第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

1、第一章函第一章函 數(shù)數(shù) 、 極極 限限 與與 連連 接接(一) 本 章 內(nèi) 容 小 結(jié)(二) 常見問題分類及解法(三) 思 考 題(四) 課 堂 練 習(xí)( (一一) )本章內(nèi)容小結(jié)本章內(nèi)容小結(jié)一、本章的主要內(nèi)容一、本章的主要內(nèi)容函數(shù)的定義；函數(shù)的幾種特性；復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)與初等函數(shù)的概念；數(shù)列與函數(shù)極限的定義；極限的運算法則；無窮小與無窮大的概念；兩個重要極限；無窮小的比較；函數(shù)在點與區(qū)間的連續(xù)性及間斷性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。二、幾個常用的基本極限limxxxc cc0()（1 ）= , ( 為常數(shù)）；lim0 xx= x（2） ；1lim0 x=x（3） ；1lim0（4）， ( 為正的

2、常數(shù)) ；x=xlimmm 1mnnxnmnan= mba xa xa=nmb xb xbnmaaabbbab00-01-101010100,當(dāng)+（5）0, 當(dāng)+, 當(dāng)(其中 、 、 、和 、 、 、 都是常數(shù)，且0,0)；sinlim1xx=x0（6） ；tanlim1xx=x0（7） ；1lim 1exx+=x（8） ；10lim 1ett+t=（9） ；lim0 ( | 1 )xxqq（1 0） .三、幾個充要條件00lim( )( )()xxxxxf xAf xAx0()當(dāng) 時（1 ） ； 00lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA000（2） ；lim

3、( )lim( )lim( )xxxf xAf xf xA（3） ；0000lim( )()lim( )lim( )()xxxxxxf xf xf xf xf x000（4） .表 1-10()lim( ) 無窮大xxxf x 0()1lim0( ) 無窮小xxxf x( )0f x 有倒數(shù)關(guān)系0( )0() 當(dāng) 時f xAaxxax 0()lim( )() 函數(shù)的極限常數(shù)xxxf xAlim( )xf xA0lim( )xxf xA000lim( )() 右連續(xù)xxf xf x000lim( )() 左連續(xù)xxf xf x00lim( )() 點連續(xù)xxf xf xlim( )xf xA0l

4、im( )xxf xA00lim( )() 點連續(xù)xxf xf xlim數(shù)列的極限 nnxAlim( )xf xAlim( )xf xA00lim( ) 右極限xxf xA00lim( ) 左極限xxf xA10lim(1)zzze1lim 1xxex1xz0sinlim1xxx續(xù)表六、本章關(guān)鍵詞六、本章關(guān)鍵詞函數(shù) 極限 連續(xù)00000lim0lim( )()( )()( )()lim( )( ) lim( )( )(1) 如果 或 (2) 如果 在 ， 內(nèi)每一點連續(xù)(3) 如果 在 ， 內(nèi)連續(xù)， 且 ，xxxxbxayf xf xyf xa byf xa bf xf bf xf b 0( )

5、( )()( )那么 在點 連續(xù)那么 在 ， 內(nèi)連續(xù)那么 在 ， 上連續(xù)yf xxyf xa byf xa b( (二二) ) 常見問題分類及解法常見問題分類及解法一、求函數(shù)的定義域一、求函數(shù)的定義域分式的分母不等于零；偶次方根式中，被開方式大于等于零；含有對數(shù)的式子，真數(shù)式大于零；反正弦、反余弦符號內(nèi)的式子絕對值小于等于1；分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集； 函數(shù)的定義域就是指使函數(shù)有意義的自變量 的取值范圍. 判斷函數(shù)有意義的方法有以下幾種：x例例1 1 求下列函數(shù)的定義域：21arccos(318)32yxxx(1) ；2ln(52)10710 xyxxx(2) .解解所求定義域應(yīng)

6、使函數(shù)式中各部分都有意義，即求解不等式組。(1)若使函數(shù)有意義，必須2123201719|318| 133xxxxxx或，解得，171933x故所求函數(shù)定義域為 ；(2)若使函數(shù)有意義，必須22520571002,510010 xxxxxxxx，解得，2102,5.5xxx故所求函數(shù)的定義域為且解解52.4故所求函數(shù)的定義域為 x二、判斷兩個函數(shù)是否相同二、判斷兩個函數(shù)是否相同 一個函數(shù)的確定取決于其定義域和對應(yīng)關(guān)系的確定，因此判斷兩個函數(shù)是否相同必須判斷其定義域是否相同，且要判斷函數(shù)表達式是否統(tǒng)一即可。例例3 3 判斷下列各對函數(shù)是否相同？21( )cos( )(1 cos )22xf xg

7、 xx(1) 與 ；|( )( )1xf xg xx(2) 與 .利用定義域和對應(yīng)法則來判斷。221( )cos( )(1 cos )22( )( )1( )cos(1 cos )( ),( )( )22( )( )xf xg xxf xg xxf xxg xf xg xf xg x(1)因為的定義域是一切實數(shù)，而的定義域也是一切實數(shù)，所以與具有相同的定義域；又因為即與具有相同的對應(yīng)法則，所以與是相同的函數(shù)；解解|( )0( )1( )( )xf xxg xxf xg x(2)因為定義域是的一切實數(shù)，而的定義域 是一切實數(shù)，所以與不是相同的函數(shù)。三、判斷函數(shù)奇偶性三、判斷函數(shù)奇偶性 判斷函數(shù)的

8、奇偶性，主要的方法就是利用定義，其次是利用奇偶的性質(zhì)，即奇(偶)函數(shù)之和仍是奇(偶)函數(shù)；兩個奇函數(shù)之積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)之積仍是偶函數(shù)；一奇一偶之積是奇函數(shù)。例例4 4 判斷下列函數(shù)的奇偶性：1( )(01)1xxaf xaaa(1) 且 ；322( )(2tan)f xxxx(2) 。解解 (1) 用定義判斷111()( )111xxxxxxaaafxf xaaa 因為 ，1( )1xxaf xa所以 是奇函數(shù)；(2) 用性質(zhì)判斷3222tanxxx因為 是奇函數(shù)， 是偶函數(shù)，322( )(2tan)f xxxx所以 是奇函數(shù)。四、數(shù)列極限的求法四、數(shù)列極限的求法利用數(shù)列極限的四則運算法

9、則、性質(zhì)以及已知極限求極限。1.nn 若數(shù)列通項的分子、分母都是關(guān)于 的多項式，則用分子 分母中 的最高次項的冪函數(shù)數(shù)同除分子分母，然后由四 則運算法則求極限。例例5 5 求下列數(shù)列極限：23225lim353nnnnnn(1) ；2221lim534nnnnn(2) ；21lim32nnnn(3) .解解2323125lim03531nnnnnnn(1) 原式 ；221122lim3455nnnnn(2) 原式 ；211lim1321nnnn(3) 原式 .2、若通項中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求 極限的方法。22lim(1) 求 。nnnn例例6 6對通項式有理化得22222

10、2(1)(1)lim1nnnnnnnnnn原式2221111limlim211111nnnnnnnnn 。解解3、若所求極限是無窮項之和，通常先利用等差或等比數(shù)列的 前n項和公式求和，再求極限。231111lim 1( 1)2222 求 nnn 例例7 7解解11112aqn 先求由，所構(gòu)成的等比數(shù)列的前項和，再求極限，112lim112原式nn 212lim1 ( 1)332nnn 4、利用兩邊夾逼定理求數(shù)列極限，方法是將極限式中的每一項 放大或縮小，并使放大、縮小后的數(shù)列具有相同的極限。222lim2 求 nnnnnnnn例例8 8解解2222(1,2, ),(1,2, )nnnninin

11、ninnnin因為222222nnnnnnnnnnnnnn所以 2222211limlim1limlim111nnnnnnnnnnn而 ， 222lim1.2nnnnnnnn故 5.11lim 1e 若通項式為形如形式的不定式，一般采用重要極限 求極限。nnn例例9 9 求下列極限：31lim 11nnn(1) ；3lim.1nnnn(2) 解解1lim 1e.nnn用重要極限求極限1 21lim 11(1) 原式nnn 1211lim 1lim 1e11 ；nnnnn21 1222lim 1lim111nnnnnn (2) 原式21122222lim11e .11nnnn 五、函數(shù)極限的求法

12、五、函數(shù)極限的求法 函數(shù)的極限比數(shù)列的極限復(fù)雜，原因有兩個，一是自變量的變化過程多；二是函數(shù)式復(fù)雜；因此，求函數(shù)的極限首先要觀察自變量的變化和函數(shù)表達式，然后選擇適當(dāng)方法.一般地，函數(shù)極限有以下幾種求法： 數(shù)列極限的求法也適合求函數(shù)的極限. 000lim. 利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限，即若 在 處連續(xù)，則有 xxf xxxf xf x241lim.54 求 xxxx例例1 10 0解解21454xxxx因為函數(shù)在處連續(xù)， 2411lim4.854xxfxx所以 若求分段函數(shù)在分界點處的極限，則利用極限存在的充 要條件求極限。即函數(shù)在某一點極限存在的充要條件是 函數(shù)在該點的左右極限存在且相等。

13、例例1111 已知 213231113limlim.sin13xxxxxf xxxf xf xxx，求，解解 1xf x在處，求的左右極限 211limlim230 xxf xxx ， 11limlim10 xxf xx ， 1lim0 xf x所以 ； 3xf x在處，求的左右極限 33limlim12xxf xx ， 33limlim sin1sin3 1xxf xx ， 3limxf x所以 不存在. 33limlimxxf xf x因為 ，0100sinlim111111lim 1e 利用兩個重要極限求函數(shù)的極限。即若所求極限為形如 形式的不定式，并且極限式中含有三角函數(shù)，一般通 過三

14、角函數(shù)的恒等變換再利用重要極限 求 極限；若所求極限為形如 形式的不定式，并且所求函 數(shù)易轉(zhuǎn)化為 或 的形式，通常采用 求極限。xuuxxxxuux0sin7lim.arcsin5 求 xxx例例1 12 2解解00因為已知極限為形式不定式，且含有三角函數(shù)，則有0sin757lim7arcsin55xxxxxxx原式00sin arctan5sin777limlim.7arcsin555xxxxxx1cos10lim cos. 求 xxx例例1313解解101lim 1exxx因為所求極限為形式不定式，由得1cos10lim 1cos1e.xxx原式 利用無窮小量的特性以及無窮小量與無窮大量的

15、關(guān)系求極 限。即無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量；有限個無 窮小量之積仍是無窮小量；有限個無窮小量之代數(shù)和仍為 無窮小量等。無窮小量與無窮大量的關(guān)系是互為倒數(shù)。例例1414 求下列函數(shù)的極限：201limsincos(1) ；xxxx22223lim4(2) .xxxx解解(1) 利用無窮小量的性質(zhì)求該極限，201limsincos0所以 ；xxxx210sincos因為當(dāng)時， ，均是無窮小量，而為有界變量，xxxx(2) 利用無窮大量與無窮小量的關(guān)系求該極限。22223540因為當(dāng)時，xxxx2224lim023所以 ， xxxx六、判斷函數(shù)連續(xù)性六、判斷函數(shù)連續(xù)性 利用函數(shù)連續(xù)性的等價定

16、義，對于分段函數(shù)在分界點的連續(xù)性，可用函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件以及初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)的結(jié)論等來討論函數(shù)的連續(xù)性。22223lim4所以 ，極限不存在。xxxx 220210202352 討論 在，處的連 續(xù)性.xexf xxxxxxxx 例例1 15 5解解02由已知，均是分界點.xx 00000limlim 21 limlim 21101在處，而，xxxxxxf xef xxf 0所以在處連續(xù)；f xx 222222limlim 215limlim353在處， ，xxxxxf xxf xxx 2lim2.所以極限不存在，故在處不連續(xù)xf xf xx 1sin000.1sin0 討

17、論當(dāng) ， 為何值時，函數(shù) ，在處連續(xù)abxxxf xaxxxbxx例例1616解解0在分界點處x 000011limlimsin1limlimsin0.， ，xxxxf xxf xxbbxxfa 000limlim0 若使在處連續(xù)，必須使 成立，xxf xxf xf xf110.即，所以當(dāng)時，函數(shù)在處連續(xù)baabx (三) 思考題思考題1、討論分段函數(shù)連續(xù)性的關(guān)鍵是什么？2、奇、偶函數(shù)有何性質(zhì)？3、函數(shù)的極限比數(shù)列的極限復(fù)雜，為什么？4、無窮小與無窮大是什么關(guān)系？答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案(四) 課堂練習(xí)題課堂練習(xí)題22211 lim.321、求nnnn112 lim 1.、求nnn013 lim.2sin、求xxex224 .1、求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間yx答答 案案答答 案案答答