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1、4.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用43.1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性一、基礎(chǔ)達標1命題甲:對任意x (a,b),有 f (x)0;命題乙: f(x)在(a, b)內(nèi)是單調(diào)遞增的,則甲是乙的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析f(x)x3 在( 1,1)內(nèi)是單調(diào)遞增的,但f (x) 3x20(1x1),故甲是乙的充分不必要條件,選A.1 22函數(shù) y2x ln x 的單調(diào)減區(qū)間是A(0,1)B(0,1) (, 1)C(, 1)D(, )答案A解析y12ln x的定義域為(0, , 1,令 ,2x) yxxy 01即 xx0,解得: 0x1 或 x0,0x1,故選 A
2、.3函數(shù) f(x)x3 ax2 bxc,其中 a,b,c 為實數(shù),當 a23b0 時, f(x)是A增函數(shù)B減函數(shù)C常函數(shù)D既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)答案A解析求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f(x)3x22axb,導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程f(x)0 的第 1頁4(a23b) ,所以f(x)0恒成立,故f(x)是增函數(shù)04下列函數(shù)中,在 (0, )內(nèi)為增函數(shù)的是Aysin xByxe2Cyx3 xDyln xx答案 B解析顯然 ysin x 在(0, )上既有增又有減,故排除 A ;對于函數(shù) yxe2,因 e2 為大于零的常數(shù),不用求導(dǎo)就知y xe2 在 (0, )內(nèi)為增函數(shù);對于 C,y 3x2 1 3 3x 3,x33
3、33故函數(shù)在 , 3 ,3, 上為增函數(shù),331在 3, 3 上為減函數(shù);對于D,y x 1 (x0)故函數(shù)在 (1, )上為減函數(shù),在 (0,1)上為增函數(shù)故選 B.函數(shù)yf(x)在其定義域3,3 內(nèi)可導(dǎo),其圖象如圖所示,記yf(x)的導(dǎo)函52數(shù)為 yf (x),則不等式 f(x) 0 的解集為 _答案1,12,3)3函數(shù)2x 2)的遞減區(qū)間為 _6yln(x答案(, 1)2x1,令 f(x) 0 得 x 11解析f(x) 2x2或2 x 2,注意到函數(shù)定義x域為 ( , 1)(2, ),故遞減區(qū)間為 ( , 1)已知函數(shù)f(x)x3ax8 的單調(diào)遞減區(qū)間為 (5,5),求函數(shù) y f(x)
4、的遞增區(qū)7間解 f (x)3x2a.第 2頁( 5,5)是函數(shù) yf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,則 5,5 是方程 3x2a0 的根,a 75.此時 f (x) 3x275,令 f (x)0,則 3x2 750,解得 x5 或 x 5,函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (, 5)和(5, )二、能力提升8如果函數(shù) f(x)的圖象如圖,那么導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能是答案A解析由 f(x)與 f(x)關(guān)系可選 A.9設(shè) f(x),g(x)在a,b上可導(dǎo),且 f (x)g(x),則當 ax b 時,有Af(x) g(x)Bf(x) g(x)Cf(x) g(a)g(x)f(a)Df(x) g(b)g(x)
5、f(b)答案C解析f (x)g(x)0,(f(x) g(x) 0,f(x)g(x)在 a,b上是增函數(shù),當a xb 時 f(x)g(x) f(a)g(a),f(x)g(a) g(x)f(a)大綱版若函數(shù)211,是增函數(shù),則 a 的取值范f(x)x ax 在10 (2019)x2圍是 _答案3, )211解析因為 f(x)x axx在 2, 上是增函數(shù),11故 f (x)2xax20在 2, 上恒成立,第 3頁11即 ax22x 在 2, 上恒成立12令 h(x)x2 2x,則 h(x) x32,1當 x2, 時, h(x)0,則 h(x)為減函數(shù),1所以 h(x) h 2 3,所以 a3.11
6、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)y x ln x;(2)y ln(2x 3)x2.1解(1)函數(shù)的定義域為 (0, ),y 1 x,由 y 0,得 x 1;由 y0,得 0x1.函數(shù)yx ln x 的單調(diào)增區(qū)間為 (1, ),單調(diào)減區(qū)間為 (0,1)23(2)函數(shù) y ln(2x 3)x 的定義域為 2, .yln(2x3) x2,24x26x22 2x1x 1y 2x.2x 32x32x 331當 y 0,即 2 x 1 或 x 2時,函數(shù) yln(2x3) x2 單調(diào)遞增;當 y 0,即 1 x12時,函數(shù) yln(2x3) x2 單調(diào)遞減故函數(shù) yln(2x3)x2 的單調(diào)遞增區(qū)間為3, 1
7、,1, ,單調(diào)遞221減區(qū)間為 1, 2 .12已知函數(shù) f(x) x3bx2cxd 的圖象經(jīng)過點P(0,2),且在點 M(1,f(1)第 4頁處的切線方程為6xy70.(1)求函數(shù) yf(x)的解析式;(2)求函數(shù) yf(x)的單調(diào)區(qū)間解 (1)由 yf(x)的圖象經(jīng)過點 P(0,2),知 d2,f(x)x3bx2cx2,f (x)3x22bxc.由在點 M(1,f(1)處的切線方程為 6xy70,知 6f(1)70,即 f(1)1,f(1)6.3 2bc6,2b c 3,即1bc2 1,bc 0,解得 bc 3.故所求的解析式是f(x)x3 3x2 3x2.(2)f(x)3x2 6x 3.
8、令 f(x) 0,得 x 1 2或 x1 2;令 f (x)0,得 1 2x 1 2.故 f(x)x33x23x2 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (, 12)和(12, ),單調(diào)遞減區(qū)間為 (12, 12)三、探究與創(chuàng)新13已知函數(shù) f(x) mx3nx2(m、nR,m0) ,函數(shù) y f(x)的圖象在點 (2,f(2)處的切線與 x 軸平行(1)用關(guān)于 m 的代數(shù)式表示n;(2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間解 (1)由已知條件得 f(x)3mx22nx,又 f (2)0,3mn0,故 n 3m.(2)n 3m,f(x) mx33mx2,第 5頁f (x)3mx26mx.令 f (x)0,即 3mx2 6mx0,當 m0 時,解得 x 0 或 x2,則函數(shù) f(
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