二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值

1、二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值2164,1,44yxx 2164,4,74yxx 2164,5,84yxx 2164,9,114yxx 求下列函數(shù)的最大值和最小值。1.2.3.4.二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)： 能利用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求閉區(qū)間上二次函數(shù)最值重點(diǎn)：重點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值（1）軸定區(qū)間變 （2）軸定區(qū)間定 （3）軸變區(qū)間定難點(diǎn)：難點(diǎn)： 數(shù)形結(jié)合、分類討論思想 二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值例例1.求函數(shù)求函數(shù)y=-x2-2x+3在區(qū)間在區(qū)間-2,3上的最值上的最值oxyX=-1-313-24-12解：解： y

2、=-x2-2x+3=-(x+1)2+4函數(shù)的對(duì)稱軸為直線函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=-1 -2 -1 3 當(dāng)當(dāng)x=-1=-1時(shí)，時(shí)，y的最大值為的最大值為f(-1) =4當(dāng)當(dāng)x=3時(shí)，時(shí)，y的最小值為的最小值為f(3) =-12一、定函數(shù)定區(qū)間一、定函數(shù)定區(qū)間二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值例例2、已知函數(shù)、已知函數(shù)y=ax2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上有最大值上有最大值2，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值的值yx10-1a0解：當(dāng)解：當(dāng)a=0時(shí)，時(shí)，f(x)=1（不合題意）當(dāng)a0時(shí)，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x0,1(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)max=f(1)=2a+1=2， a= 0.5 a= 0.5

3、二、定區(qū)間定軸動(dòng)函數(shù)二、定區(qū)間定軸動(dòng)函數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值例例2、已知函數(shù)、已知函數(shù)y=ax2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上有最大值上有最大值2，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值的值yx10-1a0(2)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，f(x)max=f(0)=1-a=2， a=-1a=-1二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值例例2、已知函數(shù)、已知函數(shù)y=ax2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上有最大值上有最大值2，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值的值解：當(dāng)解：當(dāng)a=0時(shí)，時(shí)，f(x)=1（不合題意）當(dāng)a0時(shí)，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x0,1(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)max=f(1)=2a+1=2， a= 0.5 a= 0.5

4、 (2)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，f(x)max=f(0)=1-a=2， a=-1a=-1綜上所述：a= 0.5 或a=-1yx10-1a0yx10-1a0二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值解：解：函數(shù)的對(duì)稱軸為直線函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a當(dāng)當(dāng)a0 時(shí)時(shí)y的最大值為的最大值為f(0) =1-a例例3 求函數(shù)求函數(shù)y =-x2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最大值上的最大值. yOx10X=a三、定區(qū)間動(dòng)軸動(dòng)函數(shù)三、定區(qū)間動(dòng)軸動(dòng)函數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值(2)當(dāng)當(dāng) 0 a1 時(shí)時(shí)y的最大值為的最大值為f(a)=a2-a+1 例例3 求函數(shù)求函數(shù)y =-x2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最大值上的最大值.

5、Oxy10X=a二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值(3)當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)時(shí)y的最大值為的最大值為f(1)=4+a 例例3 求函數(shù)求函數(shù)y =-x2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最大值上的最大值. xy10X=a二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值例例3 求函數(shù)求函數(shù)y =-x2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最大值上的最大值. 解：解：函數(shù)的對(duì)稱軸為直線函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a當(dāng)當(dāng)a 0 時(shí)時(shí) y的最大值為的最大值為f(0) =1-a(2)(2)當(dāng)當(dāng) 0 a1 時(shí)時(shí) y的最大值為的最大值為f(a)=a2-a+1(3)(3)當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)時(shí) y的最大值為的最大值為f(1)=4+a yOx10X=aOxy10X

6、=axy10X=a二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值思考思考1：函數(shù)：函數(shù)y =-x2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最大值為上的最大值為2，求，求a的值的值.解：解：函數(shù)的對(duì)稱軸為直線函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a當(dāng)當(dāng)a 0時(shí)時(shí) 當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時(shí)時(shí)y y的最大值為的最大值為2 2 a=-1a=-1(2)(2)當(dāng)當(dāng) 0 0 a a1 1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x=ax=a時(shí)時(shí)y y的最大值為的最大值為2 2 a=-1a=-1（舍去）（舍去）(3)(3)當(dāng)當(dāng) a1a1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x=1x=1時(shí)時(shí)y y的最大值為的最大值為2 2 a=2a=2綜上所述：綜上所述：a=-1a=-1或或a=2a=2yOx10X=aOxy10X=a

7、xy10X=a二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值思考思考2：求函數(shù)：求函數(shù)y =-x2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最小值上的最小值.yOx10X=aOxy10X=axy10X=a二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值思考思考2：求函數(shù)：求函數(shù)y =-x2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最小值上的最小值.1 1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)， y的最小值為f(1)=4+a 2 2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)， y的最小值為f(0)=1-a 2121Oxy10X=a解：解：函數(shù)的對(duì)稱軸為直線函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=ax=a二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值解：解：函數(shù)的對(duì)稱軸為直線函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a當(dāng)當(dāng)a0 時(shí)時(shí)y的最小值為的最小值為f(1) =4+

8、ay y的最大值為的最大值為f(0) =1-a變題變題1 求函數(shù)求函數(shù)y =-x2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最值上的最值. yOx10X=a二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值(2)當(dāng)當(dāng) 0 a a1 1 時(shí)時(shí)y y的最大值為的最大值為f(a)=af(a)=a2 2-a+1-a+1 1 1）當(dāng)）當(dāng)0 0 a a 時(shí)， y的最小值為f(1)=4+a 2 2）當(dāng)）當(dāng)1 1 a a 時(shí)， y的最小值為f(0)=1-a 2121變題變題1 求函數(shù)求函數(shù)y =-x2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最值上的最值. Oxy10X=a二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值(3)當(dāng)當(dāng) a1a1 時(shí)時(shí)y y的最大值為的最大值

9、為f(1)=4+af(1)=4+ay的最小值為f(0)=1-a 變題變題1 求函數(shù)求函數(shù)y =-x2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最值上的最值. xy10X=a二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值變題變題1 求函數(shù)求函數(shù)y =-x2+2ax+1-a在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最值上的最值. 解：解：函數(shù)的對(duì)稱軸為直線函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a當(dāng)當(dāng)a 0 時(shí)時(shí) y y的最大值為的最大值為f(0) =1-f(0) =1-a a y y的最小值為的最小值為f(1) =4+f(1) =4+a a(2)(2)當(dāng)當(dāng) 0 0 a a1 1 時(shí)時(shí) y y的最大值為的最大值為f(a)=af(a)=a2 2-a+1-a+1 1

10、 1）當(dāng)）當(dāng)0 0 a a 時(shí)， y的最小值為f(1)=4+a 2 2）當(dāng)）當(dāng)1 1 a a 時(shí)， y的最小值為f(0)=1-a(3)(3)當(dāng)當(dāng) a1 a1 時(shí)時(shí) y y的最大值為的最大值為f(1)=4+af(1)=4+a y的最小值為f(0)=1-a2121yOx10X=aOxy10X=axy10X=ayOx10X=aOxy10X=axy10X=a二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值求二次函數(shù)求二次函數(shù)f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在mm，nn上的最值的方上的最值的方法：一看開口方向；二看對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系法：一看開口方向；二看對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系. . （2 2）當(dāng)）當(dāng)x x0

11、0mm，nn時(shí)，時(shí)，f(m)f(m)、f(n)f(n)、f(xf(x0 0） 中的較大者是最大值中的較大者是最大值, ,較小者是最小值；較小者是最小值； （1）檢查）檢查x0= 是否屬于是否屬于 m，n；ab2（3 3）當(dāng)）當(dāng)x x0 0 m m，nn時(shí)，時(shí)，f(m)f(m)、f(n)f(n)中的較大中的較大 者是最大值，較小者是最小值者是最大值，較小者是最小值. .二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值O-2xy2-1 1.分別在下列各范圍上求函數(shù)分別在下列各范圍上求函數(shù)y=x2+2x3的最值的最值.22 x(2)31 x(3)(1) Rax 2(4)31ymin=-4，無最大值yma

12、x=5ymin=-4ymax=12ymin=0二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值O-2xy2-122 x(2)(3)(1) R31 x(3)ax 2(4)當(dāng)當(dāng)-2 a-1時(shí)時(shí)aymax=-3,ymin=a2+2a-3 1.分別在下列各范圍上求函數(shù)分別在下列各范圍上求函數(shù)y=x2+2x3的最值的最值.二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值O-2xy2-122 x(2)31 x(3)(1)Rax 2(4)當(dāng)當(dāng)-1 a 0時(shí)時(shí)a當(dāng)當(dāng)-2 a0時(shí)時(shí)a當(dāng)當(dāng)-1 a 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)-2 a-1, - ,對(duì)稱軸在x= - 的右邊.2a2121(1)當(dāng) -1 a時(shí),即a0時(shí),由二次函數(shù)圖象2a可知: ymax =f ( )= 2a4a24a

13、22axyo-1a(2)當(dāng)a 時(shí),即-1a0時(shí), 2a五、動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間五、動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值綜上所述:當(dāng)-1a-1, - ,對(duì)稱軸在x= - 的右邊.2a2121(1)當(dāng) -1 a時(shí),即a0時(shí),由二次函數(shù)圖象2a可知: ymax =f ( )= 2a4a2(2)當(dāng)a 時(shí),即-1a0時(shí), 2a4a24a22aaxyo-1由二次函數(shù)的圖象可知: ymax =f (a)=0二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值) ( ,) 10(2 1. 22的取值范圍是則最大值是的函數(shù)aaxaxxy1,0 D. 2,0 C. 0,2 B. 0,1 A. . 01, 10,)( 2max22Daaayaxaaxy故選故

14、有由于對(duì)稱軸為二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, 2 上的最小上的最小值為值為 3, 可分情況討論如下可分情況討論如下:2.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=4x2- -4ax+a2- -2a+2 在區(qū)間在區(qū)間 0, 2 上有最小值上有最小值 3, 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) a 的值的值.解解: 由已知由已知 f(x)=4(x - - )2 - - 2a+2. a2a2(1)當(dāng)當(dāng) 0, 即即 a0 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) f(x) 在在 0, 2 上是增函數(shù)上是增函數(shù). f(x)min=f(0)=a2- -2a+2. a2(2)當(dāng)當(dāng) 0 2, 即即 0a4 時(shí)時(shí), a2f(x)min=f( )=-

15、-2a+2. 由由 - -2a+2=3 得得: a=- - 12 (0, 4), 舍去舍去. a2(3)當(dāng)當(dāng) 2, 即即 a4 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) f(x) 在在 0, 2 上是減函數(shù)上是減函數(shù). f(x)min=f(2)=a2- -10a+18. 由由 a2- -2a+2=3 得得: a=1 2 . a0, a=1- - 2. 由由 a2- -10a+18=3 得得: a=5 10. a4, a=5+ 10. 綜上所述綜上所述, a=1- - 2 或或 a=5+ 10. 二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值完全達(dá)標(biāo)教學(xué)完全達(dá)標(biāo)教學(xué)1、已知函數(shù)f(x)=2x2-2ax+3在區(qū)間-1,1上有最小值g(a),求g(a)的函數(shù)表達(dá)式，并求g(a)的最大值。2、已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3在閉區(qū)間0,m上有最大值3，最小值2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 。 3、函數(shù)f(x)=ax2+2ax+1在區(qū)間-3,2上有最大值4，求實(shí)數(shù)a的值。二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值求二次函數(shù)求二次函數(shù)f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在mm，nn上的最值的方上的最值的方法：一看開口方向；二看對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系法：一看開口方向；二看對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系. . （2 2）當(dāng)）當(dāng)x x0 0mm，nn時(shí)，時(shí)，f(m)f(m)、f(n)f(n)、f(xf(x0 0） 中的較大者是最大值中