同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程課件

1、同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程xyzo0MM 如果一非零向量垂直于一如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的平面，這向量就叫做該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征：一、平面的點(diǎn)法式方程n 平面的法向量不唯一平面的法向量不唯一; ;平面的法向量垂直于平面內(nèi)的任一向量平面的法向量垂直于平面內(nèi)的任一向量同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程已知已知,CB

2、An ),(0000zyxM平面的法向量平面的法向量及平面上一點(diǎn)及平面上一點(diǎn)同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyxABCn同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程,1 , 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程由平面的點(diǎn)法式方程由平面

3、的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx二、平面的一般方程z y x, ,是關(guān)是關(guān)于于 的的 三三元一元一次方次方程程同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程0 DCzByAx反過來，設(shè)有三元一次方程反過來，設(shè)有三元一次方程000,zyx該方程的一組數(shù)該方程的一組數(shù)0000 DCzByAx，則，則兩式相減即得兩式相減即得該方程恰為平面的點(diǎn)法式方程該方程恰為平面的點(diǎn)法式方程表示一個(gè)平面，稱為表示一個(gè)平面，稱為0)()()(000 zzCyyBxxA平面的一般方程平面的一般方程任取滿足任取滿足0 DCzByAx由此可知，任一三元

4、一次方程由此可知，任一三元一次方程同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：通過原點(diǎn)的平面通過原點(diǎn)的平面; ;平行于平行于 z z 軸的平面軸的平面; ;,), 0(iCBn 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , 表示表示 0 D0 CzByAx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , 的法向量的法向量0 A0 DCzBy平面平行于平面平行于 軸軸; ;x 表示表示0 DCzAx平行于平行于 軸的平面軸的平面; ;y 表示表示0 DByAx同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程 C z + D = 0 表示表示 A x + D =0 表示表示 B y + D =0 表示表示平行于平行

5、于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面 的平面的平面.同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過原點(diǎn)知由平面過原點(diǎn)知, 0 D0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程,aDA ,bDB ,cDC 將

6、將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc解解由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161ttt61161611 ,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為,61ta ,1tb ,61tc 代入體積式代入體積式同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及

7、其方程定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角為兩平面的夾角. ., 0:11111 DzCyBxA , 0:22222 DzCyBxA ,1111CBAn ,2222CBAn 三、兩平面的夾角同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.2121

8、21CCBBAA 21122n1n2n1n同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos 同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1

9、 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合01224, 012)2( zyxzyx同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合. .02224, 012)3( zyxzyx同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程 ),(1111zyxP 1PNn0P 解解01PrjPPdn nnPP 01222101010)()()(CBAzzCyyBxxA 同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程222101010)()()(CBAzzCyyBxxA 222000CBADzCyBxAd 011

10、1 DzCyBxA(點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式)同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角. .點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式. .點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程. .一般方程一般方程. .截距式方程截距式方程. . （注意兩平面的（注意兩平面的位置位置特征）特征）四、小結(jié)同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程思考題思考題同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程思考題解答思考題解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)

11、第六版第七節(jié)平面及其方程練練 習(xí)習(xí) 題題同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程6 6、 平平面面0522 zyx與與xoy面面的的夾夾角角余余弦弦為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，與與yoz面面的的夾夾角角余余弦弦為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 與與zox面面的的夾夾角角的的余余弦弦為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；5、通過、通過),0,0()0,0()0,0,(cba、 _；三點(diǎn)的平面方程三點(diǎn)的平面方程同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程二二、 指指出出下下列列各各平平面面的的特特殊殊位位置置，并并畫畫出出各各平平面面：1 1、 0632 yx；2 2、 1 zy；3 3、 056 zyx. .三三、 求求過過點(diǎn)點(diǎn))2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三三點(diǎn)點(diǎn)的的 平平面面方方程程 . .四四、 點(diǎn)點(diǎn))1,0,1( 且且平平行行于于向向量量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的的平平面面方方程程 . .同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)第六版第七節(jié)平面及其方程一一、1 1、( (0 0, ,0 0, ,0 0) )； 2 2、平平行行于于；