(完整版)斯普林菲爾德分配學生答案.docx

1、1 概述研究的背景斯普林菲爾德（ Springfield）學校董事會打算在年底關閉它的一所中學（包括6,7,8 年級） ,并在下一年將這些年級的學生分配到另外三所中學去。學校為離校距離超過 1 英里的所有學生提供上下課的接送服務，因此，為了節(jié)省公交費用，學校將對學生進行分配。 從該城市的六個居住區(qū)到各所學校，每個學生的一年的公交費用如下表所示（表中還給出了下一年的其他一些基本數(shù)據(jù)）。其中， 0 表示不需要公交服務，而“”表示這種分配不可能。地區(qū)學生數(shù)量6 年級比例7 年級比例8 年級比例每學生的校車成本（美元）學校 1學校 2學校 3145032383030007002600372835400

2、500355030323860030020043502840322005005500393427040064503428385003000學校容量90011001000學校的董事會規(guī)定每個學校里，每一年級的學生人數(shù)必須在總人數(shù)的30 36之間，上表顯示了第二年每個地區(qū)學校的各年級的學生比例?？梢詣澇鰧W生上學的地區(qū)界限，以便于在多所學校之間分配學生。 但是，不管如何分配， 上表所要求的每所學校的各年級的比例必須得到滿足。假設學校雇用你作為管理科學的顧問，幫助學校決定如何在各所學校之間分配學生。2 模型的建立2.1基礎數(shù)據(jù)的建立目標函數(shù)系數(shù)的確定通過觀察分析，我們可以知道：目標函數(shù) =各個居住區(qū)分

3、配到某個學校的人數(shù) * 該居住區(qū)到這個學校的學生公交費用經(jīng)過調(diào)查分析， 總結出各個居住區(qū)到學校的公交花費， 我們統(tǒng)計了一個學生每年從家里到學校所要花費的公交費用， 為了更加清晰明了， 我們以表格的形式進行整理：第1頁 共12頁1.3.1各個居住區(qū)的學生到不同學校的每年公交的費用地區(qū)每位學生每年的公交成本學校 1學校 2學校 3130007002400500360030020042005005040065003000注：“”表示費用無窮大，不分配學生。 居住區(qū)學生總人數(shù)以及各個年級學生的數(shù)量根據(jù)學校的調(diào)查結果，發(fā)現(xiàn)一共有6 個居住區(qū)，每個居住區(qū)的學生數(shù)量、各個年級學生在這個居住區(qū)中所占的比例，都

4、進行了統(tǒng)計， 由于數(shù)字比較多， 為了更加清晰的表達出來， 我們進行了一系列的整理與分析，通過一定的計算， 因而得到如下表格1.3.2 A 各個居住區(qū)學生總數(shù)量與各個年級的學生比例地區(qū)學生數(shù)量6年級7年級8年級比例 %比例 %比例 %145032383026003728353550303238435028403255003934276450342838總計29001.3.2 b 各個年級學生的總體數(shù)量6年級7年級8年級每個年級學生數(shù)量地學生總計區(qū)數(shù)量比例 %比例 %比例 %6年8年7年級級級14503238301441711354502600372835222168210600355030323

5、8165176209550第2頁 共12頁43502840329814011235055003934271951701355006450342838153126171450總29009779519722900計各個學校的可容納量由于學校的規(guī)模不一樣， 可容納的學生數(shù)量也就不一樣，因此通過學校的研究，這些學校還可以容量的學生數(shù)量為，我們同樣通過表格來表示：1.3.3 各個學校的可容納量（人）學校1學校2學校3總計學生容納量900110010002900各個學校不同年級學生的可容納量由于校方規(guī)定，每個學校里，每一個年級的學生人數(shù)必須在總人數(shù)的30% 36%之間，則根據(jù)這個要求我們又得到每個年級最大

6、與最小接收量。經(jīng)過計算，我們同樣通過表格體現(xiàn)：1.3.4各個學校不同年級學生的可容納量學校 1學校 2學校 3學校容量90011001000各年級可最小最大最小最大最小最大容納量6年級2703243303963003607年級2703243303963003608年級270324330396300360總計171097299011889961080 學校可容納量的總數(shù)一定學?？扇菁{量的總數(shù)為30002.2變量的設定設各個居住區(qū)中各個年級分配到不同學校的數(shù)量分別是：第3頁 共12頁由于變量相對比較多， 寫起來比文字敘述過于復雜，我們就通過表格來表未清楚：各個居住區(qū)中不同年級的學生分配到各個學校的

7、人數(shù)變量學校 1(x1)學校 2(x2)學校 3(x3)居住6年級7年級8年級6年級7年級8年級6年級7年級8年級區(qū)1x11x12x13x111x112x113x121x122x123x131x132x1332x22x23x221x222x223x231x232x2333x31x32x33x311x312x313x321x322x323x331x332x3334x41x42x411x412x413x421x422x4235x51x53x511x512x513x531x532x5336x61x62x63x611x612x613x621x622x623x631x632x6332.3目標函數(shù)的建立根

8、據(jù)上述基礎數(shù)據(jù)可以得出如下目標函數(shù)Minf(x)=300x11+600x31+200x41+500x61+400x22+300x32+500x42+300x62+700x13+500x23+200x33+400x53目標函數(shù) =各個居住區(qū)分配到某個學校的人數(shù) * 該居住區(qū)到這個學校的學生公交費用要使總損益值最小， 只需要該目標函數(shù)取得極小值即可， 這與研究問題的目的是相一致的。限制條件案例中 a 題的約束條件 居住區(qū)的學生總數(shù)量的約束x11+x12+x13=450x22+x23=600x31+x32+x33=550x41+x42=350x51+x53=500第4頁 共12頁x61+x62+x6

9、3=450 各個學校可容納量的約束x11+x31+x41+x51+x61-x1=0x21+x22+x32+x42+x62-x2=0x13+x23+x33+x53+x63-x3=0各個學校中各個年級人數(shù)的約束x111+x121+x131=144x112+x122+x132=171x113+x123+x133=135x221+x231=222x222+x232=168x223+x233=210x311+x321+x331=165x312+x322+x332=176x313+x323+x333=209x411+x421=98x412+x422=140x413+x423=112x511+x531=19

10、5x512+x532=170x513+x533=135x611+x621+x631=153x612+x622+x623=126x613+x623+x633=171各個居住區(qū)總學生人數(shù)的限制x111+x112+x113-x11=0x311+x312+x313-x31=0x411+x412+x413-x41=0x511+x512+x513-x51=0x611+x612+x613-x61=0第5頁 共12頁x121+x122+x123-x21=0x221+x222+x223-x22=0x321+x322+x323-x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62

11、=0x131+x131+x133-x13=0x231+x232+x233-x23=0x331+x332+x333-x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62=0x131+x132+x133-x13=0x231+x232+x233-x23=0x331+x332+x333-x33=0x531+x532+x533-x53=0x631+x632+x633-x63=0居住區(qū)各個年級人數(shù)的約束x111+x311+x411+x511+x611-0.3x10x111+x311+x411+x511+x611-0.36x10x112+x312+x412+x512+x61

12、2-0.36x10x113+x313+x413+x513+x613-0.36x10x121+x221+x321+x421+x621-0.36x20x122+x222+x322+x422+x622-0.36x20x123+x223+x323+x423+x623-0.36x20x131+x231+x331+x531+x631-0.36x30x132+x232+x332+x532+x632-0.36x30x133+x233+x333+x533+x633-0.36x30案例中 c 題的約束條件同 a 題約束條件1-4，無條件5 約束，但增加約束條件6居住區(qū)學生分到同一學校的約束X(ijk ）這些所有的

13、變量均為整數(shù)3 模型的求解及解的分析3.1模型的求解對該線性規(guī)劃進行求解，結果如下所示a 為該問題建立線性規(guī)劃模型。第7頁 共12頁b 你給學校董事會的最終建議是什么？由以上的求解結果可知，當各個居住區(qū)的學生人數(shù)分配取得相對應的值時，即為最終成本達到426800 美元。第8頁 共12頁c 根據(jù)這一點調(diào)整你的建議，使同一個地區(qū)盡可能的分配在同一所學校里。（加人這一限制可能會使你不得不取消另外一些約束。）這樣做會增加多少公交成本？（在案例9.4 中將會對這一類的分析進一步探討。）最終成本是420000，成本較a 題減少 6800 元。d將問題 a 中的模型加人選項 l 重新考慮，并求解。將結果與 b 中的結果想比較，包括公交總成本的減少。第9頁 共12頁成本為 250400，較 a 題減少 176400.e 以選項2 代替選