生活中的優(yōu)化問題舉例)ppt課件

1、3.4生活中的生活中的優(yōu)化問題舉例優(yōu)化問題舉例第三章第三章 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用 高二數(shù)學(xué)組高二數(shù)學(xué)組 王婧王婧一、如何判別函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性？f(x)為增函數(shù)為增函數(shù)f(x)為減函數(shù)為減函數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x) 在在 某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，二、如何求函數(shù)的極值與最值？求函數(shù)極值的普通步驟求函數(shù)極值的普通步驟1確定定義域確定定義域2求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)f(x)3求求f(x)=0的根的根 4列表列表 5判別判別求求f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上的最值的步驟：上的最值的步驟：(1) 求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值；內(nèi)極值；(2) 將將y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)

2、、f(b比較比較,從而確定函數(shù)的最值。從而確定函數(shù)的最值。 普通地，假設(shè)函數(shù)普通地，假設(shè)函數(shù)y=f (x)在在a，b上的圖象是一條上的圖象是一條延續(xù)不斷的曲線，那么求延續(xù)不斷的曲線，那么求f (x) 的最值的步驟是：的最值的步驟是：1求求y=f (x)在在a，b內(nèi)的極值內(nèi)的極值(極大值與極小值極大值與極小值)；2將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f (a)、f (b) 比較，比較， 其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值. 特別地，假設(shè)函數(shù)在給定開區(qū)間內(nèi)只需一個(gè)極值點(diǎn)，特別地，假設(shè)函數(shù)在給定開區(qū)間內(nèi)只需一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)

3、極值一定是最值。那么這個(gè)極值一定是最值。 生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大小值的有力工具，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，處置一些生活中的優(yōu)化問題.例例1 1：海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)：海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì) 學(xué)校或班級(jí)舉行活動(dòng)，通常需求學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需求張貼海報(bào)進(jìn)展宣傳。現(xiàn)讓他設(shè)計(jì)一張如張貼海報(bào)進(jìn)展宣傳?，F(xiàn)讓他設(shè)計(jì)一張如圖圖3.4-13.4-1所示的豎向張貼的海報(bào)，要求所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為版心面積為128dm2128dm2，上、下兩邊各空，上、下兩邊各空2dm2dm，左、右兩邊各空，左、右兩邊各空1dm

4、1dm，如何設(shè)計(jì)，如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才干使周圍空白面積最??？海報(bào)的尺寸，才干使周圍空白面積最小？x圖圖3.4-1 分析：知版心的面積，他會(huì)如何建立函數(shù)關(guān)系表示海報(bào)周圍的面積呢？ 128:,xdmdmx解 設(shè)版心的高為則版心的寬為此時(shí)四周空白面積為 0,160 xs x當(dāng)時(shí)，；128( )(4)(2) 128S xxx51228,0 xxx2512 ( )2S xx求導(dǎo)數(shù),得2512( )20S xx令1616xx解 得 ：，（ 舍 ）128128816x于是寬為： 16,0.xs x當(dāng)時(shí)，因此，因此，x=16是函數(shù)是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版

5、心高為當(dāng)版心高為16dm，寬為，寬為8dm時(shí)，能使周圍空白面積最時(shí)，能使周圍空白面積最小。小。 由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，處置優(yōu)化問題的由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，處置優(yōu)化問題的根本思緒是：設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式根本思緒是：設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式上述處置優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過程。上述處置優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過程。優(yōu)化問題優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)處置數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)處置數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案優(yōu)化問題的答案他還有其他方法他還有其他方法求這個(gè)最值嗎？求這個(gè)最值嗎？解法二：由解法解法二：由解法(一一)得得512512( )282 28S xxxxx

6、2 32872512,16(0)xxxSx當(dāng)且僅當(dāng)2即時(shí) 取最小值8128此時(shí)y=16816dmdm答：使用版心寬為，長(zhǎng)為時(shí)，四周空白面積最小。問題問題2:2:飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)有影響嗎飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)有影響嗎? ?n他能否留意過他能否留意過, ,市場(chǎng)上等量的小包裝的物品市場(chǎng)上等量的小包裝的物品普通比大包裝的要貴些普通比大包裝的要貴些? ?他想從數(shù)學(xué)上知道他想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎它的道理嗎? ?n是不是飲料瓶越大是不是飲料瓶越大, ,飲料公司的利潤(rùn)越大飲料公司的利潤(rùn)越大? ?規(guī)格（規(guī)格（L）21.250.6價(jià)格（元）價(jià)格（元）5.14.52.5下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)

7、品，假設(shè)它們下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，假設(shè)它們的價(jià)錢如下表所示，那么的價(jià)錢如下表所示，那么1對(duì)消費(fèi)者而言，選擇哪一種更合算呢？對(duì)消費(fèi)者而言，選擇哪一種更合算呢？2對(duì)制造商而言，哪一種的利潤(rùn)更大？對(duì)制造商而言，哪一種的利潤(rùn)更大？ 例例2： 某制造商制造并出賣球形瓶裝的某種飲料，瓶某制造商制造并出賣球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢是子的制造本錢是0.8pr2分，其中分，其中r是瓶子的半徑，單位是是瓶子的半徑，單位是厘米，知每出賣厘米，知每出賣1ml的飲料，制造商可獲利的飲料，制造商可獲利0.2分，且制分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，1瓶子半徑多

8、大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？2瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最??？瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最??？2( ) = 0.8- 20= 2()，f rrrr 令令得得r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)減函數(shù) 增函數(shù)增函數(shù) -1.07p每瓶飲料的利潤(rùn)：每瓶飲料的利潤(rùn)：324( )0.20.83yf rrr32= 0.8 (-)3rr)60( r解：由于瓶子的半徑為解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是當(dāng)半徑r時(shí)，f (r)0它表示 f(r) 單調(diào)遞增， 即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑r時(shí)，f (r)0 它表示

9、f(r) 單調(diào)遞減， 即半徑越大，利潤(rùn)越低1.1.半徑為半徑為cm cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)(2)0f表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的本錢，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的本錢，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值。此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值。.半徑為半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大。時(shí)，利潤(rùn)最大。 由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，處置優(yōu)化問題的由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，處置優(yōu)化問題的根本思緒是：設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式根本思緒是：設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式上述處置優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過程。上述處置優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過程。優(yōu)化問題優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)處置數(shù)學(xué)問題用

10、導(dǎo)數(shù)處置數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案優(yōu)化問題的答案他還有其他方法他還有其他方法求這個(gè)最值嗎？求這個(gè)最值嗎？?,)44.1(,:你有什么發(fā)現(xiàn)上觀察圖從函數(shù)的圖象直接數(shù)工具們不用導(dǎo)我果如換一個(gè)角度 .,3r;,cm3, 03f,3r,利潤(rùn)才為正值時(shí)當(dāng)好相等成本恰飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的時(shí)即瓶子半徑是時(shí)當(dāng)易看出圖象上容從 ?,rf ,2 , 0r解釋它的實(shí)際意義嗎你能是減函數(shù)時(shí)當(dāng) ory2 23r3r8.0rf3圖1.4-4思索：市場(chǎng)上等量的小包裝的物品普通比大思索：市場(chǎng)上等量的小包裝的物品普通比大包裝的要貴些如半斤裝的白酒比一斤裝的包裝的要貴些如半斤裝的白酒比一斤裝的白酒平均價(jià)錢要高，在數(shù)學(xué)上有什么道理？白

11、酒平均價(jià)錢要高，在數(shù)學(xué)上有什么道理？ 將包裝盒捏成球狀，由于小包裝的半徑小，將包裝盒捏成球狀，由于小包裝的半徑小，其利潤(rùn)低，消費(fèi)商就提高銷售價(jià)錢來平衡與其利潤(rùn)低，消費(fèi)商就提高銷售價(jià)錢來平衡與大包裝的利潤(rùn)大包裝的利潤(rùn). . 問題問題3 3、磁盤的最大存儲(chǔ)量問題、磁盤的最大存儲(chǔ)量問題(1) 他知道計(jì)算機(jī)是如何存儲(chǔ)、檢索信息的嗎？(2) 他知道磁盤的構(gòu)造嗎？(3)如何使一個(gè)圓環(huán)狀的磁盤存儲(chǔ)盡可以多的信息？Rr思索思索1 1：現(xiàn)有一張半徑為：現(xiàn)有一張半徑為R R的磁盤，它的存儲(chǔ)的磁盤，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于區(qū)是半徑介于r r與與R R的環(huán)形區(qū)域，且最外面的的環(huán)形區(qū)域，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，那么這

12、張磁盤的磁道磁道不存儲(chǔ)任何信息，那么這張磁盤的磁道數(shù)最多可達(dá)多少？數(shù)最多可達(dá)多少？ R Rr rRrm-思索思索2 2：由于每條磁道上的比特?cái)?shù)一樣，：由于每條磁道上的比特?cái)?shù)一樣，那么這張磁盤存儲(chǔ)量的大小取決于哪條那么這張磁盤存儲(chǔ)量的大小取決于哪條磁道上的比特?cái)?shù)？磁道上的比特?cái)?shù)？最內(nèi)一條磁道最內(nèi)一條磁道. 思索思索3 3：要使磁盤的存儲(chǔ)量到達(dá)最大，那：要使磁盤的存儲(chǔ)量到達(dá)最大，那么最內(nèi)一條磁道上的比特?cái)?shù)為多少？么最內(nèi)一條磁道上的比特?cái)?shù)為多少？ R Rr r2rnp思索思索4 4：這張磁盤的存儲(chǔ)量最大可到達(dá)多：這張磁盤的存儲(chǔ)量最大可到達(dá)多少比特？少比特？2Rrrmnp-分析：存儲(chǔ)量分析：存儲(chǔ)量=磁

13、道數(shù)每磁道上的比特?cái)?shù)磁道數(shù)每磁道上的比特?cái)?shù) 設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于n ， 且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，所以磁道最多可達(dá) 又由于每條磁道上的比特?cái)?shù)一樣，為獲得最大的存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必需裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可到達(dá) 所以，磁道總存儲(chǔ)量為：,mrR .2nr 22.Rrrfrr Rrmnmn解：存儲(chǔ)量解：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù)磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù) 設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，且最外面的磁道不存儲(chǔ)人何信息，所以磁道最多可達(dá) 又由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大的存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必

14、需裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可到達(dá) 所以，磁道總存儲(chǔ)量,mrR .2nr .22rRrmnrnrmrRrf1它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判別，不是r越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大.(2)為求 的最大值，計(jì)算 xf , 0rf ,22rRmnrf令 0rf解得2Rr , 02; 02rfRrrfRr時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)因此，當(dāng) 時(shí)，磁道具有最大的存儲(chǔ)量，最大存儲(chǔ)量為2Rr .22mnR 由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，處置優(yōu)化問題的根本思緒是：優(yōu)化問題優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)處置數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)處置數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案優(yōu)化問題的答案上述處置優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)

15、建模過程。練習(xí)練習(xí)1 1、一條長(zhǎng)為、一條長(zhǎng)為 的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個(gè)正的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個(gè)正方形，要使兩個(gè)正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長(zhǎng)方形，要使兩個(gè)正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別是多少？度分別是多少？那么兩個(gè)正方形面積和為那么兩個(gè)正方形面積和為2221)4()4(xlxssS)22(16122llxx解：設(shè)兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為解：設(shè)兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為x,l-x,其中其中0 xl)2(81)24(161lxlxS2, 0lxS得令由問題的實(shí)際意義可知：由問題的實(shí)際意義可知：.,2取最小值時(shí)當(dāng)Slx .322l最小值為l而而0 xL/2時(shí)時(shí), ,所以所以x=L/2是是f

16、(x)的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn).0)( xf0)( xf外表積外表積設(shè)半徑為設(shè)半徑為R,R,那么高為那么高為h h外表積寫成外表積寫成R R的函數(shù)的函數(shù), ,問題就轉(zhuǎn)化求函數(shù)問題就轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值問題的最值問題Rh練習(xí)練習(xí)2:某種圓柱形的飲料罐的容積為定值某種圓柱形的飲料罐的容積為定值V時(shí)時(shí),如何確如何確定它的高與底半徑定它的高與底半徑,使得所用資料最省使得所用資料最省?Rh解解 設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為底面半徑為R.那么外表積為那么外表積為 又又 (定值定值),.2RVh則222)(RRhRS2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR 解得3222V

17、RVh從而即即h=2R.可以判別可以判別S(R)只需一個(gè)極值點(diǎn)只需一個(gè)極值點(diǎn),且是最小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn).答答 ：罐高與底的直徑相等時(shí)：罐高與底的直徑相等時(shí), 所用資料最省所用資料最省.hRV2RRh練習(xí)練習(xí)3 (3 (課本第課本第3737頁(yè)頁(yè)A A組第組第6 6題題) )知知: :某商品消費(fèi)本錢與產(chǎn)量某商品消費(fèi)本錢與產(chǎn)量q q的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為NoImage100 4Cq , , 價(jià)錢價(jià)錢p p與產(chǎn)量與產(chǎn)量q q的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為1258pq 求產(chǎn)量求產(chǎn)量 q q 為何值時(shí)，利潤(rùn)為何值時(shí)，利潤(rùn) L L 最大？最大？1(25)(1004 )8LpqCq qq解解：利利潤(rùn)潤(rùn)21

18、211008qq 121,0,4LqL 令令84q 求求得得0L 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), q84, q84,0L 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), q84, q84,84qL當(dāng)當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)量量 為為時(shí)時(shí)，利利潤(rùn)潤(rùn) 最最大大21211008qq 1(25)(1004 )8LpqCq qq 另另解解：利利潤(rùn)潤(rùn)2184124bqLa 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， 的的值值最最大大0 q 200 ( (課本第課本第3737頁(yè)頁(yè)B B組第組第1 1題題) )某賓館有個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間每天的某賓館有個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)為元時(shí)，房間會(huì)全部住滿；房間的單價(jià)每定價(jià)為元時(shí)，房間會(huì)全部住滿；房間的單價(jià)每添加元，就會(huì)有一個(gè)房間空閑假設(shè)游客居住房添

19、加元，就會(huì)有一個(gè)房間空閑假設(shè)游客居住房間，賓館每天每間需破費(fèi)元的各種維修費(fèi)房間間，賓館每天每間需破費(fèi)元的各種維修費(fèi)房間定價(jià)多少時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大？定價(jià)多少時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大？解解:設(shè)賓館定價(jià)為設(shè)賓館定價(jià)為(18010 x)元時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大元時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大20)50()50)(10180(xxxW8000340102xx17, 0)( xxW求得令17,0)( xxW時(shí)當(dāng)17,0)( xxW時(shí)；當(dāng)17xW ，利利最最大大180 10 17 350 房房 價(jià)價(jià) ：（ 元元 ）xy練習(xí)練習(xí)3 如圖如圖,在二次函數(shù)在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與的圖象與x軸所軸所 圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形矩形ABCD,求這求這 個(gè)矩形的個(gè)矩形的最大面積最大面積.解解:設(shè)設(shè)B(x,0)(0 x2), 那么那么 A(x, 4x-x2).從而從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面積的面積為為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得得x=1.0)( xf而而0 x1時(shí)時(shí), ,所以所以x=1是是f(x)的的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn).0)( xf0)( xf所以當(dāng)所以當(dāng)x=1時(shí)時(shí),f(x)