破解直線與圓中的“定”的問(wèn)題

1、。破解直線與圓中的“定”的問(wèn)題直線與圓的位置關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容， 是高考必考考點(diǎn)之一， 考題中往往涉及定點(diǎn)、定直線、定圓等“定”的問(wèn)題，其本質(zhì)就是曲線系，蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等。在解答此類(lèi)問(wèn)題的探索過(guò)程中， 學(xué)生常常找不到解題的切入點(diǎn)，為此，我們須弄清此類(lèi)問(wèn)題，切實(shí)掌握其解決的方法。一、定點(diǎn)問(wèn)題我 們 對(duì) 于 過(guò) 定 點(diǎn) 的 直 線 系 并 不 陌 生 ， 如 ykx 是 過(guò) 定 點(diǎn) O 0,0的 直 線 系 ，ykxb(b 是常數(shù)）是過(guò)定點(diǎn)0,b 的直線系，yk xab(a,b 是常數(shù)）是過(guò)定點(diǎn)a,b 的直線系，等等，那么，如何迅捷地找到直線所過(guò)的定點(diǎn)呢？例 1 平面直角

2、坐標(biāo)系 xOy 中，直線14k x23k y3 12k 0恒過(guò)一定點(diǎn) P ，而直線 mxy60也過(guò)點(diǎn) P ，則 m。解法 1：直線 14k x23ky34k0 ，整理得 k4x3y12x2 y30，4x3 y120x3，令，解得y，所以 P 3,0x 2 y 3 00代入直線 mxy6 0，得 m2 ，答案： 2.解法 2：令 k1，則 y0 ；令 k2x3；4，則3所以直線14kx23k y312k0y0與 直 線x 3的 交 點(diǎn)必過(guò)直線3,0，顯然 P3,0 ，代入直線mxy60 ，得 m2 。點(diǎn)評(píng)：含有參數(shù)的直線AxByC0 過(guò)定點(diǎn)時(shí)，只需將含有參數(shù)的部分整理到一起，不含參數(shù)的部分整理到

3、一起，令系數(shù)均為0 即可解方程得直線所過(guò)的定點(diǎn)。變式1：（ 2014 四川）設(shè)mR ，過(guò)定點(diǎn)A 的動(dòng)直線 xmy0 和過(guò)定點(diǎn) B 的動(dòng)直線mxym30 交于點(diǎn) P x, y ，則 PAPB 的取值范圍是。1。A. 5,25B.10, 2 5C.10, 45D.25,4 5答案B。例 2已知圓 C : x2y22kx4k10y10k200 k1 ，則圓 C過(guò)定點(diǎn)。解法 1：圓 C 的方程可變形為x2y 210 y20k2x4y 100，所以圓 C 必過(guò)兩曲線 x2y210 y200與 2x4 y100 的交點(diǎn)，x2y210y20 0x1聯(lián)立方程，所以圓 C 過(guò)定點(diǎn) 1,3 。，解得2x4y100

4、y3答案為 1,3。解法 2：令 k0 ，則 x2y2 10 y 20 0 ，令 k5 ，則 x2y25x 5 0 ，2圓 C 所過(guò)的定點(diǎn)必是曲線x2y210 y200 與 x2y25x 50 的交點(diǎn)；而聯(lián)立方程x2y210 y200 ，解得x1，所以圓 C 過(guò)定點(diǎn) 1, 3 。x2y25x5 0y3點(diǎn)評(píng)：直線與圓的定點(diǎn)問(wèn)題要善于從運(yùn)動(dòng)中尋求不變的特性， 挖掘曲線方程與哪些參數(shù)無(wú)關(guān)。常見(jiàn)的方法有兩種：其一，直接按參數(shù)分離變量，進(jìn)而解出定點(diǎn)坐標(biāo)；其二，從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證這個(gè)定點(diǎn)與參數(shù)取值無(wú)關(guān)。變式 2：若圓 x2y22x8y 13 0 的圓心到直線 axy 1 0 的距離最大時(shí)，則a （

5、）A.13C.1B.D. 333答案：A。二、定直線問(wèn)題定直線問(wèn)題往往是動(dòng)點(diǎn)所在的定直線、動(dòng)圓的定切線， 含有多個(gè)參數(shù)， 其幾何特征不明顯，解決時(shí)常常不知從何入手，此時(shí)，須緊扣等量關(guān)系恒成立 ，應(yīng)用待定系數(shù)法來(lái)處理。例 3 平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知半徑為r 的M 的圓心 M 在直線 y2x 3 上，且在 y 軸右側(cè)，M 被 y 軸軸截得的弦長(zhǎng)為 3r.（ 1）求 M 的方程；。2。（ 2）當(dāng) r 變化時(shí)，是否存在定直線l 與M 均相切？如果存在，求出定直線l 的方程；如果不存在，說(shuō)明理由。解析：（ 1）設(shè) Ma,2 a3 a0，則M 的方程為x22a2r 2 ，ay3設(shè) M 到 y 軸的

6、距離為 d ，即 da ，由M 被 y 軸軸截得的弦長(zhǎng)為3r ，3 r2r ，所以 r 2d2，得 d a22r22故M 的方程為xyrr 2 。32（ 2）假設(shè)存在定直線l 與M 均相切，定直線l 的斜率不存在時(shí)，顯然不合題意；krr3b設(shè)直線 l 的方程為 ykxb ，則2r 對(duì)于 r0 恒成立，k 21由k1 r b 3r k 2 1 ，得2k121 r 2k 2 b 3 rb 30 ，k 222k21k 21042k0kr 恒成立，所以k2b303 ，因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)，解得或b320b3b3所以存在兩條定直線y3和 4x3y90 與動(dòng)圓M 均相切。點(diǎn)評(píng)：本題動(dòng)圓的圓心與半徑都在變化，

7、其幾何特征不明顯，故采取直接論證dM lr恒成立。 解決含有多個(gè)參數(shù)的等量關(guān)系恒成立時(shí)，必須緊扣等式的成立與r 的取值無(wú)關(guān)這一特點(diǎn)。22， 直 線 l 的 方 程變 式3 ： 已 知 圓 C1 : x 2y3m 24m2 m 0y x m2 ，圓 C1 關(guān)于直線 l 對(duì)稱(chēng)的圓為 C2 。（ 1）證明：當(dāng) m 變化時(shí)， C2 的圓心在一條定直線上；。3。（ 2）求 C2 所表示的一系列圓的公切線方程。提示：（ 1）C2,3m2關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)C22m1, m1， C2 在一條定直線1k 2m1m1b對(duì)x 2 y 10 上.2ykxb ，則2 m（ ）設(shè)公切線方程為k21于 m 恒成立，整理得4

8、k3m22 2k1k b1 mkb120 ，4k30k34 ，所以 2 2k1k b10，解之得7kb12b40所以 C2 所表示的一系列圓的公切線方程為y3 x7，即 3x4 y70 。44三、定圓問(wèn)題動(dòng)直線與定圓相切，是研究d弦心距r 恒成立，或者聯(lián)立方程0恒成立，再按參數(shù)整理，令參數(shù)的系數(shù)為0，得到方程組，最后解方程組求出圓心與半徑。例 4 已知點(diǎn) P 在 y 上，縱坐標(biāo)為 2tt 0， Q2,3t1，求證：直線 PQ 恒與一t個(gè)圓心在 x 軸上的圓 M 相切，并求出圓M 的方程。解析： 由題意知 P 0,2t ， Q2,3t1 ，t1t所以直線 PQ 的方程為 y2ttx ，即 t 2

9、1 x2ty4t 20 ，2設(shè)圓 M 的方程為2y2r 2r0t 21a4t 2r 恒成立，x a，則24t 2t 2 1整理得 t 21 a4t 2rt21 ，或4t 2t21 art 21，所以 ar4 t 2 ar0 ，或 ar 4 t 2ar0 恒成立，ar40，或ar4 0a2，故r0ar0，解得r2a因此直線 PQ 恒與一個(gè)圓心在x 軸上的圓 M 相切，圓 M 的方程為x224 。y2。4。點(diǎn)評(píng)： 解答題解題步驟是：設(shè)圓的方程- 化簡(jiǎn) d弦心距r 或0 恒成立 變量分離 求圓心與半徑 寫(xiě)出定圓方程，如果是客觀題，用特例法比較方便。變式4：已知直線 l : 2mx1 m2 y4m 4 0 總與一個(gè)定圓相