+1-a0對一切實(shí)數(shù)對一切實(shí)數(shù)x x都成立的充要條件都成立的充要條件. .【解題探究】【解題探究】典例中不等式成立的條件怎樣求典例中不等式成立的條件怎樣求? ?提示提示: :分分a=0,a0a=0,a0兩種情況求兩種情況求. .4527【解析】【解析】充分性充分性: :當(dāng)當(dāng)0a 0a 時(shí)時(shí), ,判別

16、式判別式=a=a2 2-4a(1-a)=5a-4a(1-a)=5a2 2-4a=a(5a-4)0,-4a=a(5a-4)0-ax+1-a0對一切實(shí)數(shù)對一切實(shí)數(shù)x x都成立都成立. .而當(dāng)而當(dāng)a=0a=0時(shí)時(shí), ,不等式不等式axax2 2-ax+1-a0-ax+1-a0可變成可變成10.10.顯然當(dāng)顯然當(dāng)a=0a=0時(shí)時(shí), ,不等式不等式axax2 2-ax+1-a0-ax+1-a0對一切實(shí)數(shù)對一切實(shí)數(shù)x x都成立都成立. .4528必要性必要性: :因?yàn)橐驗(yàn)閍xax2 2-ax+1-a0-ax+1-a0對一切實(shí)數(shù)對一切實(shí)數(shù)x x都成立都成立, ,所以所以a=0a=0或或 解得解得0a .0a

17、 .故故0a 0a0-ax+1-a0對一切實(shí)數(shù)對一切實(shí)數(shù)x x都成立都成立的充要條件的充要條件. .2a0,a4a(1 a) 0,454529【方法技巧】【方法技巧】充要條件的證明策略充要條件的證明策略(1)(1)要證明一個(gè)條件要證明一個(gè)條件p p是否是是否是q q的充要條件的充要條件, ,需要從充分需要從充分性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行, ,即證明兩個(gè)命題即證明兩個(gè)命題“若若p,p,則則q”q”為真且為真且“若若q,q,則則p”p”為真為真. .(2)(2)在證明的過程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來證明在證明的過程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來證明, ,證明證明p p與與q q的解集

18、是相同的的解集是相同的, ,證明前必須分清楚充分性和證明前必須分清楚充分性和必要性必要性, ,即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論. .30【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】已知已知a,ba,b是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù), ,求證求證:a:a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=1=1成立的成立的充分條件是充分條件是a a2 2-b-b2 2=1.=1.該條件是否為必要條件該條件是否為必要條件? ?試證明你試證明你的結(jié)論的結(jié)論. .31【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍 a2 2-b-b2 2=1,=1,所以所以a a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=(a=(a2 2-b-b2 2)(a)

19、(a2 2+b+b2 2)-)-2b2b2 2=(a=(a2 2+b+b2 2)-2b)-2b2 2=a=a2 2-b-b2 2=1.=1.即即a a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=1=1成立的充分條件是成立的充分條件是a a2 2-b-b2 2=1.=1.另一方面另一方面, ,若若a a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=1,=1,即即a a4 4-(b-(b4 4+2b+2b2 2+1)=0,+1)=0,a a4 4-(b-(b2 2+1)+1)2 2=0,(a=0,(a2 2-b-b2 2-1)(a-1)(a2 2+b+b2 2+1)=0.+1)=0.又又a a2 2+b+b

20、2 2+10,+10,所以所以a a2 2-b-b2 2-1=0,-1=0,即即a a2 2-b-b2 2=1.=1.因此因此a a2 2-b-b2 2=1=1是是a a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=1=1成立的必要條件成立的必要條件. .32【補(bǔ)償訓(xùn)練】【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015(2015西安高二檢測西安高二檢測) )若若M,A,BM,A,B三點(diǎn)不三點(diǎn)不共線共線, ,且存在實(shí)數(shù)且存在實(shí)數(shù)1 1,2 2, ,使使 , ,求求證證:“C:“C為為ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)”的充要條件是的充要條件是“1 1=2 2= ”.= ”.12MCMAMB 1233【解題指南】【解題指南】證明時(shí)首先搞清楚條

21、件證明時(shí)首先搞清楚條件p p和結(jié)論和結(jié)論q q分別指分別指什么什么, ,然后證明然后證明p pq(q(充分性充分性) )和和q qp(p(必要性必要性) )成立成立. .34【證明】【證明】充分性充分性: :因?yàn)橐驗(yàn)? 1=2 2= ,= ,所以所以即即即即 = =0, ,所以所以C C為為ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn). .1211MCMAMB,22 11(MA MC)(MB MC),22 0CA CB 35必要性必要性: :因?yàn)橐驗(yàn)镃 C為為ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,所以所以所以所以所以所以 . .又因?yàn)橛忠驗(yàn)镸,A,BM,A,B三點(diǎn)不共線三點(diǎn)不共線, ,所以所以 是平面向量的一組基底是平面向量的一

22、組基底, ,所以所以1 1=2 2= .= .所以所以“C C為為ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)”的充要條件是的充要條件是“1 1=2 2= ”.= ”.CA CB ，011(MA MC)(MB MC),22 011MCMAMB22 1212MA,MB 36類型三類型三求充要條件求充要條件【典例】【典例】1.1.直線直線x+y+m=0 x+y+m=0與圓與圓(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=2相切的相切的充要條件是充要條件是_._.2.(20162.(2016運(yùn)城高二檢測運(yùn)城高二檢測) )求關(guān)于求關(guān)于x x的一元二次不等式的一元二次不等式axax2 2+1ax+1ax對于一切

23、實(shí)數(shù)對于一切實(shí)數(shù)x x都成立的充要條件都成立的充要條件. .37【解題探究】【解題探究】1.1.直線與圓相切的充要條件是什么直線與圓相切的充要條件是什么? ?提示提示: :圓心到直線的距離等于半徑圓心到直線的距離等于半徑. .2.2.求一個(gè)問題的充要條件的關(guān)鍵是什么求一個(gè)問題的充要條件的關(guān)鍵是什么? ?提示提示: :關(guān)鍵是把這個(gè)問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化關(guān)鍵是把這個(gè)問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化. .38【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】1.1.直線直線x+y+m=0 x+y+m=0與圓與圓(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=2相相切切圓心圓心(1,1)(1,1)到直線到直線x+y+m=0 x+y+m

24、=0的距離等于的距離等于 |m+2|=2|m+2|=2m=-4m=-4或或0.0.答案答案: :m=-4m=-4或或0 02.2.由題可知等價(jià)于由題可知等價(jià)于 0a4.0a4.2|1 1 m|22 a0039【延伸探究】【延伸探究】1.1.典例典例2 2中不等式改為中不等式改為axax2 2-1ax,-1ax,求其對于一切實(shí)數(shù)求其對于一切實(shí)數(shù)x x都都成立的充要條件成立的充要條件. .【解析】【解析】不等式恒成立等價(jià)于不等式恒成立等價(jià)于解得解得-4a0.-4a0.2a 0,a4a 0,402.2.典例典例2 2中的不等式改為方程中的不等式改為方程, ,求方程有兩個(gè)正根的充求方程有兩個(gè)正根的充要

25、條件要條件. .【解析】【解析】一元二次方程為一元二次方程為axax2 2-ax+1=0,-ax+1=0,設(shè)方程的兩根為設(shè)方程的兩根為x x1 1,x,x2 2, ,則方程有兩個(gè)正根的充要條件是則方程有兩個(gè)正根的充要條件是解得解得a4.a4.21212a0a4a 01x x0axx1 0 ，41【方法技巧】【方法技巧】求充要條件的方法求充要條件的方法求一個(gè)問題的充要條件求一個(gè)問題的充要條件, ,就是利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想就是利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想, ,使得轉(zhuǎn)化前后的兩個(gè)命題所對應(yīng)的解集是兩個(gè)相同的使得轉(zhuǎn)化前后的兩個(gè)命題所對應(yīng)的解集是兩個(gè)相同的集合集合. .這就要求我們轉(zhuǎn)化的時(shí)候思維要縝密這就要求我們轉(zhuǎn)

26、化的時(shí)候思維要縝密. .42【補(bǔ)償訓(xùn)練】【補(bǔ)償訓(xùn)練】求一元二次方程求一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有一正根和有一正根和一負(fù)根的充要條件一負(fù)根的充要條件. .【解析】【解析】方法一方法一: :設(shè)方程兩根為設(shè)方程兩根為x x1 1,x,x2 2, ,則方程有一正根則方程有一正根和一負(fù)根的充要條件是和一負(fù)根的充要條件是x x1 1x x2 2= 0,= 0,即即ac0.ac0.ca43方法二方法二:(1):(1)先求必要條件先求必要條件: :因?yàn)榉匠桃驗(yàn)榉匠蘟xax2 2+bx+c=0+bx+c=0有一正根和一負(fù)根有一正根和一負(fù)根, ,設(shè)為設(shè)為x x1 1,x,x2 2, ,則