完整版相似位似專題講義

1、相似多邊形圖形的位似、一周知識概述1、相似多邊形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比.2、相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.性質(zhì)：相似多邊形的周長之比等于相似比；相似多邊形的面積之比等于相似比的平方.AB . =址例如：如圖所示，已知四邊形ABCDo四邊形A B C D，且.貝V: Z A=Z A, / B=Z B,/ C=Z C，/ D=Z D ;ABBC _ CDDA(3)四邊形ABCD勺周長：四邊形 A B C D的周長=k；S 四邊形ABCD : S四邊形A BJ C D = .3、位似圖形兩個相似多邊形，如果它們對

2、應(yīng)頂點所在的直線相交于一點，我們就把這樣的兩個圖形叫做位似圖形.位似圖形的兩個相關(guān)概念：(1)位似中心：每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過的那一點，叫做位似中心. 位似比：位似圖形是相似圖形，所以有相似比，這個相似比就是位似比.說明：位似圖形必須滿足的兩個條件:(1)兩個圖形是相似圖形;(2)兩個相似圖形每組對應(yīng)頂點所在的直線都經(jīng)過同一個點，對應(yīng)邊互相平行或重合.4、位似圖形的性質(zhì)位似圖形任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比.5、圖形的相似與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系:兩個圖形是相似圖形，但不一定是位似圖形;兩個圖形是位似圖形，它們一定是相似圖形.6、以原點為位似中心的位似變換的性質(zhì)在平面直角坐標(biāo)系

3、中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或k.若原圖形上的點的坐標(biāo)為x,y )像與原圖形的位似比為k，則像上的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(kx, ky)或(一kx, -ky )、典型例題講解解:土 2L蘭空由相似多邊形對應(yīng)邊成比例，得=二二二. x=3 , y=6, z=3.由于對應(yīng)角相等，二a =Z D=180 - / A=118卩=Z B =180 - Z C =64點評：應(yīng)用相似多邊形特征求邊和角時，關(guān)鍵是找對對應(yīng)邊和對應(yīng)角，從而列出等式，通過解方程求解 一般地，相等的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角；最大（?。┑倪吺菍?yīng)邊；最大（

4、?。┑慕鞘菍?yīng)角.a + h例2、如圖所示，在一塊長和寬分別為 a和b（a b）的長方形黑板的四周，鑲上寬度為x（x工-）的木條,得到一個新的長方形試判斷原來的長方形與新長方形是否相似.解:新長方形的長為a+2x，寬為b+2x.a-h + 2s ab + 2bx -ah - 2a 2(Z?-l _=l二=.b, x工 二 ,a 4- 2k 5 + 2lB 工 衛(wèi) .由、知，這兩個長方形對應(yīng)邊不成比例.這個新長方形與原長方形不相似.點評： 此題看對應(yīng)邊是否成比例，用了作差的方法若差等于零，則兩比值相等；若差不等于零，則 比值不相等 找對應(yīng)邊時，注意矩形的長寬都要檢查，不能只考慮一種情況.例3、某

5、出版社一位編輯在設(shè)計一本書的封面時，想把封面劃分為四個矩形，其中左上角矩形與右下角矩形相 似（如圖所示），以給人一種和諧的感覺，那么這樣的兩個矩形是怎樣設(shè)計出來的呢？分析：如圖所示，在封面矩形ABCD中，我們先作出一條橫向分割線 EF,此時要作出縱向分割線 GH使矩形AEPG與矩形PHCFf目似，關(guān)鍵要確定兩條分割線的交點 P.當(dāng)然，利用相似比-兮網(wǎng)可以算出或畫出EP來，但是在設(shè)計時，兩個相似矩形的大小會根據(jù)不同需要而改變，每次都計算顯然很麻煩，能不能找到更好的方法呢？如果能找到P點位置的規(guī)律就更好了現(xiàn)在假設(shè)兩個相似的矩形已經(jīng)作出來了，如圖所示，連接AP, PC,則曲 護(hù)F（對應(yīng)邊成比例），/

6、 AEP=/ CFP=90 （對應(yīng)角相等），于是 AEPA CFR則有/ APE* CPF這樣A, P, C三點共線，即P點必在對角線 AC上.目 H解：如圖所示，連接 AC,在AC上根據(jù)需要取一點 P,過P作EF/ BC, GH/ AB則矩形AEP&H矩形CFPH就是兩個相似的矩形.因為矩形的每一個內(nèi)角都是直角，又由AE/ FC, AG/ CH可得 AEPA CFP AGPA CHP弟3 AE _ EP _AP PG _ GA _ AP 肋 AE _ EP _ PG _ GAAE=90c所以矩形AEP矩形CFPH則于是 AEPA CFP這樣A, P, C三點共線，即P點必在對角線AC上.例4

7、、如圖所示，分別按下列要求作出四邊形ABCD以 O為位似中心的位似四邊形沿0A方向放大為原圖形的2倍; 沿A0方向放大原圖形的2 倍.分析:此題兩問都是將原圖形放大 2倍，也就是位似比為2 : 1,而 問是沿0A方向，即從0點向A點的方向 放大；而問是沿A0方向，即從A點向0點的方向放大.解：如圖（1）所示. 連接0A并延長0A到A,使A A =0A 連接0B并延長 0B到B,使 BB =0B 連接0C并延長0C到C ,使CC =0C 連接0D并延長 0D到D,使DD =0D 連接 A B, B C, C D , D A.則四邊形A B C D是四邊形 ABCD關(guān)于0點的位似圖形，且位似比為

8、2 ： 1.(1) (2)如圖(2)所示. 連接A0并延長A0到 A，使0 A =20A 連接 0B 0C 0D 并延長 BQ C0 D0到 B, C , D ,使 0B =20B 0C =20C 0D =20D 連接 A B, B C, C D , D A.則四邊形A B C D是四邊形 ABCD關(guān)于0點的位似圖形，且位似比為 2 ： 1.例5、將下圖中的 ABC乍下列變換，畫出相應(yīng)的圖形，指出三個頂點的坐標(biāo)所發(fā)生的變化.沿y軸負(fù)方向平移1個單位;(2) 關(guān)于x軸對稱; 以C點為位似中心，放大到 1.5倍.分析:作平移、對稱后的圖形與原圖全等，點的坐標(biāo)發(fā)生變化，可根據(jù)平移、對稱的特征，求出平移、對稱變換 后圖形的坐標(biāo).位似變換如果以原點為位似中心可按位似變換的點的坐標(biāo)求法求點的坐標(biāo).解：變換后的圖形如下圖所示.(1)將厶ABC沿 y軸負(fù)方向平移1個單位后得到 ABQ, A( 5, - 1), B(0,2) , C(0, 1).即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減小. 將厶 ABC關(guān)于 x 軸對稱后，得 AB2G, A( 5,0) , B2(0, 3) , G(0,0)即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)(3) 將厶ABC以C點為位似中心，放大到1.5倍得 ABG，顯然，A( 5X