彈性力學及有限單元法_邵國建_用有限元法解問題

1、第六章 用有限單元法解平面問題第五節(jié)第五節(jié) 單元的結點力列陣與勁度矩陣單元的結點力列陣與勁度矩陣第四節(jié)第四節(jié) 單元的應變列陣和應力列陣單元的應變列陣和應力列陣 第三節(jié)第三節(jié) 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性第二節(jié)第二節(jié) 有限單元法的概念有限單元法的概念第一節(jié)第一節(jié) 基本量及基本方程的矩陣表示基本量及基本方程的矩陣表示概述概述第六節(jié)第六節(jié) 荷載向結點移置荷載向結點移置 單元的結點荷載列陣單元的結點荷載列陣第六章 用有限單元法解平面問題例題例題第十一節(jié)第十一節(jié) 應用變分原理導出有限單元法的基本方程應用變分原理導出有限單元法的基本方程第十節(jié)第十節(jié) 計算實例計算實例第九節(jié)第九節(jié)

2、 計算成果的整理計算成果的整理第八節(jié)第八節(jié) 解題的具體步驟解題的具體步驟 單元的劃分單元的劃分第七節(jié)第七節(jié) 結構的整體分析結點平衡方程組結構的整體分析結點平衡方程組習題的提示與答案習題的提示與答案教學參考資料教學參考資料第六章 用有限單元法解平面問題第六章第六章 用有限單元法解平面問題用有限單元法解平面問題1.有限元法有限元法（Finite Element Method） FEM2. FEM的特點的特點 概述概述（1 1）具有）具有通用性和靈活性通用性和靈活性。 首先將連續(xù)體變換為離散化結構，然后再利用首先將連續(xù)體變換為離散化結構，然后再利用分片插值技術與虛功原理或變分方法進行求解。分片插值技

3、術與虛功原理或變分方法進行求解。簡稱簡稱FEM，是彈性力學的一種是彈性力學的一種近似解法。近似解法。第六章 用有限單元法解平面問題簡史3. FEM簡史簡史 （2 2）對同一類問題，可以編制出）對同一類問題，可以編制出通用程序通用程序，應用計算機進行計算。應用計算機進行計算。 （3 3）只要適當加密網格，就可以達到工程）只要適當加密網格，就可以達到工程要求的精度。要求的精度。 19431943年柯朗第一次提出了年柯朗第一次提出了FEMFEM的概念。的概念。 FEMFEM是上世紀中期才出現，并得到迅速發(fā)展是上世紀中期才出現，并得到迅速發(fā)展和廣泛應用的一種數值解法。和廣泛應用的一種數值解法。 第六章

4、 用有限單元法解平面問題 19701970年后，年后，FEMFEM被引入我國，并很快地得到應用被引入我國，并很快地得到應用和發(fā)展。和發(fā)展。簡史 19561956年，特納等人提出了年，特納等人提出了FEMFEM。 2020世紀世紀5050年代，平面問題的年代，平面問題的FEMFEM建立，并應用建立，并應用于工程問題。于工程問題。 19601960年提出了年提出了FEMFEM的名稱。的名稱。 2020世紀世紀6060年代后，年代后，FEMFEM應用于各種力學問題和應用于各種力學問題和非線性問題，并得到迅速發(fā)展。非線性問題，并得到迅速發(fā)展。第六章 用有限單元法解平面問題導出方法5.5.本章介紹平面問

5、題的本章介紹平面問題的FEMFEM4. FEMFEM的主要導出方法的主要導出方法 應用靜力方法或變分方法導出。應用靜力方法或變分方法導出。僅敘述按位移求解的方法。僅敘述按位移求解的方法。且一般都以平面應力問題來表示。且一般都以平面應力問題來表示。第六章 用有限單元法解平面問題6-1 基本量和基本方程的基本量和基本方程的 矩陣表示矩陣表示 本章無特別指明，均表示為本章無特別指明，均表示為平面應力平面應力問題問題的公式。的公式。 采用采用矩陣表示矩陣表示, ,可使公式統(tǒng)一、簡潔，可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序。且便于編制程序。第六章 用有限單元法解平面問題。Tyxff)(f。Tyxvyxu),

6、(, ),(d。Txyyx)(。Txyyx)(。Tjjiivuvu)(。TjyjxiyixFFFF)(F基本物理量基本物理量：。Tyxff)(f體力體力: :基本物理量位移函數位移函數:應變應變:應力應力:結點位移列陣結點位移列陣:結點力列陣結點力列陣: :面力面力: :第六章 用有限單元法解平面問題 物理方程物理方程:)(bD)(2100010112cED FEM中應用的方程：中應用的方程：)()(ayvxuyvxuT幾何方程幾何方程:應用的方程其中其中D D為彈性矩陣，對于平面應力問題是為彈性矩陣，對于平面應力問題是: :第六章 用有限單元法解平面問題 -結點虛位移結點虛位移; ; - -

7、對應的虛應變。對應的虛應變。ATTdxdytF*)( )(*應用的方程圖6-1yxoij*,iiyvF*,iixuF*,jjyvF*,jjxuF虛功方程虛功方程:其中其中: : 在在FEMFEM中，用結點的平衡方程代替平衡中，用結點的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。微分方程，后者不再列出。第六章 用有限單元法解平面問題 3.3.整體分析。整體分析。 6-2 6-2 有限單元法的概念有限單元法的概念 FEMFEM的概念，可以簡述為：的概念，可以簡述為：采用有限自由度采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實際具有無限自由的離散單元組合體模型去描述實際具有無限自由度的考察體，是一種在力學模

8、型上進行近似的數度的考察體，是一種在力學模型上進行近似的數值計算方法。值計算方法。 其理論基礎是分片插值技術與變分原理。其理論基礎是分片插值技術與變分原理。 FEM的概念1.1.將連續(xù)體變換為離散化結構；將連續(xù)體變換為離散化結構； 2.2.單元分析；單元分析；FEMFEM的分析過程：的分析過程：第六章 用有限單元法解平面問題(a) 桁架(b) 深梁（連續(xù)體） 結構力學研究的對象結構力學研究的對象是是離散化結構離散化結構。如桁架，。如桁架，各單元（桿件）之間除結點鉸結外，沒有其他聯各單元（桿件）之間除結點鉸結外，沒有其他聯系（圖（系（圖（a a）。）。彈力研究的對象彈力研究的對象，是，是連續(xù)體連

9、續(xù)體（圖（圖（b b）) )。結構離散化1. 結構離散化結構離散化將連續(xù)體變換為離散化結構將連續(xù)體變換為離散化結構第六章 用有限單元法解平面問題 將連續(xù)體變換為離散化結構將連續(xù)體變換為離散化結構（圖（圖（c c）：）：即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結點處用絞連結起來，構并使這些單元僅在一些結點處用絞連結起來，構成所謂成所謂離散化結構離散化結構。結構離散化(c) 深梁（離散化結構）第六章 用有限單元法解平面問題 圖（圖（c c）與圖）與圖( ( a a）相比，兩者都是離散）相比，兩者都是離散化結構；區(qū)別是，桁架的單元是桿件

10、，而化結構；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖（圖（c c）的單元是三角形塊體（注意：三角）的單元是三角形塊體（注意：三角形單元內部仍是連續(xù)體）。形單元內部仍是連續(xù)體）。結構離散化例如例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點用些單元僅在角點用鉸鉸連接起來。連接起來。第六章 用有限單元法解平面問題2.2.單元分析單元分析 求解方法 每個三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、每個三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體。因單元內各向同性的完全彈性體。因單元內部仍是連續(xù)體，部仍是連續(xù)體，應按彈性力學方法進行分析。應按彈性力學方法進行分析。 取各結點位

11、移取各結點位移 為基本未為基本未知量知量。然后對每個單元。然后對每個單元, ,分別求出各物理量分別求出各物理量, ,并均并均用用 來表示。來表示。), 2 , 1()(ivuTiii), 2 , 1(ii第六章 用有限單元法解平面問題（1）應用插值公式應用插值公式, 由單元結點位移由單元結點位移 ，求單元的位移函數，求單元的位移函數Tmjie)(。Tyxvyxu),(),(d求解方法這個插值公式稱為單元的這個插值公式稱為單元的位移模式位移模式，為：，為：。ed 單元分析的主要內容：單元分析的主要內容：第六章 用有限單元法解平面問題（4 4）應用虛功方程，由單元的應力）應用虛功方程，由單元的應力

12、 ， 求出求出單元的結點力單元的結點力，表示為，表示為（3 3）應用物理方程，由單元的應變）應用物理方程，由單元的應變 ， 求出求出單元的應力單元的應力，表示為，表示為（2 2）應用幾何方程，由單元的位移函數）應用幾何方程，由單元的位移函數d d， 求出求出單元的應變單元的應變，表示為，表示為。eS。eB求解方法。emjiekFFFF(第六章 用有限單元法解平面問題單元對結點的單元對結點的作用力，與作用力，與 數數值相同值相同, ,方向相反，方向相反，作用于結點。作用于結點。 -結點對單元的作用力，作用結點對單元的作用力，作用 于單元，稱為結點力，以正標向為正。于單元，稱為結點力，以正標向為正

13、。TiyixFF(iFTiyixFF(iF求解方法iFimjxyoiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixFivmvjviumuju第六章 用有限單元法解平面問題（5 5）將每一單元中的各種外荷載，按虛功）將每一單元中的各種外荷載，按虛功 等效原則移置到結點上，化為等效原則移置到結點上，化為結點荷結點荷 載載，表示為，表示為 .(eLmLjLieLFFFF求解方法第六章 用有限單元法解平面問題 為已知值為已知值, , 是用結點位移表示的值。是用結點位移表示的值。通過求解聯立方程，得出各結點位移值，從而求通過求解聯立方程，得出各結點位移值，從而求出各單元的應變和應力。出各單元的應變和應力

14、。 各單位移置到各單位移置到i i 結點上的結點荷載結點上的結點荷載 其中其中 表示對圍繞表示對圍繞i i 結點的單元求和；結點的單元求和；iF求解方法LiF3.3.整體分析整體分析,iF,FLi),2, 1(,ieLieiFFe各單元對各單元對i i 結點的結點力結點的結點力作用于結點作用于結點i i上的力有：上的力有：第六章 用有限單元法解平面問題求解方法 3.3.整體分析整體分析 2.2.對單元進行分析對單元進行分析 1.1.將連續(xù)體變換為離散化結構將連續(xù)體變換為離散化結構歸納起來，歸納起來，FEMFEM分析的主要步驟分析的主要步驟：（1 1）單元的位移模式）單元的位移模式（2 2）單元

15、的應變列陣）單元的應變列陣（4 4）單元的結點力列陣）單元的結點力列陣（5 5）單元的等效結點荷載列陣）單元的等效結點荷載列陣建立結點平衡方程組，求解各結點的位移。建立結點平衡方程組，求解各結點的位移。（3 3）單元的應力列陣）單元的應力列陣第六章 用有限單元法解平面問題思考題 1.1.桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形塊體，在三角形內仍是作為連續(xù)體來分析的。塊體，在三角形內仍是作為連續(xù)體來分析的。前者可用結構力學方法求解，后者只能用彈性前者可用結構力學方法求解，后者只能用彈性力學方法求解，為什么？力學方法求解，為什么？2. 2. 在平面問題中，是

16、否也可以考慮其它的單在平面問題中，是否也可以考慮其它的單 元形狀，如四邊形單元？元形狀，如四邊形單元？第六章 用有限單元法解平面問題應用插值公式，可由應用插值公式，可由 求出位移求出位移 。 首先必須解決：首先必須解決：由由單元的結點位移單元的結點位移來求出單元的位移函數來求出單元的位移函數 FEMFEM是取結點位移是取結點位移 為基本未知數的。問為基本未知數的。問題是如何求應變、應力。題是如何求應變、應力。 這個插值公式表示了單元中位移的分布形式，這個插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱為因此稱為位移模式位移模式。Tmjie (i。Tyxvyxu),(),(de6-3 單元的位移模式與

17、單元的位移模式與 解答的收斂性解答的收斂性 位移模式d第六章 用有限單元法解平面問題 插值公式（插值公式（a a）在結點）在結點 應等于結應等于結點位移值點位移值 。由此可求出。由此可求出 泰勒級數展開式中，低次冪項是最重要的。所泰勒級數展開式中，低次冪項是最重要的。所以以三角形單元的位移模式三角形單元的位移模式，可取為：，可取為：。yxvyxu654321,),(,mjiyxii),(,mjivuii。61三角形單元（a a）第六章 用有限單元法解平面問題將式（將式（a a）按未知數）按未知數 歸納為歸納為: : 其中其中 包含包含 。及,iiiivuyx,iivu。mmjjiimmjjii

18、vNvNvNvuNuNuNu,三角形單元61或用矩陣表示為或用矩陣表示為: :（b b）第六章 用有限單元法解平面問題N 稱為形（態(tài)）函數矩陣。稱為形（態(tài)）函數矩陣。eNdmmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000三角形單元（c c）第六章 用有限單元法解平面問題 A A為三角形為三角形 的面積（圖示坐標系中，的面積（圖示坐標系中， 按逆時針編號），有：按逆時針編號），有：其中其中: :),(,2)(mjiAycxbaNiiii),(11,11,mjixxcyybyxyxamiimiimmjjiijmmji,。mmjjiiyxyxyxA1112三角形單元第六章 用有限單元

19、法解平面問題 三結點三角形單元的位移模式，略去了三結點三角形單元的位移模式，略去了2 2次以次以上的項，因而其上的項，因而其誤差量級是誤差量級是 且其中只包含且其中只包含了了 的的1 1次項，所以在單元中次項，所以在單元中 的分布如圖的分布如圖（a a）所示，）所示， 的分布如圖（的分布如圖（b b）、（）、（c c）所示。）所示。 jimjjmmii);(2xo yx,iNvu和三角形單元(a)(b)(c)ivmvjviumuju1第六章 用有限單元法解平面問題 所以當單元趨于很小時，即所以當單元趨于很小時，即 時，為了使時，為了使FEMFEM之解逼近于真解。則為了之解逼近于真解。則為了保保

20、證證FEMFEM收斂性收斂性, ,位移模式應滿足下列條件：位移模式應滿足下列條件： FEMFEM中以后的一系列工作，都是以位移中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎的。模式為基礎的。 0,yx收斂性條件第六章 用有限單元法解平面問題 因為當單元因為當單元 時，單元中的位移和時，單元中的位移和應變都趨近于基本量應變都趨近于基本量剛體位移和常量剛體位移和常量位移。位移。（1 1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。）位移模式必須能反映單元的剛體位移。 0收斂性條件（2 2）位移模式必須能反映單元的常量應變。）位移模式必須能反映單元的常量應變。第六章 用有限單元法解平面問題。xxyvyyxu22,2

21、2353564353521,00 xvvyuu收斂性條件可見剛體位移項在式（可見剛體位移項在式（a a）中均已反映。）中均已反映。與剛體位移相比，與剛體位移相比，將式（將式（a a）寫成）寫成第六章 用有限單元法解平面問題（3 3）位移模式應盡可能反映位移的連續(xù)性。位移模式應盡可能反映位移的連續(xù)性。 即應盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù)即應盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù)性。在三角形單元內部，位移為連續(xù)；在兩性。在三角形單元內部，位移為連續(xù)；在兩單元邊界單元邊界ijij 上，上， 之間均為線性變化，之間均為線性變化，也為連續(xù)。也為連續(xù)。對式（對式（a a）求應變，得：）求應變，得：,5362xyyxj

22、i 和收斂性條件可見常量應變也已反映?？梢姵Ａ繎円惨逊从?。第六章 用有限單元法解平面問題 （1）和（）和（2）是必要條件，而）是必要條件，而加上（加上（3）就為充分條件。）就為充分條件。收斂性條件 為了保證為了保證FEM的收斂性：的收斂性：第六章 用有限單元法解平面問題思考題1.1.應用泰勒級數公式來選取位移模式，為什么必應用泰勒級數公式來選取位移模式，為什么必須從低次項開始選取？須從低次項開始選取？2.2.試考慮：將結構力學解法引入到求解連續(xù)體的試考慮：將結構力學解法引入到求解連續(xù)體的問題時，位移模式的建立是一個關鍵性工作，問題時，位移模式的建立是一個關鍵性工作，它使得單元它使得單元( (

23、連續(xù)體連續(xù)體) )內部的分析工作都有可能內部的分析工作都有可能進行了。進行了。 第六章 用有限單元法解平面問題6-4 6-4 單元的應變列陣和應力列陣單元的應變列陣和應力列陣 。mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu,),(2/ )(mjiAycxbaNiiii。位移函數其中， 單元中的位移函數單元中的位移函數用位移模式表示為第六章 用有限單元法解平面問題應用應用幾何方程幾何方程，求出，求出單元的應變列陣：單元的應變列陣：()00010002TiiijmjijmjiijjmmmmuvvuxyxyuvbbbucccvAcbcbcbuveB 。）（a應變第六章 用有限單元法解平面問題

24、)(),(bmjiBBBB )(),(0021cmjibccbAiiii。iB)(,deeSDB D應變S稱為應力轉換矩陣應力轉換矩陣，寫成分塊形式為再應用物理方程，求出單元的應力列陣：B 稱為應變矩陣應變矩陣，用分塊矩陣表示，第六章 用有限單元法解平面問題 對于線性位移模式，求導后得到的應變和應對于線性位移模式，求導后得到的應變和應力，均成為常量，因此，稱為力，均成為常量，因此，稱為常應變（應力）單常應變（應力）單元元。應變和應力的誤差量級是。應變和應力的誤差量級是 其精度比位其精度比位移低一階，且相鄰單元的應力是跳躍式的。移低一階，且相鄰單元的應力是跳躍式的。)(),(emjiSSSS )

25、(),(2121)1 (22fmjibccbcbAEiiiiii。iiDBS),( xo 應力第六章 用有限單元法解平面問題思考題1.1.如果在位移模式中取到泰勒級數中的二如果在位移模式中取到泰勒級數中的二次冪項，略去次冪項，略去 高階小量，試考慮位移、高階小量，試考慮位移、應變和應力的誤差量級。應變和應力的誤差量級。3x第六章 用有限單元法解平面問題6-5 6-5 單元的結點力列陣與勁度矩陣單元的結點力列陣與勁度矩陣 現在來考現在來考慮其中一個單慮其中一個單元：元：模型oyxjmiiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixF)( 在在FEMFEM中，首先將中，首先將連續(xù)體變換為離散化連

26、續(xù)體變換為離散化結構的模型。結構的模型。第六章 用有限單元法解平面問題（2 2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯 系，只在結點系，只在結點 互相聯系。互相聯系。mji,（1 1）將作用于）將作用于單元上的各種外荷載單元上的各種外荷載，按靜，按靜 力等效原則移置到結點上去，力等效原則移置到結點上去，化為等化為等 效結點荷載。效結點荷載。故單元內已沒有外荷載。故單元內已沒有外荷載。第六章 用有限單元法解平面問題假想將單元與結點假想將單元與結點i i 切開，則：切開，則： ),(,)(mjiFFTiyixiF),(,)(mjiFFTiyixiF其數值與其數值與 相同

27、，而方向相反。相同，而方向相反。iF結點力以沿正坐標向為正。以沿正坐標向為正。對單元而言，這是作對單元而言，這是作 用于單元上的用于單元上的“外力外力”。 結點作用于單元上的力結點作用于單元上的力，稱為結點力結點力，單元作用于結點的力，單元作用于結點的力，為：為：第六章 用有限單元法解平面問題;)(TmjieFFFF ijm。Txyyx)( 按虛功方程，在虛位移上，外力的虛外力的虛功等于應力的虛功功等于應力的虛功。結點力而其內部有應力作用， 考察已與結點切開后的單元 ，則此單元上作用有外力結點力 ，應用虛功方程，求單元的結點力：第六章 用有限單元法解平面問題 假設發(fā)生一組假設發(fā)生一組結點虛位移

28、結點虛位移 則單元內則單元內任一點（任一點（x x, ,y y）的虛位移為）的虛位移為 單元單元內內任一點（任一點（x x, ,y y）的虛應變?yōu)椋┑奶搼優(yōu)?代入代入虛虛功方程：在單元中，功方程：在單元中，外力（結點力外力（結點力 ）在虛）在虛位移（結點虛位移位移（結點虛位移 ）上的虛功，等于應）上的虛功，等于應力力 在虛應變在虛應變 上的虛功，上的虛功，即：即： ,)(e*,)(e*Nd ,)(e*B eF)()(*e)(*虛功方程。ATTedxdytF*e*)()(）（a第六章 用有限單元法解平面問題其中其中 與與 無關，故式無關，故式(a) (a) 成為成為式式( (b b) )是是由

29、應力求結點力的一般公式由應力求結點力的一般公式。 因為因為 是獨立的任意的虛位移，虛是獨立的任意的虛位移，虛功方程對任意的功方程對任意的 均應滿足，可得出均應滿足，可得出,)()()(TTeTeTBB*e)(*yx, )()(。ATeTedxdytBFT*e*TAdxdyteFB .e)(*e)(*代入代入 (b)第六章 用有限單元法解平面問題式（式（c c）是）是由結點位移求結點力的一般公式，由結點位移求結點力的一般公式， 稱為單元的勁度矩陣稱為單元的勁度矩陣K。元素)66( 其中：其中：再將應力公式代入上式，得再將應力公式代入上式，得單元勁度矩陣（c）eeATetdxdykDBBFtdxd

30、yATDBBk（d）第六章 用有限單元法解平面問題對于三角形單元，對于三角形單元，B B 矩陣內均為常數，矩陣內均為常數， 有有,tADBBkT）（e 代入代入 B B，D D，得出，得出 k k 如書中（如書中（6-376-37）及）及（6-386-38）所示。）所示。第六章 用有限單元法解平面問題（1 1） 是是6 66 6的方陣，的方陣， 中每一個元素都表示中每一個元素都表示 單元各結點沿坐標方向發(fā)生單位位移時所單元各結點沿坐標方向發(fā)生單位位移時所 引起的結點力。引起的結點力。（2 2）由反力互等定理，）由反力互等定理， 所以所以 是對稱是對稱 矩陣，以對角線為對稱軸。矩陣，以對角線為對

31、稱軸。k,srrsTkkkk單元勁度矩陣單元勁度矩陣k k的性質的性質：（3 3）當單元作剛體平移時，如）當單元作剛體平移時，如 三角形內不產生應力和應變，結點力也為三角形內不產生應力和應變，結點力也為0 0。1,ijmuuu第六章 用有限單元法解平面問題（4 4）由（）由（3 3）可導出行列式）可導出行列式 。（5 5） 的元素與的元素與 單元的形狀和方位等單元的形狀和方位等 有關，但與單元的大小和剛體的平動以及作有關，但與單元的大小和剛體的平動以及作 度轉動無關。度轉動無關。即有：即有： 中每一行（或列）的元素之和為零（其中每一行（或列）的元素之和為零（其中第中第1 1、3 3、5 5元素

32、之和或元素之和或2 2、4 4、6 6元素之和也為元素之和也為0 0）。）。,tE0knkk第六章 用有限單元法解平面問題 （書中P.117頁），以直角三角形單元為例，計算了應力轉換矩陣S和單元勁度矩陣 。 從例題中可以看出，將單元邊界上的應力向結點移置，化為作用于結點上的力，正好就是結點力。在FEM中，單元邊界之間的聯系和相互作用力，都向結點簡化，歸結成為結點的鉸結和結點力。 思考題例題k試求出書中例題的位移模式。第六章 用有限單元法解平面問題。TLmyLmxLjyLjxLiyLixTeFFFFFF)()(LmLjLiLFFFF6 66 6荷載向結點移置荷載向結點移置 單元的結點荷載列陣單元

33、的結點荷載列陣 在FEM中，須將作用于單元中的外荷載向結點移置，化為等效結點荷載等效結點荷載，第六章 用有限單元法解平面問題（2）變形體靜力等效原則變形體靜力等效原則在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。 1 1、等效原則等效原則（1）剛體靜力等效原則剛體靜力等效原則使原荷載與移置荷載的主矢量以及對同一點的主矩也相同。移置原則 剛體靜力等效原則只從運動效應來考慮，得出移置荷載不是唯一的解；變形體的靜力等效原則考慮了變形效應，在一定的位移模式下，其結果是唯一的，且也滿足了前者條件的。 所以在FEM中，采用變形體的靜力等效原則。第六章 用有限單元法解平面問題 假設發(fā)生一組結點虛位移 ，則

34、點的虛位移為 。使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功： 2 2、集中力的移置公式集中力的移置公式 原荷載 作用于單元中任一點 為單位厚度上的作用力；移置荷載 作用于結點 ,)(TPyPxffPf,)(TLmLjLieLFFFF。mji,e)(*Nd。ttTeTeTePT*P*L*fNfdF)()()(e)(*),(yx集中力第六章 用有限單元法解平面問題3、單元邊界單元邊界 上面力上面力 的移置公式的移置公式 應用式 ，將 代之為 并在邊界 上積分，得: 對于任意的虛位移 ，虛功方程都必須滿足，得：。tePTLfNFSftPf,dstfs。SedstfNFTL)(a)(be)(*)(a面力第六章

35、用有限單元法解平面問題 應用式 ，將 代之為 并對單元域A 積分，得 。AedxdytfNFTL,dxdytf)(c)(atPf4 4、單元內體力、單元內體力 的移置公式的移置公式 f體力 當位移模式為線性函數時，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結點荷載相同。第六章 用有限單元法解平面問題思考題1. 試導出書中例題的荷載移置公式。 第六章 用有限單元法解平面問題 在單元分析中，從單元的結點位移求位移分布求應變求應力求結點力，為單元的內力分析；外荷載移置到結點荷載，為單元的外力分析。 6 67 7結構的整體分析結構的整體分析 結點平衡方程組結點平衡方程組 iFLiF 假設將結

36、點i與周圍的單元切開，則圍繞i結點的每個單元對i 結點有結點力( ）的作用,也有外荷載移置的結點荷載（ ）的作用。下面考慮整體分析整體分析。第六章 用有限單元法解平面問題對某一個單元 ，其中 是對圍繞i 結點的單元求和。 i 結點的平衡條件結點的平衡條件為 結點平衡條件),2, 1(,nieLieiFFeijm,mjinninikF)(a第六章 用有限單元法解平面問題 是單元結點的局部編號； 是整體結點的整體編號。 代入式 ，可表示為 ),2, 1()(,nieLiemjinnin。Fkmji,ni, 2 , 1)(a)(b)(b將式 按整體結點編號排列，得整個結構的平衡方程組。 第六章 用有

37、限單元法解平面問題 考慮結構的約束條件后，從式考慮結構的約束條件后，從式 求出求出 ，就可以求出各單元的位移和應力。，就可以求出各單元的位移和應力。 整體結點位移列陣，整體結點位移列陣， 整體結點荷載列陣，整體結點荷載列陣， 整體勁度矩陣。整體勁度矩陣。 ,LFK Tn21)(TLnLLL)(21FFFFK)(c)(c結點平衡方程組第六章 用有限單元法解平面問題例2例1列出圖示結構i 結點的平衡條件。（見書中P.121）psjmi第六章 用有限單元法解平面問題有限單元法的具體計算步驟：有限單元法的具體計算步驟： 6 68 8解題的具體步驟解題的具體步驟 單元的劃分單元的劃分 1、劃分單元網格，

38、對單元和結點編號。 2、選定直角坐標系，按程序要求填寫和輸入有關信息。單元內的ijm的局部編號應按書中規(guī)定的右手規(guī)則編號。否則會使三角形的面積出現負號等問題。第六章 用有限單元法解平面問題 3、使用已編好的程序進行上機計算。事先須將有限單元法的公式，計算方法和步驟都編入程序。4、對成果進行整理、分析。 對第1和第4步的工作，也盡可能讓計算機執(zhí)行，以減少人工的工作量。如自動劃分網格，整理成果等。第六章 用有限單元法解平面問題 關于單元的劃分，注意幾點：單元的劃分，注意幾點：（8）結構具有凹槽或孔洞等應力集中處等。（1）單元大小問題；（2）單元在不同部位的合理布置問題；（3）三角形三個內角最好較接

39、近；（4）利用對稱性和反對稱性；（5）厚度突變之處和材料不同之處；（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處；（7）水利閘壩工程問題；第六章 用有限單元法解平面問題 在有限單元法中，位移的精度較高，其誤差量級是，即與單元尺度的二次冪成正比。應力的誤差量級是，即與單元的大小成正比。 6 69 9計算成果的整理計算成果的整理 )(2xo )( xo 第六章 用有限單元法解平面問題 三結點三角形單元的應力的成果，不但應力的精度較低，而且還產生了所謂應應力的波動性力的波動性。 對于結點位移的成果，可以直接采用。第六章 用有限單元法解平面問題 應力的波動性在三結點三角形單元中較為顯應力的波動性在三結點三角

40、形單元中較為顯著。著。 由于計算出的應力的精度較低。假由于計算出的應力的精度較低。假設設單元的應力成果為單元的應力成果為 ，其中，其中 為真解，為真解， 為誤差。則由于在結點都列出了平衡方程并令為誤差。則由于在結點都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的其滿足，從而使相鄰的單元的應力趨近于單元的應力趨近于 。這就產生了應力的波動性。這就產生了應力的波動性。 原因是，第六章 用有限單元法解平面問題 為了提高應力的精度，解決應力波動性問題，可以采用兩種應力成果的整理方法： 一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因為它涉及的區(qū)域范圍較小。 （1）兩相鄰單元平均法。 （2）繞結點平均法。第六章 用有限

41、單元法解平面問題 在受面力邊界線附近，求得的應力誤差較大。可采用向外插值的方法（例拋物線插值）來解決。 第六章 用有限單元法解平面問題 為了提高應力的精度，可以采用兩種方法。 是加密網格，減少單元的尺寸，以提高應力的精度。 是可以采用較多結點的單元，并使 位移模式中包含一些高冪次的項，從而提 高位移和應力的精度。二一第六章 用有限單元法解平面問題 書中應用三結點三角形單元，計算了下列例題：6 61010計算實例計算實例 1. 楔形體受自重及齊頂水壓力。 2. 簡支梁受均布荷載。 3. 圓孔附近的應力集中。 第六章 用有限單元法解平面問題 在整理應力成果時，讀者應注意，應用三角形單元時，（1）采

42、用兩單元平均法和繞結點平均法的 應力成果比較接近，但前者的精度略 好于后者。（2）邊界面的應力，宜采用向外插值的方 法求出。第六章 用有限單元法解平面問題 在FEMFEM中，將連續(xù)體變換為離散化結構之后，有兩種導出FEM公式的主要方法： 6 61111應用變分原理導出應用變分原理導出 有限單元法基本方程有限單元法基本方程 第六章 用有限單元法解平面問題（2）建立單元的位移模式，求出單元中的 位移分布，;eB ）（b;eS ）（ci;eNd）（a1.按靜力方法導出按靜力方法導出FEMFEM公式公式（1）取結點位移為基本未知數；（3）由幾何方程求出單元的應變，（4）由物理方程求出單元的應力，按結構

43、力學方法導出FEM公式第六章 用有限單元法解平面問題;AsedxdytdsttfNfNfNFTTPeL）（ e。LFk ）（f;eekF）（deLF（5）由虛功方程求出單元的結點力，（6）由虛功方程求出單元的結點荷載 ，（7）建立結點平衡方程組，按結構力學方法導出FEM公式第六章 用有限單元法解平面問題（1）變分原理中的極小勢能原理是。minVUEP）（g)( ).(,21hdxdytdsttVdxdytUATsTTAfdfdfdPT2. 按變分方法導出按變分方法導出FEMFEM公式公式 保留上述（1）-（4）步驟，然后應用極小勢能原理導出FEM基本方程。按變分法導出FEM公式對于平面問題，第

44、六章 用有限單元法解平面問題對于連續(xù)體,變分的宗量是位移函數 變分方程 可表示為總勢能 對 的導數等于0，即PEvu,., vu）（g, 0uEP。0vEP）（i第六章 用有限單元法解平面問題變分宗量由 變換成（2）將經典變分原理應用到離散化結構，則)., 2 , 1(nii,eePPEE,eeUU。eeVV）（jvu,總勢能、形變勢能和外力勢能，可以用單元的勢能之和來表示第六章 用有限單元法解平面問題其中 為三角形單元的面積。應用前面記號,)()(21)(2121 eAeTTeeAeTeeAeeeeedxdytdxdytdxdytUUDBBDB TeA。eeTeUk )(21）（k內力勢能為

45、第六章 用有限單元法解平面問題其中 為三角形單元的受面力邊界。引用前面記號, )()()(eATSPTPTTeeATSPTPTeeeedxdytdsttdxdytdsttVVfdfdfNfdfdfds。eeLTeVF )(）（leeLTeTePVUE)()(21Fk）（m外力勢能為 總勢能為第六章 用有限單元法解平面問題故總勢能極小值條件 變換為（3）對于離散化結構，泛函數 的宗量變 換為 PE)(i)( ),2,1(0nniEiP。.)(,2)(ccaababaaaTT), 2 , 1(nii則式(n) 成為引用矩陣運算公式，第六章 用有限單元法解平面問題)( ), 2 , 1(0)(oni

46、EieTeP。,001,)(ieeLmLjLimjieeLeePEFFFFFFFk 其中第六章 用有限單元法解平面問題 代入式(o) ，得出與結構力學方法導出的相同方程，)( ), 2 , 1(pnieLiei。FF 從物理意義上講，將連續(xù)體的經典變分原 理(g) 或 (i) 應用到離散化結構，成為式(p) 。第六章 用有限單元法解平面問題 比較物理意義： 凡是與微分方程對應的變分原理存在的任何問題，均可應用變分法導出FEM。式(p)表示總勢能在所有結點處的極值條件。式(g)表示總勢能的整體極值條件;第六章 用有限單元法解平面問題例題1例題2例題3例題4例題第六章 用有限單元法解平面問題 例題

47、1 平面問題中采用的四結點矩陣單元，如圖所示。該單元的結點位移列陣是 ,)(Tpmjie第六章例題Pimjoyxabba第六章 用有限單元法解平面問題iPbaojmx圖6-10采用的位移模式是其中的系數 ,由四個結點處的位移值,應等于結點位移值 的條件求出。xyyxyxvxyyxyxu87654321),(,),(81),(pmjiiab第六章 用有限單元法解平面問題 讀者試檢查其收斂性條件是否滿足？并估計位移和應力的誤差量級。第六章例題第六章 用有限單元法解平面問題 例題2 平面問題中采用的六結點三角形單 元，如圖所示。 該單元的結點位移列陣為 其位移模式取為 ,)(321Tmjie ,),(26524321yxyxyxyxu第六章例題yxom213ij圖6-11第六章 用有限單元法解平面問題 可以相似地表示。然后由六