圓的方程、直線與圓的位置關系教學設計

1、圓的方程、直線與圓的位置關系、內(nèi)容提示：1. 圓的方程:圓的標準方程：(x -a)2 ( y -b)2 = r2 (圓心(a,b)，半徑為r )圓的一般方程：x2 y2 Dx Ey 0 (其中 D2 E2 -4F 0)，y 22圓心為點(_D E)，半徑r二 D E 4F2 2 222ID E(I)當D2 E-4F -0時，方程表示一個點，這個點的坐標為(,)2 2(H)當D2 E2 -4F -0時，方程不表示任何圖形。2 2 22直線Ax By 0與圓(x - a) (b) -r的位置關系有三種卄 Aa + Bb +C(I) 右 d =$, d a r二 相離，即直線與圓沒有公共點；V A2

2、 B2(n) d =r=相切，即直線與圓只有一個公共點；(川)d ： r ：=相交，即直線與圓有兩個公共點。3.兩圓位置關系的判定方法設兩圓圓心分別為 O,O2，半徑分別為r,r2,0,02 =d。d r, r 外離；d = r, r2 二外切；r, r2 cd vr,二相交；d = r, -2 二內(nèi)切；0 d ch r2 二內(nèi)含。二、例題分析：【例1】求經(jīng)過原點，且過圓 x2 y2 8x - 6y 2仁0和直線x - y 5二0的兩個交點的圓的方程?！纠?2 】已知直線 I :x-2y 5 = 0 與圓 C：(x-7)2 (y -1)2 =36.(1) 判斷直線I圓的位置關系；(2) 求直線

3、I被圓C所截得的弦長.三、典題精練：1. 圓(x 2)2 y2 =5關于原點P(0, 0)對稱的圓的方程為()2 2 2 2 2 2 2 2A. (x 2)2 y2 =5 B. x2 (y 2)2 =5 C. (x 2)2 (y 2)= 5 D. x2 (y 2)2 二 52. 若P(2, -1)為圓(x-1)2y2=25的弦AB的中點，則直線 AB的方程是()A. x-y-3=0 B. 2x y-3=0 C. x y-1=0 D. 2x-y-5 = 03圓x2 y2 -2x -2y 1二0上的點到直線x - y = 2的距離最大值是()A. 2B. 1、2C. 1-D. 12、. 224.

4、圓xy -4x =0在點P(1, ,3)處的切線方程為()A. x .3y-2=0 B. X . 3y-4=0 c. x-.3y 4=0 D. x-.3y 2=05. 圓心在直線2x - y - 7 =0上的圓C與y軸交于兩點 A(0, -4), B(0, -2)，則圓C的方程為.6. 從點P(4,5)向圓(x 2) 2+y2= 4引切線，求切線方程。7. 自A(-3,3發(fā)出的光線I射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓 C: x2 y2 4x-4y *7 = 0相切，求光線I所在直線方程。2 28. 求經(jīng)過直線I : 2x y 0及圓C： x y 2x-4y，1=0的交點，且面積最小

5、的圓的方程。9.已知圓C和y軸相切，圓心在直線 x -3y =0上，且被直線y二x截得的弦長為 2. 7，求圓C的方程。四、方法反饋：1、在求解有關直線與圓的位置關系的問題時，要充分利用圓的幾何性質，從而達到簡化運算的目的：(1) 當圓與直線l相離時，圓心到I的距離大于半徑；過圓心且垂直于I的直線與圓的兩個交點，分別是圓上的點中到I的距離的最大、最小的點。(2) 當圓與直線I相切時，圓心到I的距離等于半徑；圓心與切點的連線垂直于I ;過圓外一點可作兩條圓的切線，且此兩切線長相等。(3) 當圓與直線I相交時，圓心到I的距離小于半徑，過圓心且垂直于I的直線平分I被圓截得的弦；連結 圓心與弦的中點的

6、直線垂直于弦；過圓內(nèi)一點的所有弦中，最短的弦是垂直于過這點的直徑的那條弦，最長的弦是過這點的直徑。2、求過一點的圓的切線方程時，首先要判斷此點在圓上還是在圓外，再設切線方程為點斜式，用圓心到直線的距離等于半徑或利用,:=0求出切線的斜率，從而求得切線的方程，但要注意有時在求過圓外一點的切線方程時，其兩條切線中往往有一條切線的斜率不存在，由此而產(chǎn)生漏解。3、已知圓的切線的斜率求圓的切線方程，可設切線方程為斜截式，具體操作方法同上。但此種情形的 圓的切線應有兩條。五、合案參考：【例1】解法一：由f 22x + y +8x6y+21=0x-y +5 = 0，求得交點-2,3 或-4,1設所求圓的方程

7、為x2 y2 Dx Ey 0 . (0,0)(-2,3),(-4,)三點在圓上,F =0二4+92D +3E +F =0，解得16+1 4D +E +F =0i，F(xiàn)=0所求圓的方程為：x2 y2 19-9055解法二：設所求圓的方程為 x2 y2 8x-6 y 2i x - y 5 =0 .將原點(0,0)代入上述方程得21所求圓的方程為:x2 y2x-9廠055(x -7)2 (y -1)2 =36X_2y + 5 = 0消去y后整理，得5x2 -50x 60,=(_50)2 -4 5 61 =1280 . 0,方程組(I )有兩組不同的實數(shù)解，即直線l與圓C相交 解法二：圓心(7,1)到直

8、線I的距離為17 -2 15d =W2 +(-2)2【例2】(1)解法一：由方程組*= 25,(I )因d : r =6，故直線l與圓C相交.(2)解法一：由方程組“”(x7)2+(y1)2 =36 得 _ 250 +610，得 5x 50x + 61 =0 , _2y +5 =0設直線I與圓C的兩交點為A(x1, y1)、B(x2, y2),則 x1 x2 = 10,為 x2 二色5| .1 k2 =,(為 x2)2 Mxm 于=8直線l被圓C所截得的弦長為8。1x7 2x1 + 5 l 解法二：圓心(7,1)到直線l的距離為d =.= 2J5 ,又圓的半徑r =6,直線I被圓C所截得的弦長

9、為2 一 r2-d2 =8三、典題精練：2 2 2 21. A 解析：(x,y)關于原點 P(0, 0)得(-x,-y)，則得(-x，2) (_y) =5，即(x-2)y =5。2. A 解析：設圓心為 C(1,0)，則 AB _CP,kcp 二-1*ab =1,y T =x-2,即 x - y - 3 = 0。33. B解析：圓心為C(1,1),r =1,圓心到直線的距離為2，dmax .2。4. D 解析：圓(x-2)2 y2 =4 的圓心為 C(2,0)，貝U kyc 3,所以切線方程為：y-、,3(x -1)，即 X-：, 3y，2 = 0。35. (x-2)2，(y 3)2 =5解析

10、：圓心既在線段 AB的垂直平分線即 y = -3，又在2x-y-7=(上，即圓心為(2, -3) , r =丞，所以圓的方程為(x - 2)2 (y 3)2 =5。6. 解：當切線的斜率存在時，設切線斜率為 k，則切線方程為y 5= k(x-4)即kx y+ 5 4k=0 ,又圓心坐標為(2,0) , r=2丨 2k 0 +5 4k |21因為圓心到切線的距離等于半徑，即丨2k_0_5_4k丨=2, k = Jk2+120所以切線方程為21x 20y+16=0當切線的斜率不存在時，也符合條件，所以還有一條切線是x = 4。所以，所求的切線方程為：21x 20y+16=0或x = 4。7. 解：圓C的方程為：(x -2)2 (y -2)2 -1，它關于x軸對稱圓C 的方程為：(x-2)2 (y 2)2 =1 ,設光線I所在的直線方程為：y -3二k x 3，則光線I所在的直線必與圓 C 相切，丨 5k ：i 5 丨43故1，即 12k225k 12 = 0，解得 k 或k =1 k234光線I所在直線方程為 4x 3y 3 = 0或3x 4y - 3 = 08. 解：設所求圓的方程為 x2 y224y V (2x y 4 0,即 x2 y2(2 2 )x -(4 - )y 14- = 0，則所求圓的圓心為(-1 - , 2)。2/ 82(-1